第3章剪切和扭转

nullnull第3章剪切和扭转§3-3 扭转 ，扭矩和扭矩图§3-4 薄壁圆杆的扭转§3-6 圆杆扭转时的应力 §3-5 切应力互等定理和剪切胡克定律§3-7 圆杆扭转时的变形§3-1 剪切及剪切的实用计算§3-2 拉压杆连接部分的强度计算null实例：在构件连接处起连接作用的部分，如铆钉，螺栓 ，键等，统称为 连接件。一，概述连接件与被连接件统称为连接部分§3-1 剪切及剪切的实用计算nullnull(1) 铆钉在 m—m 截面被剪断, 称为剪切破坏铆钉连接 部分破坏有三种形式null(2) 铆钉和钢板在接触面上因挤压使连接松动, 称为挤压破坏null(3) 钢板在受铆钉孔削弱的截面处被拉断null受力特征：受一对大小相等，指向相反，作用线相距佷近的横向 外力的作用。 二. 剪切的实用计算变形特征：使构件的两部分沿外力的作用面发生错动。null剪力 Fs = F假设剪切面上各点的切应力相等。null式中， FS 为剪切面上的剪力A 为剪切面的面积。 为剪切面上的切应力null剪切的强度条件为[ ] 为的许用切应力null§3-2 拉(压)杆连接部分的强度计算拉(压)杆通过连接件 ( 如铆钉 , 螺栓 , 销钉等 ) 连接在一起 , 连接处 的强度计算包括 连接件 ( 如铆钉等 ) 的强度计算和拉(压)杆的强度 验算null1, 铆钉的剪切强度计算剪切的强度条件为null2, 铆钉的挤压强度计算剪切面null接触面上的压力， 称为挤压力，并记为 FbAb 表示挤压面的面积在挤压近似计算中，名义挤压应力的计算式为nullAb 为计算挤压面的面积Fb 为接触面上的挤压力(1) 当挤压面为半圆柱面时, 挤压面面积 Ab为实际接触面在直径 平面上的投影面积实际接触面null(2) 当挤压面为平面时，挤压面面积 Ab 为实际接触面挤压的强度条件为[bS] 为许用挤压应力。null3, 钢板的强度验算null例题(作业3-4 )：一销钉连接如图所示,已知外力 F =40kN,被连 接的构件 A 和 B 的厚度分别为 t= 20mm 和 t1 = 12mm ,销钉直 径 d = 15mm ,销钉材料的许用剪应力为 [] = 60MPa,许用挤压 应力为 [bS] = 200 Mpa ,试求销钉所需的直径。nullnull解: 销钉受力如图所示nullF（1）剪切强度校核剪切面为 m—m 和 n—n 面由截面法得每个面上的剪力剪切面的面积为(1) 剪切强度校核null（2）挤压强度校核null这两部分的挤压力相等，故应取长度为 t 的中间段进行挤压强度校核.nulltdnull例3-1 图示铆钉接头中, 已知 F = 80 kN , b = 100 mm , t = 12mm ,铆 钉的直径 d = 16 mm , 铆钉材料的许用切应力 [ ] = 140 MPa , 许用 挤压应力 [bs ] = 300 MPa , 杆件材料的许用应力 [ ] = 160 MPa . 试分别校核铆钉和杆件的强度 .ttbnulltt解: 每个铆钉受相同的力 F/4null(1) 校核铆钉的剪切强度铆钉受剪面上的剪力为 F/4 , 受剪面上的计算切应力为满足剪切强度条件null(1) 校核铆钉的挤压强度满足挤压强度条件null(3) 校核板的抗拉强度null满足抗拉强度条件null例题：一铆钉接头用四个铆钉连接两快钢板。钢板与铆钉材料相 同。铆钉直径 d =16mm，钢板的尺寸为 b =100mm， t =10mm， F = 90kN，铆钉的许用应力是 [ ] =120MPa， [bS] =120MPa， 钢板的许用拉应力 [ ]=160MPa。试校核铆钉接头的强度。nullnullnull(1) 铆钉的剪切强度每个铆钉受力为 F/4每个铆钉剪切面上的剪力为 null(2) 铆钉的挤压强度每个铆钉受挤压力为挤压面面积为ttnullF(3) 钢板的拉伸强度null整个接头是安全的bdnull例3-2 已知 F =130kN，板厚 t =10 mm，铆钉直径 d =18mm ，铆钉 材料的许用切应力 [ ] =140MPa，许用挤压应力[bs] = 300MPa 。 试求所需铆钉的个数。FFttnull解：（1）依据剪切强度需 4 个铆钉null（2）依据挤压强度需 3 个铆钉null销钉盖的剪切面面积 A销钉盖的挤压面面积 Ab习题3-4nullDdtFnullDdtFnull练习题：两矩形截面的木拉杆结头如图所示。已知轴向拉力 F = 50kN，截面宽度 b = 250mm，木材的顺纹容许挤压应力 [bS] = 10MPa，顺纹容许切应力 [] =1MPa，求结头处所需的尺寸 l 和 a。null挤压面面积： Ab = a b 剪切面面积： A=b lnull由挤压强度条件由剪切强度条件null§3-3 扭转  扭矩和扭矩图受力特征:杆件受外力偶作用,外力偶位于垂直于杆件轴线的平面内.机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂 房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。一，扭转变形特征: 杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。