中考高分的十八个关节 关节2 充分发挥方程的工具性作用

关节二 充分发挥方程的工具性作用 方程是重要的数学工具，它可以干什么用呢？结论是： 凡是有关“求值”的问题，不管是怎样的背景下和情境中，绝大多数情况都可以借助构造方程来解决。 一、方程用于实际问题中的求值 这方面的题目，同学们做的已经很多，这里只举一例。 例1 秋末，由于冷空气入侵，某地区地面气温急剧下降到0℃以下的天气称为“霜冻”。由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。 秋末某天，气象台发布了该地区如下的降温预报：午夜0时至次日5时气温将匀速地由3℃降到—3℃，然后从次日5时至次日8时，气温将又匀速地由—3℃升到5℃，一种农作物在0℃以下持续超过3小时就会造成霜冻灾害，根据气象台的预报信息，你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施？并说明理由。 【观察与思考】 第1， 这实际是要求出两个数值：一是0时至次日5时气温下降过程中在哪个时刻达到0℃；二是在次日5时至次日8时气温上升过程中，在哪个时刻达到0℃，显然是求值总问题。应分别构造方程来解决。 第2， 可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即 （事实上，只要把本问题的“温度差”看作“路程”，它就相当于行程问题了。） 简解：设在0时至次日5时之间的 时，气温降到0℃，则依题意有： （时） 设在次日5时至次日8时之间的 时气温升到0℃，依题意有： ，解得 （时） 。 气温在0℃以下的时间为3.625小时（大于3小时）因此，会对该农作物造成霜冻灾害，所以应对它采取防冻措施。 二、方程用于数学问题中的价值 数学问题中有形形色色或显或隐的求值问题，大都可借助方程来解决。 1、借助方程，解决某些“数与式”的问题 例1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。如： ，因此4，12，20这三个数都是神秘数， （1）28和2008这两个数是神秘数吗？为什么？ （2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 【观察与思考】根据题中规定知道，若 （※），(其中 是整数， 为正整数)，则 就是“神秘数”。正整数 是不是“神秘数”，就看使（※）式成立的整数 是不是存在，存在时 就是“神秘数”；不存在， 就不是“神秘数”。这就是说，研究 是不是“神秘数”的问题，就变成了研究（※）这个关于 的方程有无整数解的问题。 解：（1） 方程 有非负整数解3。即 28是神秘数。 方程 ，没有整数解， 2008不是神秘数。 （2） ， 令 解得 不是整数。 两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。 例2 按下面的程序计算，若开始输入的值 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的 的不同值最多有（ ） A、2个 B、3个 C、 4个 D、5个 【观察与思考】本题相当于按如下规律构造的方程： EMBED Equation.3 ， 有正整数解的共有多少个。可验证只有上述4个方程有正数解。 解：选C。 对于许多有关特定要求的数，式问题，常需要借助方程来解决。 2、借助方程，解决某些几何图形的求值问题 例3 图1是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为 ，则六边形的周长是 【观察与思考】拼成六边形的9个等边三角形按大小共分为5类，从大到小边长逐减小 ，因此，可通过构造最大的等边三角形的边长的方程来求得它的值。 从图2中可以看到最大三角形的边长是第四大三角形边长的2倍，易如：设最大的等边三角形的边长为 ，则有 。 图中六边形的六条边依次为： 解： 例4 如图，这是由五个边长为1的正方形组成的图形，过顶点A的一条直线和CD，ED分别相交于点M，N。假若直线MN绕过A旋转的过程中存在某一位置，使得MN将图形分成的两部分面积恰好相等，求这时线段EN的长。 【观察与思考】可借助 来构造关于EN的方程求其长。 解： 。 ∽ 得关于EN的方程 解得 （不合题意，舍去）。 许多图形的求值问题，可借助方程来解决，事实上，包括解直角三角形和用相似三角形的性质求边长，也是特定形式的方程，是方程思想的一种具体化表现。 3、借助方程，解决函数相关的问题 例5 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴的正半轴、 轴的正半轴分别交于点E和F。从点A（1，0）和 B（3，0）作 轴的垂线，分别与直线 交于点C和点D。已知 ， 求直线 的解析式。 【观察与思考】若设直线 的解析式为 。现在要求出 的值，为此去构造关于 的方程组。而所给条件 “ ”就是这两个方程组所依据 的等量关系。 解：设直线 的解析式为 ，易知： EMBED Equation.3 依题意有方程组： 解得 直线 的解析式为： 例6 早晨，小丽与妈妈同时从家出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，图中所示是她们离家的路程 （米）与时间 （分）的函数图象。妈妈骑自行车走了10分钟接到小丽的电话，即以原速度骑车前往小丽的学校，并与小丽同时到达学校。已知小丽步行速度为每分50米，求小丽家与学校的距离及小丽早晨上学需要的时间。 【观察与思考】点B的横坐标就是小丽早晨小学需要的时间 其纵坐标就是小丽家与学校的距离。本题的实质是求点B的坐标， 也就是由OB，AB确定的函数关系式做成的方程组的解。而OB，OA 对应的函数易知。 解：OB对应的函数关系式为： 。 因为妈妈10分钟骑自行车走了2500米，其速度为250米/分钟， 所以，AB对应的函数关系式为： 将（10，2500）代入，求得 解方程组 得 小丽家与学校的距离为1250米，小丽早晨上学需要25分钟。 