后悔因素对保险需求的影响

··学术要论 17 2008.10消费导刊 Consume Guide·ConsumingMarket ■ 奎潮 单小丹 南开大学经济学院 后悔因素对保险需求的影响 [摘 要] [关键词] 本文研究在不考虑后悔因素和将后悔因素纳入模型两种情况下的最优个体保险购买决策。无论从保险经济学还是从资产组合理论出 发，我们都会得到以下结论：在共保中，有后悔假设偏好的个体不会采取极端的行为，也就是说，他们不会投全保或不投保。 后悔因素 保险需求 资产组合 作者简介：奎潮（1984-），男，云南大理人，南开大学风险管理与保险学系保险专业在读硕士研究生；单小丹（1984-），女，山东龙口人，南开大学风险管 理与保险学系精算专业在读硕士研究生。 为解释“后悔规避”个体规避风险的方 式与预期效用最大化个体规避风险的方式的 不同，本文采用非传统的公理性效用函数。 该函数由Loomes and Sugden（1982）和 Bell（1982）的“后悔理论”推导而来，由 Sugden（1993）和Quiggin（1994） 公 理 化，他将后悔定义为一种无效，该无效是指 没有做出事后最优选择的无效，实验和实证 中都存在这种情况，这或许有助于解释保险 需求中的怪现象。以前的研究只考虑一个属 性：财富分别在预期效用理论（EUT）、非预 期效用理论和双重理论情况下以及最小最大 后悔情况下实际结果与事后最优结果的差 距。我们试图把后悔看作另一个属性和财富 一起纳入了客观函数。模型中，个体的目标 是使上述效用函数的预期价值最大化。我们 将该客观函数称为“后悔假设的预期效用” （RTEU）。 结果预测，Sugden (1993)和Quiggin (1994)后悔理论公理偏好（比如，满足后悔 假设的偏好）下的保险决策不像Savage （1954）EUT公理偏好下的决策那么极端。 也就是说，EUT预期应投保额较大时，后悔规 避的个体（比如，拥有后悔假设偏好的个 体）投保额反而较少；而在EUT预期投保额较 少是最优决策时，后悔规避的个体反而倾向 于购买较多的保险。 从资产组合理论出发，资产组合理论时 研究投资者如何在有风险和无风险的资产之 间进行组合“游戏”，以求得自身利益的最 大化。设A代表所有的资金都投到无风险资产 时的最终资产， 指的是对无风险资产的随即 超额支付，个人选择一个权数β，最终财富 为（1）式： Y(β)=（1-β）A+β（A+ ）=A+β 资 产 组 合 的 一 个 基 本 结 论 是 sgnβ *=sgnE（），即，若 <0，则β=0；反之， 则β=1。 令（1）式参数取值如下： 即可推出： W（θ）=w -（1+λ）θE（L）-（1- θ）L （2） 且在l>（1+λ）E[L]时，θ=1；反之， θ=0。此乃保险需求模型中的莫森定理。 保险需求模型： 假设保险人提供共保率θ∈[0,1]的共保 保单，赔付I∶[0, w ]→R为： I(l)=θ·l 对于随机变量L，所有的已致损失l∈R ， 且保费为： P(θ)=(1+λ)E[I(L)]=(1+λ)θE（L）, 其中λ≥0是比例附加因子。 个体选择共保率θ以使最终财富的 RTEU最大化。最终财富是θ的函数： W（θ）=w -（1+λ）θE（L）-（1- θ）L 此式即为（2）式，可见，保险需求模型 是资产组合理论的特殊形式。 为得到最优保险购买决策，首先推导最 终财富的事后最优水平w*。 莫森定理：在已致损失l>（1+λ）E[L] 时，事后最优保险购买决策为全保（θ= 1）；反之，不投保（θ=0）。最终财富的事 后最优水平为w*= w -min(1,(1+λ）E[L])。 可以用个人在事先知道实际损失额时的 保险购买量来解释这些事后选择。