null各截面间的相对角位移  称为相对扭转角null在 a—a 截面处假想将轴截开，取左侧为研究对象图示圆轴任一横截面 a—a上的内力。仍用 截面法。二，扭矩和扭矩图null横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上 扭矩null取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。null右手螺旋法则：使卷曲右手的四指转向与扭矩转向相同, 若大拇指 的指向离开横截面则该扭矩为正; 反之为负。扭矩符号的规定:++null用平行于杆轴线的 x 坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的纵坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。 例3-3 试求杆件 1-1, 2-2, 3-3 截面上的扭矩, 并画杆的扭矩图null解: 1-1截面 ( 假设扭矩为正 )2-2截面 ( 假设扭矩为正 )null3-3截面 ( 假设扭矩为正 )null受扭杆件任一横截面上的扭矩 , 等于该截面一侧 ( 左侧或右侧 ) 所 有外力偶矩的代数和.null例3-4 ：作扭矩图解：用外力偶的作用面将杆分段 , 该杆分为 AB，BC，CD 三段AB 段：nullBC 段：nullCD 段：nullnull例题 :试作轴的扭矩图 .该轴 AB , BC, CD 三段AB 段nullBC 段CD 段nullnull练习题: 画图示杆件的扭矩图解: 用外力矩作用面将杆分段该杆分为 AC, CB, BD 三段nullAC 段: 假设该截面上的扭矩为正123nullCD 段: 假设该截面上的扭矩为正DB 段: 各截面的扭矩为零123null123null三，功率，转速与外力矩之间的关系一传动轴，转速为 n 转/min ，轴传递的功率由主动轮输入，然后 由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 P 千瓦（kW)，则作 用在该轮上的外力偶矩 M ，可按以下求得。 nulln —— 轴的转速 ( r/min )M —— 作用在轴上的外力矩 ( N.m 或 kN.m )P —— 轴传递的功率， ( kW )null例 题： 轴上有三个齿轮。轴的转速为 n =183.5 r/min , 齿轮 2 的传 动功率 P2= 0.756 kW，齿轮 4 的传动功率 P4 = 2.98 kW 。作轴的 扭矩图。解: 将功率转速换算成外力矩null该轴分为 AB , BC , CD 三段nullAB 段:TAB = 0BC 段:CD 段:null+-TAB = 0null习题3-8(2)CAB解: 杆分为 AC , CB 两段AC 段CB 段nullCABnullt 是薄壁圆筒的厚度， R 是平均半径。§3-3 薄壁圆杆的扭转一，横截面上的切应力null用截面法求任一横截面 n—n 上的内力薄壁圆筒扭转时其任一横截面 n-n 上的内力为扭矩 T 。横截面上的应力只能是 切应力。nulll预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系 列的正方格子。1，试验nullMeMel圆周线保持不变；纵向线都倾斜一个相同的角度。2，观察到的现象nullMeMel3，设想薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。nullMeMel横截面上各点处的切应力的方向必与圆周相切。nullMeMel圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为 相对扭转角 ，用  表示。nullMeMel圆筒表面上每个格子的 直角的改变量，称为 切应变 。用  表示 。nullDABC近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。圆周表面各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等。结论: 薄壁筒扭转时, 横截面上各点的切应力大小相等, 并与该点所 在的圆周相切null4，推导公式由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处的切应力  都是相等的，而其方向于圆周相切。nullR 为薄壁圆筒平均半径null§3-5 切应力互等定理和剪切胡克定律一，切应力互等定理从受扭圆管的横截面上取一单元体 , 单元体的侧面为横截面null在单元体的侧面（杆的横截面）abcd上 只有切应力 x'设单元体另外三个侧面上的切应力分别为 x'', y', y''null单元体上 , 下两平行面上的切应力大小相等 , 方向相反.null上 , 右两侧面上的切应力大小相等 , 方向都背离两平面的交线.null切应力互等定理：单元体两个相互垂直平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必定成对出现，且大小相等，方向或者都指向该两面的交线, 或者都背离该两面的交线。null该定理不仅对只有切应力的单元体成立 , 对正应力和切应力同时作用的单元体亦成立 .