一笔画问题

一笔画 ——哥尼斯堡七桥问题 请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来。 规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。 这就是古老的民间游戏——一笔画。 你能画出来吗？ 如果你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？ 虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！ 为什么我的语气这么肯定？我们来一下图2。我们把图2看成是由点和线组成的一种集合。图里直线的交点叫做顶点，连结顶点的线叫做边。这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了。 为什么能一笔画的图形只有上述两类呢？ 有关这个问题的讨论，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。 十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图3所示。由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。 图3 这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到。因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图4所示。 图4 图5 于是“七桥问题”就等价于图5中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。 现在看“过路点”具有什么性质。它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。 如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。 如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。 现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。 欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。 事实上，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，从长期实践的经验，人们知道如果图的点全部是偶点，可以任意选择一个点做起点，一笔画成。如果是有二个奇点的图形，那么就选一个奇点做起点以顺利的一笔画完。可惜的是，古时候没有人对它重视，没有数学家对它进行经验，以及加以研究。 今天学习欧拉的成果不应是单纯把它作为数学游戏，重要的是应该知道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题。研究数学问题不应该为“抽象而抽象”，抽象的目的是为了更好的、更有效的解决实际产生的问题，欧拉对“七桥问题”的研究就是值得我们学习的一个样板。 【附录】 一、【七巧板简介】 十九世纪最流行的谜题之一就是七巧板。七巧板的流行大概是由于它结构简单、操作简便、明白易懂的缘故。你可以用七巧板随意地拼出你自己设计的图样，但如果你想用七巧板拼出特定的图案，那就会遇到真正的挑战。 七巧板那简单的结构很容易使人误认为要解决它的问题也很容易，其实这种想法是片面的。用七巧板可以拼出1600种以上的图案，其中有些是容易拼成的，有一些却相当诡秘，还有一些则似是而非充满了矛盾。 “七巧板”是我国古代劳动人民的发明。大约发明于明朝初年，明、清两代在民间广泛流传，清陆以氵恬《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之。” “七巧图”不知何时传到国外，受到他们的欢迎与重视，李约瑟说它是“东方最古老的消遣品”之一，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》。美国作家埃德加·爱伦坡特竟用象牙精制了一副七巧板。法国拿破伦在流放生活中也曾用七巧板作为消遣游戏。谁能想像到七巧板居然会跟拿破仑、亚当、杜雷、爱伦坡特以及卡洛尔等人发生关系？实际上他们全都是七巧板的狂热爱好者。 关于七巧板的名称有许多原始的说法： 1．来自被废弃的英语词“trangram”：奇怪形状的小玩意儿； 2．来自词Tang（中国的唐朝）带后缀—gram（希腊文意为作品）； 3．来自术语“tanka”，意即沿海船上人家。他们在运输摆渡中除了供应食物、浣洗衣物外，还提供一些娱乐方面的招待。其中就有这种由七块板组成的中国谜题。大约七巧板一词（Tangram）就是从tanka game（船上人家的游戏）演化来的。 以上这几种说法似乎都有一定的道理。 大概是原始七巧板的浓厚的趣味和它的娱乐释义，激发了美国著名谜题专家山姆·洛依德的文学创意。1903年，61岁高龄的他，在《第八茶皮书》中写道：“按百科全书的介绍，七巧板游戏渊源极为古老。在中国，它作为一种消遣性的玩物，其历史可以追溯到4000年前……” 七巧板图： 二、【棋盘格上的数学】 传说国际象棋是舍罕王的宰相西萨·班·达依尔发明的。他把这个有趣的娱乐品进贡给国王。舍罕王对于这一奇妙的发明异常喜爱，决定让宰相自己要求得到什么赏赐。 西萨并没有要求任何金银财宝，他只是指着面前的棋盘奏道：“陛下，就请您赏给我一些麦子吧，它们只要这样放在棋盘里就行了：第一个格里放一颗，第二个格里放两颗，第三个格里放四颗，以后每一个格里都比前一个格里的麦粒增加一倍。圣明的王啊，只要把这样摆满棋盘上全部六十四格的麦粒都赏给您的仆人，他就心满意足了”，舍罕王听了，心中暗暗欣喜：“这个傻瓜的胃口实在不算大啊”。他立即慷慨的应允道：“爱卿，你当然会如愿以偿的！”但当记麦工作开始后不久，舍罕王便暗暗叫苦了，因为尽管第一袋麦子放满了将近二十个格子，可是接下去的麦粒数增长得竟是那样的快，国王很快意识到，即使把自己王国内的全部粮食都拿来，也兑现不了他许给宰相的诺言了！舍罕王由于失算而欠了西萨一大笔债，他为顾全面子而选择了什么样的善后措施我们已不得而知，但计算一下他的债务确是一件很有趣的事。 我们知道，这位聪明的宰相所要求的麦粒总数，实际上是等比数列：1，2，4，8，…的前六十四项和，即二的六十四次方减一，为一个二十位的大数：18,446,744,073,709,551,615。 这些麦粒究竟是多少呢？如果一升小麦按150，000粒计算，这大约是140万亿升小麦，按目前的平均产量计算，这竟然是全世界生产两千年的全部小麦！！ � EMBED PBrush \* MERGEFORMAT ��� � EMBED PBrush \* MERGEFORMAT ��� � EMBED PBrush \* MERGEFORMAT ��� � EMBED PBrush \* MERGEFORMAT ���