如果损失 少于全保的保费，那么个人与其缴付保费不 如直接赔付损失；同样，如果损失总额高于 全保保费，个人更倾向投全保。 Mossin（1968）证明，如果保单定价公 平，风险厌恶却非后悔规避的个体会投全保 （θ*=1），而部分投保可能是正的附加因子 （λ>0）、道德风险（Holmstrom，1979） 或逆选择（Rothschild and Stiglitz，1976） 导致的。如果λ>0，那么部分保险是最优的 （θ*<1）。 在资产组合理论下，我们来观察在后悔 规避条件下投资人的投资行为。假设某人的 最初财富禀赋w ≥0，他能在风险资产和安全 资产之间配置其财富。风险资产的回报用随 机变量R表示，R的分布用累计分布函数F表 示，而安全资产带来的是固定的回报r。在选 择资产时，投资者会考虑到自己可能会因为 做了一个事后证明次优的投资决策而后悔万 分。比如，当风险资产带来滚滚财源时，他 就会后悔怎么没有把所有的财富都配置成那 一项资产；相反，风险资产回报低甚至赔钱 时，他又会后悔一分钱都不该投给这项资 产。 为了参与者在事先配置财富时后悔 产生的影响，可以根据伯努利的研究方法， 用含有两种属性的伯努利效用函数来表示投 资者的偏好： U(w)=u(w)-t·g(u(w*)-u(w)) 此处的w= w (1+θR+(1-θ)r)是实际的 财富水平，w*是事后最优的财富水平。事前 最优的配置产生的财富水平使投资者知道了 风险资产的实际回报。代表风险厌恶的第一 属性用投资者的效用函数u(·)来表示， u>0，u <0。第二属性与投资者的预期后悔 有关，函数g(·)测量的就是投资者体验的后 悔程度。本应取得的事后最优财富水平w*和 实际最终财富水平之间的差距越大，就越后 悔。参数t测量的就是第二种属性“后悔”相 对于传统的第一种属性“风险厌恶”的重要 程度。我们假设g(·)是递增函数和严格凸函 数。g>0，g <0，代表后悔规避。如果t=0， 那么该个体就是传统的风险厌恶的预期效用 最大化者。如果t>0，那么该个体的效用函数 包括对后悔的补偿，我们称该个体为后悔规 避者。 为了决定投资者的事后最优财富水平， 我们必须区分两种情形：一种是风险资产实 现的收益超过了安全资产的收益，R> r，此 时后悔规避者恨不得把所有的财产都放置在 风险资产下；另一种则相反，R< r，此时把 所有的财产投资在安全资产下是最明智之 举。 现在我们来对比后悔预期是怎样影响投 资者配置最优的资产结构的。给定后悔系数 t≥0，θ* =θ*，用θ*表示配置在风险资产 下最优的比例。一个后悔规避的投资者不会 像前面提到的风险厌恶者那样表现极端。他 不会把所有的财产压在某一种资产下，而是 在两个端点之间摇摆。换言之，公平保费低 时他会选择风险性大的资产，反之则青睐谨 慎性高的资产。 引理一 当E(R)- r =0时，对于所有的 t>0，有θ*>0且θ* =0； 当 时，对于所 有的t>0，有θ*<1且θ* =1。 证明：投资者的最优化目标是： （3） 其中w(θ)= w (1+θR+(1-θ) r)和w*= w (1+max(R, r))分别表示投资者的最终财富 水平和事后最优财富水平。（3）式的一阶和 二阶导数是： （4） <0 (5) 一、不考虑后悔因素的情况 二、考虑后悔因素的情况 0 0 + 0 0 0 f t 0 f f f 0 t f t 0 t 0 0 f 0 f ' ” ' ” ·学术要论 18消费导刊200 .8 10 Consume Guide·ConsumingMarket 由于E[ur(w(θ))]对于θ严格凹，（4）式 的解是唯一最优值。（4）式可分解为： 当θ=0时， （6） 当θ=1时， （7） 如果E(R)-r =0，那么对于所有t>0有 ； 如果 ，那 么对于所有t>0有 。