单元体上如果只作用有切应力而无的情况称为纯剪切nullnull二，剪切胡克定律该式称为材料的 剪切胡克定律G 称为材料的切变模量 。其单位是 Pa。null材料在线弹性范围内工作,剪切胡克定律才适用。null拉(压)，剪切弹性模量与泊松比的关系对每种各向同性材料 , 只要用试验求得 E , G 和  中的任意两个值, 就可根椐公式求得另一个值.null§3-6 圆杆扭转时的应力和变形一，横截面上的应力 预先在圆杆的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列 的正方格子。null圆周线绕杆件的轴线转动，其形状和大小均未改变 ; 在变形微小的 情况下，圆周线之间的纵向距离也不改变 ; 纵向线则倾斜了一个相 同的角度  。试验结果：null刚性平面假设：变形前垂直于轴的圆形横截面 ，在变形后仍保持 为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。nullaabTTdxb1，几何方面倾角  是横截面圆周上任一点 A 处的切应变nullaabTTdxbD1DAd 是 b-b 截面相对于 a-a 截面象刚性平面一样绕杆轴转动的一个 角度。nullaabTTdxbD1DA经过 O1A 上半径 为  的任一点 E 作纵向线 EG。nullaabTTdxbD1DAEG 也倾斜了一个角度    是横截面半径上任一点 E 处的切应变。nullaabTTdxbD1DAnull此时式说明 ：同一半径  圆周上各点剪应变   均相同 ，且其值 与  成正比。 null2，物理方面由剪切胡克定律null同一圆周上各点应力   均相同 ，且其值与  成正比 ，  垂直于半径。3，静力学方面3，静力学方面oT每个微元力对圆心的矩为所有微元力对圆心的矩之和等于横截面上的扭矩 T。nulloTnulloT上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力null称为横截面对圆心的 极惯性矩式中：T 为横截面上的扭矩；  为求应力的点到圆心的距离nulloT(1) 横截面周边各点处切应力将达到最大值，圆心处的切应力为零说明：切应力与  成正比。且垂直于半径。指向与 T 的转向一致。nullWP 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3。null抗扭截面模量公式二，极惯性矩及抗扭截面模量极惯性矩公式nulldo实心圆截面 nullDdo空心圆截面null三, 强度条件对于等直杆[ ] 为扭转许用切应力, 其值可查有关资料null例3-5：图示受扭杆的直径 d = 60 mm 。试求 1—1 截面上 K 点的 切应力。3kN.m5kN.m2kN.m20mm11解：Knull例3-6：已知杆的直径 d = 80mm ，材料的许用应力[ ] = 40MPa ， 试校核该杆的强度解：画轴力图null例3-7：已知材料的许用切应力 [] = 40MPa 。试选择圆杆的直径。5kN.m2kN.m3kN.m最大扭矩为解：画扭矩图null例题：图示空心圆轴外径 D =100mm, 内径 d = 80mm , M1 = 6kN.m , M2 = 4kN.m, 材料的剪切弹性模量 G = 80GPa。(1) 画轴的扭矩图(2) 求轴的最大切应力。null(1) 画轴的扭矩图最大扭矩发生在 BC 段, Tmax=4kN.mM1 = 6kN.m M2 = 4kN.mnull(2) 求轴的最大切应力。null练习题 ：实心圆轴１和空心圆轴 2, 材料, 扭转力偶矩 M 和长度 l 均 相等, 最大切应力也相等. 若空心圆轴的内外径之比为  = d/D = 0.8 , 试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比 . null解：已知两轴扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为 T 。null解得null两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积 之比在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。nullT实心圆截面 空心圆截面复习强度条件null1，圆轴扭转时的变形是用相对扭转角  来度量的§3-7 圆杆扭转时的变形一，扭转时的变形其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。null长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角  可按下式计算对于同一材料制成的等直圆轴（G , Ip 为常量）, 若在杆长 l 范围 内 T 不变 , 则GIP 称作杆的抗扭刚度null2，单位长度扭转角在扭转问题中，通常限制最大的单位长度扭转角 max 不超过单位 长度许用扭转角 [ ] 。二，刚度条件二，刚度条件null例3-8 已知杆的直径 d = 80mm, 材料的切变模量 G = 8×104 MPa , 许用单位长度扭转角 [ ] = 0.80/m 。