18 不定积分的换元积分法

nullnull第三章 一元函数积分学 第二节 不定积分的换元积分法主要内容：一、不定积分的第一类换元法二、不定积分的第二类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法 在这一节中, 我们将主要考虑复合函数的积分问.我们知道 由此得null又如, 考虑积分因为 即有积分. 一般情况又将如何, 这就是下面的积分方法——即将被积函数写成复合求导形式, 从而求出相应的不定第一类换元法.null定理1连续导函数, 则有积分公式 公式（1）给出的方法称为第一类换元法, 即：若被积函数能写成两项的乘积, 且其中的一项为复合函数的形式, 而另一项可以凑成中间变量的导数形式, 则可以考虑使用此方法. （1）null 由于因此该公式也经常写成null作变换例1 求积分解 null类似地有null例2 求积分null例3 求积分解null例4 求积分解null例5 求积分解 同理可得null例6 求积分⑴解 ⑴⑵ ⑵null例7 求积分解 因，故注意：上面的几个积分结果均可以作为基本的积分公式使用.null例8 求积分解 因故从而积分为null例9 求积分解 因所以积分为例6null例10 求积分解 因所以积分为null注意 在三角函数的积分中, 利用三角恒等式对三角函数做某些变换是积分中经常使用的方法. 常用的三角公式是:null例11 计算下列积分:解 ⑴ ⑵nullnull⑷null例12 求积分⑴解 ⑴ ⑵null又,即null⑵注 此题中的积分结果也可作为基本的积分公式使用.null例13 求积分解积化和差二、第二类换元法定理2 设函数二、第二类换元法对应的区间上有连续导数, 且在则有积分公式 （2）公式（2）又称为第二类换元法.null作代换作代换可通过适当的三角代换来求出相应的积分. 常用代换有:作代换作代换这类代换的主要目的是消去积分达式中的根式.null例14 求积分解 令由 null例15 求积分解 做变换 则原积分为:null例16 求积分解 令则所以 null同理可证 注 本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式.null例17 求积分解 令则null本节又建立了如下的一些积分公式:nullnull例18 求积分故 将积分化简单．null1. 不定积分的第一类换元法小 结2. 不定积分的第二类换元法学好不定积分，重在多动手！温馨提示课后练习课后练习习题3-2 1 – 2