第二章 随机变量

为n,p的二项分布，记为X~b(n,p)。上一页下一页返回null当n=1时，二项分布化为： P{X=k}=pk(1-p)1-k 　 k=0,1 　　　在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：即X服从二项分布。（0－1）分布可用b(1，p)表示。即为（0－1）分布上一页下一页返回null例４： 某交互式计算机有10个终端，这些终端被各个单位独立使用，使用率均为0.7，求同时使用的终端不超过半数的概率。在涉及二项分布的概率计算时，直接计算很困难时，采用了近似计算。下面给出近似公式：解 ： 设X表示10个终端中同时使用的终端数，则X~b(10,0.7)。所求的概率为 ：上一页下一页返回null泊松定理 设 λ>0是一常数，n是任意整数，设npn=λ，则对任意一固定的非负整数k，有证明上一页下一页返回null定理的条件npn=λ，意味着n很大时候pn必定很小。因此当n很大，p很小时有近似公式 上一页下一页返回null例5： 有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？查表可知，满足上式最小的N是8。 至少需配备8个工人才能满足。 解： 设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知 X~(300,0.01)，若配备N位维修人员，所需解决的问题是确定最小的N，使得：P{X>N}<0.01 （λ=np=3）上一页下一页返回null泊松(Poisson)分布上一页下一页返回null例6: 放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子数X服从泊松分布。罗瑟福和盖克观察与分析了放射性物质放出的粒子个数的情况。他们做了2608次观察（每次时间为7.5秒），整理与分析如表所示:上一页下一页返回null上一页下一页返回null在1秒内放出两个或两个以上粒子的概率为0分析推导放射的粒子数为何服从泊松分布考虑单位时间1秒内放射出的粒子数X。（2）各小块是否放出粒子,是相互独立的。上一页下一页返回null在这两条假定下，1秒内这一放射性物质放出k个粒子这一事件，可近似看作该物质的n个独立的小块中，恰有k小块放出粒子。其中P{X=k}是随n而变的，它是一个近似式。放出k个粒子的概率：把物质无限细分，得到 P{X=k} 的精确式，即上一页下一页返回null第三节 连续随机变量及其分布概率密度f(x)具有以下性质：上一页下一页返回null由性质（2）知： 介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1（见图1）。由性质（3）知： X落在区间（x1,x2）的概率等于区间（x1,x2）上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图2）。由性质（4）知： 若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)求导得概率密度f(x)。上一页下一页返回nullf(x)在x0处的函数值f(x0)反映了概率在x0点处的“密集程度”，而不表示X在x0处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点的质量密度。两点说明null在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有事件{X=a} 并非不可能事件上一页下一页返回null所以 a＝1/2 例1：设随机变量X具有概率密度 解：上一页下一页返回null上一页下一页返回null则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)，均匀分布设连续型随机变量X的概率密度函数为 X的分布函数为 ：上一页下一页返回null概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示上一页下一页返回null设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为的指数分布。指数分布X的分布函数为 上一页下一页返回nullf(x)和F(x)可用图形表示上一页下一页返回null正态分布上一页下一页返回null正态分布的密度函数f(x)的几何特征：上一页下一页返回null当固定，改变的值，y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不改变形状，故 又称为位置参数。若固定，改变的值，y=f(x)的图形的形状随的增大而变得平坦。越小，X落在附近的概率越大。上一页下一页返回null上一页下一页返回null因此，对于任意的实数a,b(a