w10 刚体的平面运动

nullnull*null*第10章 刚体的平面运动null §10–1 刚体平面运动的概述 §10–2 平面运动分解为平动和转动 · 刚体的平面运动方程 §10–3 平面图形内各点的速度·速度投影定 理 ·速度瞬心 §10–4 平面图形内各点的加速度 · 加速度瞬心的概念 习课第10章 刚体的平面运动null 刚体的平面运动是上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式．　§10-1 刚体平面运动的概述一．平面运动的定义 　 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．null例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动．null 二．平面运动的简化 　　刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动．即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度．null§10-2 平面运动分解为平动和转动· 刚体的平面运动方程 一．平面运动方程 　　为了确定代平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定 平面图形内任意一条线段的位置．null 二．平面运动分解为平动和转动 　 当图形Ｓ上Ａ点不动时（x,y坐标已定），则刚体作定轴转动 　 当图形Ｓ上  角不变时，则刚体作平动． 故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．　null例如　车轮的运动．　 车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成． 车轮对于静系的平面运动 （绝对运动） 车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动 （牵连运动） 　 车轮相对车厢（动系Ax y）的转动 （相对运动） null 我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．null　再例如: 平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置IInull　 所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 ,都是相同的）基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点)null曲柄连杆机构 AB杆作平面运动 平面运动的分解null§10-3　平面图形内各点的速度　　　　　　　　　　 一．基点法（合成法）取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成已知：图形S内一点A的速度　　， 图形角速度　求：指向与 转向一致．取A为基点, 将动系固结于A点, 动系作平动。null即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．⒉ 讨论null即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等．这种求解速度的方法称为 速度投影法．二．速度投影法⒉ 讨论null 三．瞬时速度中心法（速度瞬心法） 　 1. 问题的提出 　 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？null　　一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。1、定理基点：Anull 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．３．几种确定速度瞬心位置的方法null　　　null　　　null 例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．此时连杆BC的图形角速度 ， BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等． 设匀，则null４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法. 　 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 　若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度 　　　　　　　方向AP，指向与 一致。 ５. 注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是不一定相同的。不同于刚体作平动。null解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。 [例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 求：当 =45º时, 滑块B的速度及AB杆的角速度．null试比较上述三种方法的特点。null§10-4 * 平面图形内各点的加速度 　　　　 加速度瞬心的概念取A为基点，将平动坐标系固结于A点 取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．一. 基点法 (合成法) *null即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。　　⒉ 讨论nullnull 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基 点法求图形上各点的加速度或图形角加速度．解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，null 由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心．null　　例9-8　如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。求：点A和B的加速度。null解: 1、轮Ⅰ作平面运动，瞬心为 C。null2、选基点为Ｏnullnull第10章　刚体平面运动习题课一．概念与内容 　1. 刚体平面运动的定义 　　刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变． 　2. 刚体平面运动的简化 　　可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动． 3. 刚体平面运动的分解 分解为 4. 基点　 　　可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点． nullnull9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件 　平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速 度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系． 　合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有 相对滑动时的运动关系的传递．null二．解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体． 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加速 度) 3. 作速度和加速度分析，求出待求量． (基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法: 不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）nullnull研究BD, P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BDnull解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点[例2] 行星齿轮机构 已知: R, r , o 轮A作纯滚动，求null解：轴O, 杆OC, 楔块M均作平动, 圆盘作平面运动，P为速度瞬心[例3] 平面机构中, 楔块M:  =30º, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．null  比较[例2]和[例3]可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时,接 触点就是瞬心, 只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点 才是速度瞬心  每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和 角速度, 并且瞬心在刚体或其扩大部分上, 不能认为瞬心在 其他刚体上. 例如, [例1] 中AB的瞬心在P1点,BD的瞬心在P2 点, 而且P1也不是CB杆上的点*平面图形内各点的加速度解：(a) AB作平动，[例2] 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？(a)(b)*平面图形内各点的加速度*平面图形内各点的加速度*平面图形内各点的加速度*平面图形内各点的加速度[例3] 曲柄滚轮机构 滚子半径R=15cm, n=60 rpm 求：当 =60º时 (OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．*平面图形内各点的加速度*平面图形内各点的加速度解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动 研究AB：P１为其速度瞬心分析: 要想求出滚轮的Ｂ, Ｂ 先要求出vB, aBP1P2为轮速度瞬心*平面图形内各点的加速度*平面图形内各点的加速度取A为基点，指向O点大小？ √　 ？　 √ 方向√ √ √ √作加速度矢量图，将上式向BA线上投影*平面图形内各点的加速度补充习题补充习题难度大null[例4] 导槽滑块机构已知： 曲柄OA= r , 匀角速度 转动, 连杆AB的中点C处连接一 滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O,A,O1三点 在同一水平线上, OAAB, AO1C= =30。 求：该瞬时O1D的角速度．解：OA, O1D均作定轴转动, AB作平面运动用合成运动方法 求O1D杆上与滑块C 接触的点的速度 动点: AB杆上C (或滑块C ), 动系: O1D杆, 静系: 机架null 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题．注意这类题的解法，再看下例．null　　[例5] 平面机构 图示瞬时, O点在AB中点,  =60º, BCAB, 已知O,C在同一水平线上, AB=20cm,vA=16cm/s , 试求该瞬时AB杆, BC杆的角速度 及滑块C的速度．解: 轮A, 杆AB, 杆BC均作平面运动, 套筒O作定轴转动, 滑块C平动. 取套筒上O点为动点, 动系固结于AB杆; 静系固结于机架,　研究AB, P1为速度瞬心null也可以用瞬心法求BC和vC，很简便null10-3 10-14null解:OA定轴转动 ; AB, BC均作平面运动, 滑块B和C均作平动null作加速度矢量图, 并沿BA方向投影null作加速度矢量图, P2 为BC的瞬心,而 P2C = 9 rnull[例7] 导槽滑块机构 图示瞬时, 杆AB速度　，杆CD速度　　 及 角已知，且AC= l , 求导槽AE的图形角速度．nullnull求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。null解：1 、杆BE作平面运动，瞬心在O点。取E为基点null沿BE方向投影null绝对运动 ：直线运动(BD) 相对运动 ：直线运动(OA) 牵连运动 ：定轴转动(轴O)2、动点 ：滑块B 动系 ： OA杆沿BD方向投影null沿BD方向投影null求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。null解：1、 动点 ： 铰链A 动系 ： 套筒O 绝对运动 ： 直线运动(AC ) 相对运动 ： 直线运动(AB ) 牵连运动 ： 定轴转动(轴O )nullnullnull另解： 1、取坐标系Oxy2、 A点的运动方程3、速度、加速度null求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度。null2、动点 ： 滑块A 　 动系 ： OC杆绝对运动 ：未知 相对运动 ：直线运动（OC） 牵连运动 ：定轴转动（轴O）解：1 、杆AB作平面运动，基点 为B。nullnullnull　　求：该瞬时槽杆AE的角速度 、角加速度及滑块B相对AE的加速度。null解：1、动点：滑块B　动系：杆AE 绝对运动：直线运动（BD） 相对运动：直线运动（AE） 牵连运动：平面运动null3、将（c）代入（a）2、杆AE作平面运动 基点：Anullnull4、将（d）代入（b）null解之null