即，第 一种情况下，对于所有t>0有θ*>0；第二种 情况下，对于所有t>0有θ*<1。 即使公平保费仅为零，后悔规避型的投 资者也经常把一部分的财富投资在风险性资 产（比如股票），相反，此时的风险厌恶投 资者则是把所有财富都投给了安全资产。另 外，当公平保费足够高时，后悔规避型的投 资者也把一部分的财富投资于安全资产（比 如债券），而此时的风险厌恶投资者则是把 所有财富都用于买股票（风险资产）。直观 的看来，如果选择极端投资方案，投资者极 有可能后悔。比如，当所有的财富都投资于 安全资产，一旦遇到了牛市投资者简直追悔 莫及。 凸函数g(·)代表的后悔规避会导致极 端决定的次优结局。 引理二 与风险厌恶相比，投资者如果更 重视后悔的权重（即t值越大）。当E(R)- r =0时，他将会投资更多给风险性资产。而在 时，他对风险性 资产的投资会更少。即 如果E(R)-r =0， 如果 证明：一阶条件（4）分别对θ和t求偏导 得： 因此， 由于 所以 交叉偏导等于： 由（4）知： 由于 ，所以 （8） 如果E(R)- r =0，借助引理一，可由 （8）推得 ； 如果 ，借助引 理一，可由（8）推得 。 换句话说，在E(R)-r =0时，投资者越厌 恶后悔，他就越有可能在他的资产中持有更 多的股票。相反，公平保费很高时，他会减 持得更厉害。 下面我们要说明，存在一个特定的安全 资产收益率和一个公平保费水平，在这个临 界点上，后悔因素不影响在风险性资产上的 最优投资比例，即此时的后悔规避型和风险 厌恶型投资者资产配置相同。 引理三存在一个点 ，使得 ，此时对于所有t≥0，有着 θ*=θ*。 证明：在引理一基础上，由介值定理， 存在 使得： 有一阶条件： 由此可知： 上述条件与t无关，所以对于所有t ≥0有 换句话说，当公平保费处于某个中介水 平时，后悔规避型投资者的资产配置选择等 同于未考虑后悔因素的选择。 用图1总结如下： X轴表示公平保费，Y轴表示在风险性资 产上的最优投资水平。在公平保费为零时， 风险厌恶投资者把所有财富都投给了安全资 产(θ* =0)，而后悔规避型的投资者把一部分 的财富投资在风险性资产（比如股票）(θ *>0)。随着风险厌恶的增强，θ >θ，投资 在股票上的财富量在增加，当公平保费足够 高时，风险厌恶投资者则是把所有财富都用 于买股票（风险资产）(θ* =1)。而后悔规避 型的投资者把一部分的财富投资于安全资产 （比如债券）(θ*<1)。随着风险厌恶的增 加，当公平保费很高时，投资在股票上的财 富减少。 研究结果表明，当把后悔因素纳入决策 过程时，后悔规避偏好的投资者的行为将不 符合传统的预期效用理论的预测结果。如果 一个纯风险厌恶的人选择了高风险的资产配 置，他的后悔规避型同伴将选择相对风险低 的资产配置。如果前者选择了无风险的资产 配置，后者将偏好相对风险高的资产配置。 保险需求模型理论： 现在关注如何将RTEU函数应用到最优保 险购买决策中。假设某人的最初财富禀赋 w ≥0，面临的随机损失金额为L，用累计分 布函数表示为F∶[0, w ]→R，满足F(0)=0且 F(w )=1。保险公司向个人提供一组赔付保险 合同的清单，其中的保费等于预期赔付加上 与之成比例的附加费用λ（λ≥0）。假设在 完全竞争的保险市场中有一定交易成本而无 进入成本，且保险人风险中立，该定价行为 从经济角度来说就是合理的。这里排除了可 能引发道德风险或逆选择问的所有信息不 对称的情况。假定个人的决策制定可以用 RTEU函数的最大化表示，且RTEU服从伯努 利效用函数u∶R →R，由于厌恶后悔，该函 数结构即： U(w)=v(w)-t·g(v(w*)-v(w)) 满足所有最终财富w≥0的情况。 