【说明】本题是将方程的思想和函数图象的意义紧密结合，才有如此简明的解决方法。 许多和函数相关的问题，只要涉及到求值，常需要考虑借助方程。 4、和运动有关的图形问题，凡属运动过程中的特定形状，特定数量以及特定位置关系的，大都需要借助构造方程来解决 例7 如图，在梯形ABCD中，AD//BC， ， EMBED Equation.3 开始沿AD边向D点运动，速度为1厘米/秒，同时点N从点C开始沿CB向点B运动，速度为2厘米/秒，设运动的时间为 秒。 （1） 当 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？ （2） 当 为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？ 【观察与思考】对于（1），当四边形MNCD是平行四边形时， MD=NC，就以这一相等关系构造关于 的方程。 对于（2），画出四边形MNCD是等腰梯形的草图，如图（2）， 作 垂足为G，作 垂足为H，此时应有NG=CH， 也即CN=MD+2CH。可以用这一相等关系的构造关于 的方程来求解。 解：（1）MD=15— ，CN=2 ，令MD=NC，得 的方程 。解得 =5 即 =5（秒）时四边形MNCD是平行四边形。 （2） 令 得关于 的方程 解得 即 （秒）时，四边形MNCD是等腰梯形。 例8 如图，在□ABCD中，AB=4，AD=3， 点P和点 Q同时从点A出发，以每秒1个单位的速度运动，点P沿AD→DC→CB向点B运动，点Q沿射线AB的方向运动。当点P运动到点B处时，两点的运动同时结束。设运动时间为 秒。 （1）当点P在边AD上运动时， 求使 成为以D Q为底边的等腰三角形的时刻 ； （2）当点P在边DC上运动时，是否存在时刻 ，使线段PQ和对角线BD互相平行？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由； （3）当点P在边CB上运动时， 可能成为直角三角形吗？写出你的判断，并说明理由； 【观察与思考】以上三个问题，实际都归于建立关于 的方程来解决。 解：（1）点P在边AD上运动时， 。总有 为等边三角形，即 。 令PD=PQ，即 。 （秒）时， 是以DQ为底边的等腰三角形。 （1） （2） 当点P在边DC上运动时， 。 若有PQ//BD，则四边形DBQP为平行四边形，即PD=BQ，如图（1），也即 ，该方程无解。 不存在这们的时刻 ，使PQ//BD。 （3）点P在边CB上运动时， 若 为直角三角形，只有 如图（2），此时 。 令 当 ， 为直角三角形。 （2） 运动中变化着的图形或图形关系凡属“特殊图形”、“特定关系”、“特殊存在”类的问题，大都可通过构造相应的方程来解决。 5、借助方程解决某些探索性问题 例9 如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含 的等式表示第 个正方形点阵中的规律是 。 …… ……. 【观察与思考】不难发现这样的规律:第 个点阵点的总数为 ,被分成的两部分有关系:下边部分比上边部分多 个点.如此一来,可用构造方程来确定要求的规律: 设第 个正方形点阵分成的两部分是 个点, 个点,则 解得 解：应填： 。 例10 欣赏下列的等式： 写出一个由7个连续整数组成，前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式为： ； 【观察与思考】关键是如何既简练又确切地表示“7个连续整数”，考虑到要计算“平方和”，那么最好的方法是，设 为整数，则7个连续整数表示为： 如此一来，可借助方程求出满足要求的 和7个整数来。设有 则 即 解得 解： 。 【说明】某些探索性问题，用方程来解决更准确、更迅速。关键是要善于发现问题有无构造方程的条件，以及如何恰当地应用方程。 其实，方程的作用远不止这些。 由上可知，必须确立如下的深刻认识： 1、对于求未知数量值的问题，不管是具有实际背景的，还是纯数学的；不管是代数方面的，还是几何图形方面的；不管是显性的，还是较为隐含的，第一条思考解决的途径都应当是考虑“构造方程”和解方程。 2、列出方程的关键是在深入分析题目情景后捕捉到“事关全局的相等关系”，以它为基础再具体化为方程。 如上的深刻认识和有效的落实，才是“方程思想”的深刻表现，才能真正发挥方程的工具性作用。 练习题 1、某水果批发市场香蕉的价格如下表： 购买香蕉数 （千克） 不超过 20千克 20千克以上且 不超过40千克 40千克以上 每千克价格 6元 5元 4元 某人共两次购买50千克香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，请问他第一次，第二次分别购买香蕉多少千克？ 2、某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔两分钟有一部电车从对面驶向后面。假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为 表示），请你根据右面的示意图，求电车每隔几分钟（用 表示）从车站开出一部？ 3、为确保信息安全，信息需要加密伟输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文 对应的密文为 。例如，明文1，2对应的密文是-3，4。那么当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（ ） A、 —1，1 B、1，3 C、 3，1 D、1，1 4、直线 轴分别交于点A和点B，若直线AB的长度等于 ，求直线的解析式，并在直角坐标系中画出它的图象。 5、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC， ，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，设运动时间为 （秒）。 （1）当 为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？ （2）是否存在时刻 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； 6、如图，抛物线 和 轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）。和 轴交于点C，在 轴上是否存在点P，使以点P，A，O为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 7、如图在 ，E，F分别为边AB，AC上的点，当沿EF将 折叠，恰使点A落在BC上的点D处，并且有 时，点E，F分别在边AB上和AC上的什么位置？ 8、如图 AC=6，BC=8，点D在AC上，（不与点A，C重合）。点E在AB上（不与点A，B重合）。如果线段DE把 的周长和面积都平分成相等的两部分，请求出AD和AE的长。 9、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩。从家出发2小时到达 目的地，游玩3小时后按原路返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图是他们离家的路程 （千米）与时间 （时）的函数图象。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。 （1）小强家与游玩地的距离是多少千米？ （2）妈妈出发多长时间与小强相遇？ 10、根据以下10个乘积，回答答问题： ； ； ； ； ； ； ； ； ； 试将以上各乘积分别写成一个“□ —○ ”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程； 11、已知正 边形的周长为60，边长为 。 （1）当 时，请直接写出 的值； （2）把正 边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍然是正多边形，它的边数为 +7，周长为67，边长为 ；有人分别取 等于3，20，120。再求出相应的 与 ，然后断言：“无论 取任何大于2的正整数， 与 一定不相等”。你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的 的值。 输入� EMBED Equation.3 ��� 计算� EMBED Equation.3 ���的值 � EMBED Equation.3 ��� 输出结果 是 否 A B C D E F G N M O � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B C D E F � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���（分） � EMBED Equation.3 ���（米） B A 10 —2500 A B C D M N H G C A B D M N A B C D Q P A D P C Q B A B C D P Q A B 人车同向示意图 A B C 人车异向示意图 A D C B P Q � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� C A B A B C F D E A B C D E � EMBED Equation.3 ���（时） � EMBED Equation.3 ���（千米） � EMBED Equation.3 ��� 2 5 C D A B - 1 - _1259862627.unknown _1260203132.unknown _1260211122.unknown _1260538313.unknown _1260539422.unknown _1260539584.unknown _1260539686.unknown _1260539802.unknown _1260539849.unknown _1260539715.unknown _1260539733.unknown _1260539606.unknown _1260539668.unknown _1260539448.unknown _1260539479.unknown _1260539433.unknown _1260539345.unknown _1260539386.unknown _1260539403.unknown _1260539366.unknown _1260538647.unknown _1260539292.unknown _1260539323.unknown _1260538878.unknown _1260538894.unknown _1260538863.unknown _1260538635.unknown _1260212227.unknown _1260213168.unknown _1260213272.unknown _1260213570.unknown _1260213229.unknown _1260212280.unknown _1260212432.unknown _1260212445.unknown _1260212461.unknown _1260212320.unknown _1260212262.unknown _1260211502.unknown _1260211786.unknown _1260212203.unknown _1260211626.unknown _1260211344.unknown _1260211381.unknown _1260211140.unknown _1260203881.unknown _1260204292.unknown _1260210584.unknown _1260210630.unknown _1260204319.unknown _1260204227.unknown 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