直线的方程

nullnull第八章 解析几何初步（必修2）2011导航2011高考导航1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的． (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2011高考导航2011高考导航(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． (5)能用解方程组的求两条相交直线的交点坐标． (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．2011高考导航2011高考导航2．圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的方程与一般方程． (2)能根据所给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据所给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系． (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2011高考导航2011高考导航1.对于直线的考查，主要考查直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式、点到直线的距离公式、两直线的垂直、平行关系等知识，都属于基本要求，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些仍是今后高考考查的热点． 2011高考导航2011高考导航2．对于圆的考查，主要考查圆的方程求法，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，题型既有选择题、填空题，也有解答题，既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力． 2011高考导航2011高考导航3．预计2011年高考对本章考查形式有两种：一是直接考查，以选择题、填空题的形式出现，主要考查直线的倾斜角、斜率、直线方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离等；二是间接考查，也就是和圆、圆锥曲线的内容综合起来，主要考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系，一般为中档题．null第1课时 直线及其方程基础知识梳理1．直线的倾斜角与斜率 (1)x轴的正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．我们规定直线与x轴平行或重合时的倾斜角为零度角，倾斜角的范围是 . 基础知识梳理0°≤α＜180°基础知识梳理(2)斜率与倾斜角的关系：当一条直线的倾斜角为α时，斜率可以表示为 ，其中倾斜角α应满足的条件是 ． 基础知识梳理k＝tanαα≠90°基础知识梳理 2．直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2) 的直线的斜率公式是k＝ . 基础知识梳理基础知识梳理3．直线方程的几种形式 基础知识梳理y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋b基础知识梳理基础知识梳理Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)基础知识梳理过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【思考·提示】　不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为x＝x1. (2)若x1≠x2且y1＝y2，直线垂直于y轴，方程为y＝y1. (3)若x1≠x2且y1≠y2，直线方程可用两点式表示． 基础知识梳理三基能力强化1．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为(　　) 三基能力强化答案：B 三基能力强化2．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程是(　　) A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5 答案：B 三基能力强化三基能力强化3．下列四个命题中，假命题是(　　) A．经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示 三基能力强化三基能力强化答案：D 三基能力强化三基能力强化4．(2009年高考安徽卷改编)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0平行，则l的方程是________． 答案：2x－3y＋8＝0 三基能力强化三基能力强化三基能力强化课堂互动讲练1．直线的倾斜角与斜率的关系 课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值根据k＝tanα来求斜率．课堂互动讲练3．利用斜率证明三点共线的方法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A、B、C三点共线． 提醒：斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论．课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率． 【思路点拨】　先用斜率公式求出直线AB的斜率，然后利用三角函数公式求直线l的斜率． 课堂互动讲练课堂互动讲练【解】　法一：设直线l的倾斜角为α， 则直线AB的倾斜角为2α，由题意知 课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】　在利用斜率公式时，要注意x1≠x2，若x1＝x2时，斜率不存在，不能再利用斜率公式． 课堂互动讲练课堂互动讲练求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论． 课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；课堂互动讲练【思路点拨】　寻找确定直线的两个独立条件，根据不同的形式建立直线方程． 课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练∴直线l的方程为： y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. 课堂互动讲练【规律总结】　用待定系数法求直线方程的步骤： (1)设所求直线方程的某种形式． (2)由条件建立所求参数的方程(组)． (3)解这个方程(组)求参数． (4)把所求的参数值代入所设直线方程． 课堂互动讲练利用直线方程解决问题，可灵活选用直线的形式，以便简化运算．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式． 课堂互动讲练直线方程几种形式的灵活运用课堂互动讲练另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式． 提醒：(1)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中要求直线的斜率存在． (2)“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0. 课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练如图，过点P(2,1)作直线l，分别交x、y轴正半轴于A、B两点． (1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程； (2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程． 课堂互动讲练【思路点拨】　求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式．由于本题中给出了一点，且直线与x、y轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路： (1)点斜式：设l的方程为y－1＝k(x－2)，分别求出A、B的坐标，根据题目要求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件； 课堂互动讲练课堂互动讲练(2,1)代入得出a与b的关系，建立目标函数，求最小值及最值成立的条件． (3)根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决． 课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】　在研究最值问题时，可以从几何图形入手，找到最值时的情形，也可以从代数角度考虑，构建目标函数，进而转化为研究函数的最值问题，这种方法常常随变量的选择不同而运算的繁简程度不同，解题时要注意选择． 课堂互动讲练课堂互动讲练　例3条件不变，求|OA|＋|OB|最小时，直线l的方程． 课堂互动讲练互动探究课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练用解析法解决实际应用题，就是通过建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，实现了从实际问题到代数问题的转化，利用代数的方法使问题得到解决． 课堂互动讲练直线方程的实际应用课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范)(本题满分12分) 某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示)．问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m，∠C＝∠D＝∠E＝90°) 课堂互动讲练【思路点拨】　先建立直角坐标系，求出AB的方程，然后求解． 课堂互动讲练【解】　以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)， 由已知可得A(0,60)，B(90,0)， 2分 课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(1)当点在BC上时，S最大＝210×240＝50400(m2).5分 (2)当点在AE上时，S最大＝180×300＝54000(m2).6分 课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练比较可知点P距AE 15 m，距BC 50 m时所开发的面积最大，最大面积为54150 m2. 12分 课堂互动讲练【名师点评】　(1)确定线段方程时，易忽视x的取值范围； (2)漏掉一顶点在BC上或AE上的情况． 课堂互动讲练(本题满分12分) 如图，l1，l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用＝灯的售价＋电费(元))与照明时间x(小时)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样． 课堂互动讲练高考检阅课堂互动讲练(1)根据图象，分别求出l1，l2的函数关系式； (2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？ (3)小明的房间照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请帮他设计最省钱的用灯方法，并求出最低费用． 课堂互动讲练课堂互动讲练解：(1)设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ∵点(0,2)，(500,17)在l1上， (0,20)，(500,25)在l2上， ∴l1：y＝0.03x＋2(0≤x≤2000)， l2：y＝0.01x＋20(0≤x≤2000). 4分 课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练∴当照明时间为900小时时， 两种灯费用相等，都是29元. 8分 课堂互动讲练课堂互动讲练(3)由题图知，前2000小时使用节能灯的费用较白炽灯低，后500小时使用白炽灯费用较节能灯低.10分 ∴总费用为2000×0.01＋20＋500×0.03＋2 ＝57(元). 12分 规律方法总结1．直线的斜率与倾斜角的关系 设直线l的倾斜角为α，斜率为k. (1)0°≤α＜180°，k∈(－∞，＋∞)． (2)当α＝0°时，k＝0；当0°＜α＜90°时，k＞0； 当α＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0. 规律方法总结规律方法总结(3)当0°≤α＜90°时，k随着α的增大而增大且k≥0； 当90°＜α＜180°时，k随着α的增大而增大且k＜0. 但不能说直线的倾斜角α越大，斜率k也越大． (4)直线的斜率与倾斜角的关系如图所示．规律方法总结规律方法总结2．直线与二元一次方程 (1)二元一次方程的几何内涵 “平面上任意一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示”，反之“关于x、y的一个二元一次方程都表示一条直线”．这就体现了直线与二元一次方程间的一一对应关系，确定了二元一次方程的几何内涵——直线． 规律方法总结规律方法总结(2)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不全为零)的几种情况： 规律方法总结规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入