08广东高考理科数学最后一题第二问的四种解法

08080808广东高考理科最后一题第二问的四种解法 增城市永和中学 吴新红 2008高考已经落下帷幕，对于广东卷数学而言，题目显得比较平易近人， 最后一道压轴题的背景也显而易见，第一问和第三问相对简单，第二问对于会用 特征方程的同学几乎不用思考就可以直接写解答过程了，只是在解题过程中需要 注意是否为等根的这一特殊情况，下面是我的第二问的四种解答方法： 方法一：数学归纳法 依题有： 1x p α β= = + 2 2 2 2x p q α αβ β= − = + + ( ) 3 2 2 33 2 1 2 1x pa qa a aα β αβ α α β αβ β= − = + − = + + + 猜想： 1 2 2 n n n n n x α α β α β β − −= + + + +⋯ 证明：当 1,2n = ，显然成立 假设当n k≤ 时，结论成立， 1 2 2k k k k k x α α β α β β − −= + + + +⋯ ， 则当 1n k= + 时， 故猜想成立，即 ( ) 1 2 2 1 1 n 1 n n n n n n n n x α α α β α β β α β α β − − + + ⎧ + ⎪ = + + + + = ⎨ − ⎪ −⎩ ⋯ α β β α = ≠ 方法二：特征方程 这道题目的背景来源应该就是特征方程 依题有： n 1 2 0n nx px qx− −− + = ，特征方程为： 2 0x px q− + = ，特征根为 ,α β Ⅰ.当α β= 即 2 4 0p q− = 时， 2 p α β= = ，令 ( ) n n x A Bn α= + ，由 1x p= ， 2 2x p q= − 有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 3 2 1 k+1 1 1 2 2 1 2 3 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x px qx p qα α β α β β α α β α β β α β α α β α β β αβ α α β α β β α α β α β αβ β α β α β αβ α α β α β αβ β − − − − − − − − − − − − − + − + − + − + = − = × + + + + − × + + + + = + + + + + − + + + + = + + + + + − + + + = + + + + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 2 3 2 1 1 k k k k k x α α β α β β − − − − − = + + + +⋯ ( ) ( ) 2 22 A B p A B p q α α + =⎧⎪ ⎨ + = −⎪⎩ 化简得 2 2 2 22 2 42 3 2 p A B p p p q A B p α α ⎧ + = =⎪ ⎪ ⎪ −⎨ − ⎪ + = = = ⎪ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ 所以 1 1 A B =⎧ ⎨ =⎩ ，从而 (1 ) n n x n α= + Ⅱ. 当 α β≠ 即 2 4 0p q− > 时，令 n n n x A Bα β= × + × ，由 1x p= ， 2 2x p q= − 有： 2 2 2 A B p A B p q α β α β + =⎧ ⎨ + = −⎩ 易得 2 2 ( )p p q B α αβ β − − = − 而 2 0p qα α− + = ，故 2p qα α= + ，又 2 2 2 2( ) 2 2p qα β α β αβ+ = + − = − 故 2 2 2( 2 )p q p q qα α β= + = − − + ，从而 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( )p p q p q q p q B α β β β αβ β αβ β αβ β α β − − − − + − − − − = = = = − − − − ， 同理可得： A = α α β− 故 1 1n n n n n a α β α β α β α β α β α β + +− − = × + × = − − − 综上所述： 方法三：构造等比数列 依题有： n 1 2 0n nx px qx− −− + = ，而 p α β= + ，q αβ= ，故 n 1 2( ) 0n nx x xα β αβ− −− + + = ，可化为： n 1 1 2( )n n nx x x xα β α− − −− = − Ⅰ.当 2 1 0x xα− = 即 2 0p q pα− − = 时， 0β = ，此时 0q = 且 n 1 0nx xα −− = ， 故{ } n x 是首项为 p 公比为 p 的等比数列，易得 n n x p= ( ) 1 1 1 n n n n n x α α β α β + + ⎧ + ⎪ = ⎨ − ⎪ −⎩ α β β α = ≠ Ⅱ. 当 2 1 0x xα− ≠ 即 0q ≠ 时，数列{ }n 1nx xα −− 是首项为 2 2 1x xα β− = 公比为 β的等比数列，故 n 1 n n x xα β−− = ， 令 nn n x b α = ，则 1 n n n n b b β α −− = ，故 （当 0q = 时也满足这个通项公式） 方法四：母函数法 这种方法一般用得较少 令 ( ) 1 2 1 n n f x x x x x x+= + + + +⋯ ⋯ ① 1 2 0n n nx px qx− −− + =∵ ，因此设法求出 ( )xf ，即可求 nx 寻求 ( )1 2 nn n nx px qx x− −− + 由 ( ) 21 2 n n pxf x px x px x px x− = − − − − −⋯ ⋯ ② ( )2 21 1 nnqx f x qx x qx x−= + + +⋯ ⋯ ③ ①+②+③得： ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 3 2 11 px qx f x x x px x x px qx x− + = + − + − + ( ) 11 2 n n n n x px qx x p qx − − −+ + − + + = −⋯ ⋯ ( ) 21 p qx f x px qx − ∴ = − + ∵ 2 0x px q− + = 的两根分别为 ,α β，故 21 0px qx− + = 的两根分别为 1 1, α β ( ) 21 1 1 p x p qx q f x px qx x x α β − − ∴ = = − + ⎛ ⎞⎛ ⎞ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 1 1 1 2 2 0 1 11 1 n k k n n n n k k k k k k k n b b b b β β β β α α α α β α + − = = = +⎧ ⎪ ⎪ −= + − = + + = = ⎨ ⎪ ⎪ − ⎩ ∑ ∑ ∑ ( ) 1 1 1 n n n n n n n x b α α α β α β + + ⎧ + ⎪ ∴ = × = ⎨ − ⎪ −⎩ α β β α = ≠ α β β α = ≠ 当 α β= 时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 / 0 / 1 0 0 0 4 2 1 1 1 11 1 1 1 1 n k n n n n n k k k x p p f x x x x x x x x x x n x α α α α α α α α α α α α α α α α α ∞ = ∞ ∞ ∞ − = = = − ∴ = = + = + −⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ×⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎡ ⎤= + = + ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ (1 ) n n x n α∴ = + 当α β≠ 时，令 ( ) 1 1 A B f x x x α β = − − − 可解得： A B α β α β β α ⎧ =⎪ −⎪ ⎨ −⎪ = ⎪ −⎩ 1 1 1 1n n n n n x α β α β α β α β α β + + + +− ∴ = − = − − − 综上所述： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n k p qx A B f x px qx x x x x x x x x x α β β α β α α β α β α β α β α α β β α β α β α β α β α β α β α β ∞ ∞ − − + +∞ − = − − ∴ = = + = × + × − + − −− − − − = × − × − − − − = − − − ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ( ) 1 1 1 n n n n n x α α β α β + + ⎧ + ⎪ = ⎨ − ⎪ −⎩ α β β α = ≠