试: (1) 求 A , C 两截面的相对 扭转角 AC ;（2）校核该杆的刚度。null（1）求 ACnull（1）求 ACnull（2）校核刚度满足刚度条件null例3-9 受扭杆如图所示 , 已知材料的许用切应力 [ ] = 40 MPa , 切 变模量 G = 8  104 MPa , 单位长度杆的许用扭转角 [ ]=0.80/m .试 求杆所需的直径null解: 先由杆的强度条件确定所需的直径, 直径确定后, 再按杆的刚度 条件校核刚度.由杆的强度条件null刚度校核满足刚度条件 ( 如果刚度不足, 需按刚度条件重选直径 )null例题 轴上有三个齿轮. 轴的转速为 n = 183.5 r/min , G = 80 GPa , 齿轮 2 的传动功率 P2= 0.756 kW，齿轮4 的传动功率 P4 = 2.98 kW, 轴的 [ ] = 40MPa，[ ] =1.50/m。设计轴的直径。nullnullnull由强度条件选直径null由刚度条件选直径null练习题 图示实心圆轴外径 d = 60mm ，在横截面上分别受外力矩 mB = 3.8 kN.m , mC= 1.27 kN.m 作用，已知材料的剪切弹性模量 G = 8104 MPa。求 B 截面对于A 截面的相对扭转角 BA ， C 截 面对于 B 截面的相对扭转角 CB ， C 截面对于A 截面的相对扭转 角 CA.null解：画扭矩图null需分段计算相对扭转角nullnullnull例题：一实心圆截传动轴，其直径 d = 40 mm ，所传递的功率为 30 kW，转速为 n = 1400r/min，该轴由 45 号钢制成，许用切应力 [] = 40 MPa，切变模量 G = 80104 MPa，单位长度轴的许用扭转 角 [ ] = 2(0) /m。试校核轴的强度和刚度。解：先计算扭转力偶矩null此轴对强度条件和刚度条件均满足null练习题, 一电机传动轴,传递功率为 40 kW , 转速 n =1400 r/min, 轴 由钢材制成 , 材料的切变模量 G = 8104 MPa, 扭转许用切应力 [ ] = 40MPa ,许用单位长度扭转角 [ ] =1.50/m. 求轴的直径 .解: 1, 计算外力偶矩2, 横截面上的扭矩为null3, 由强度条件4, 由刚度条件null例题, 将上例轴改为内, 外直径比值为 d/D=0.6 的空心圆轴. 试按原 强度和刚度条件求轴的直径. 解: 由已知条件(1), 由强度条件null(2 ), 由刚度条件null例题: 圆轴扭转如图所示。已知 mD = 500 N.m， mB = 300 N.m ， mA = 52N.m ， D = 3 cm，d = 1.5 cm。材料的许用切应力 [ ] = 50 MPa，轴的许用单位扭转角 [ ] =2. 50/m ，剪切弹性模量 G = 80 GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。null解：画扭矩图该轴分为 AB , BD , DE 三段nullAB 段nullBD段nullDE段nullnull（1）强度校核实心圆部分校核 ED 段空心圆部分校核 BC 段ED：BC：null（2）刚度校核ED:BC:null例题 一传动轴如图所示，其转速 n = 300/min , 主动轮 A 输入的 功率为 P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率, 三个从动轮 B, C, D 输出的功率分别为 P2 = P3 = 150 kW, P4 = 200 kW。该轴是用 45 号钢制成的空心圆截面杆，其内外径之比 d/D= ½ ,材料的许用切 应力 [ ] = 40 MPa ，切变模量 G = 8104 MPa, 单位长度的许用扭 转角 [ ] = 0.3(0)/m, 试做轴的扭矩图, 并按强度条件和刚度条件选择 轴的直径。null解：计算轴上的外力偶矩nullABCDM2M3M1M4在 BC 段内，假设 T1 为正值一，画扭矩图nullABCDM2M3M1M4CA 段：假设 T2 为正值。nullABCDM2M3M1M4在 AD 段内nullnull二，分别按强度条件和刚度条件选择轴的直径空心圆外径应取 D = 126 mm , 而内径 d = 1/2 = 63 mm。null例题：圆轴如图所示。已知 d1=75mm，d2 =110mm。材料的许用 切应力 [] = 40 MPa，轴的许用单位扭转角 [ ] = 0. 8°/m，剪切弹 性模量 G = 80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。null解：画扭矩图21null21null21null例题：图示等直杆，已知直径d = 40mm，a = 400mm，材料的弹性 模量 G = 80 GPa，DB =1°。试求： (1) AD杆的最大剪应力； (2) 扭转角CA。nullnull计算外力偶矩 MeDB =  CB+  DC = 10Me = 292kN.mTmax = 3Me = 876kN.m最大的扭矩为已知 ：  DB = 1°null(1) AD 杆的最大切应力(2) 扭转角  CA CA=  BA+  CB