4-4特殊函数的不定积分

nullnull (Advanced Mathematics)null第三节 几种特殊函数的 不定积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分null基本积分法: 换元积分法;分部积分法.初等函数初等函数例如,下列函数积分都不是初等函数直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.null有理函数的定义两个多项式的商表示的函数一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式真分式;假分式.null例多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数多项式 + 真分式分解若干部分分式之和null 对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理null部分分式(最简分式).null 用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出: 有理函数的积分是初等函数.系数的确定,一般有三种方法:(1) 等式两边同次幂系数相等;(2) 赋值;(3) 求导与赋值结合使用.null例 求解由多项式除法,有 说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.假分式null例 求解 比较系数 因式分解nullnull取例求 解 二次质因式nullnull任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B, a, p, q都为常数,并设 几种典型部分分式的积分之和n为大于1的正整数.null类型解决方法作代换去掉根号.二、简单无理函数的积分null回代例 解 令原式=null解 令 分部积分 回代例 null三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数.一般记为如三、三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分,曾用换元法 是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数 回答是肯定的.null 由三角学知识可通过变换事实上,由半角变换(或称万能代换）则表示.化为有理函数的积分.nullu的有理函数null例 求解由万能代换null回代null例 求解 法一回代null 法二修改万能代换公式令说明的有理式的积分时,更方便.用代换通常求含null 例 求 解原式=这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦.使分母为单项,作变换分析分母是100 次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,除一下,化为和差的积分.null例 求 解原式= 分项 凑微分 约去公因子 配方null例 求 解 比较系数 二次质因式nullnull作业 P186 2(1)(5)(9) P187 6, 10, 11, 18