命题1：对于共保保单，即使定价公平 （λ=0），后悔规避的个体也会部分投保 （θ*<1）。 将（7）式中参数进行变换，令 即可推得， ，即命题1是引理一的拓展。 下面考虑后悔规避的个体在共保保单公 平定价（λ=0）时投全保的情况。如果 l>E[L]，这个人不会后悔，因为他已经做出了 事后最优选择；反之，这个人会后悔买保 险。降低共保率会使这个人在所有情况下都 感到后悔：l>E[L]时后悔较多；反之后悔较 少。由于g是凸性的，降低共保率会减少后悔 的预期无效，所以全保并非最优。 f t t f f f f t 0 t 2 1 0 t 0 0 0 + t 图1考虑后悔规避的资产配置 ··学术要论 19 2008.10消费导刊 Consume Guide·ConsumingMarket 给定附加因子λ≥0和后悔系数t≥0，用 θ* (λ)代表最优的共保率。已经证明， t>0时，对于所有λ≥0，都有θ* (λ)<1。下 一个命题说明了保单定价公平时后悔系数t的 变动对最优共保水平θ* (0)的影响。 命题2：对于公平定价的共保保单，后悔 系数t较高的个体所购买的保险比后悔系数较 低的个体购买的要少（即 ）。 同样，令 即可由引理二推得 。 Mossin（1968）告诉我们，总存在一个 比个体不投保时的附加因子（满足θ* (λ)=0）大的因子 。下一个命题说明，在 该附加因子下，后悔规避个体会购买保险， 且保险水平随后悔规避程度的提高而提高。 命题3：如果共保保单的附加因子为： ， 那么后悔规避的个体（t>0）会购买一定 量的保险（ ），然而非后悔规避的个体 （t=0）不会买保险（ ）。在该附加因子 下，最优共保率是后悔系数t的增函数（即 ）。 证明：t=0时， 对于不考虑后悔的个体存在 使得效用 最大化，即 E[v(w(0))(L-(1+λ)E(L))]=0 可推得： 同样，令 即可由引理二推得 。 该结果与公平定价保单的推论相同。可 以购买一定量的保险来降低后悔的预期无 效。 到此为止我们推得了如下结论： θ* (λ)<1，当t>0，λ≥0时， ，当t>0时， ，当t>0时， ，当t>0时， 这些结论意味着，当λ=0时，后悔会使 个人部分投保而非投全保；而在 时，后 悔会使个人部分投保而非不投保。存在某个 附加因子使后悔对保险最优数量无影响。与 非后悔规避的个体的保险数量相比，后悔规 避个体的保险数量由比其少到比其多的转捩 点可以用这个附加因子来反应。 命题4：存在附加因子 ，使得当t≥ 0时，有 。 同理可知该命题为命题三的拓展。 图2显示了后悔对最优共保率的影响。 图2考虑后悔规避的最优共保率 前面已经证得 ，因此图 2和图1是等价的，这样，从图表上就可以直 观的观察资产组合理论与保险需求理论的一 致性。 除了θ* (λ)散点图的终点，我们不了解 内部任意一条曲线的确切形态。在以EUT为基 础的保险需求模型中，θ* (λ)的斜率和凹度 受收入效应和替代效应的影响，在RTEU模型 中也是这样。然而，我们发现，较低的附加 因子值意味着后悔的增加会导致保险购买量 的减少，而较高的附加因子意味着后悔会导 致保险购买的增加。这并不是说，在较高的 附加因子下保险的购买量一定较多。而是 说，应该将变动的最优保险需求量看作与直 接与其效用最大化者相对应的后悔规避个体 的保险需求量。改变单一属性的预期效用函 数的风险厌恶不能得到该结论，因为在终点 （全保或不保），EUT的预测是针对效用函数 为凹的风险厌恶个体而言的。 综上可见，由资产组合理论出发推出的 所有结论都会转化为由保险经济学出发推出 的结论，保险需求模型理论本质上是资产组 合理论的拓展应用。 t t t t t 0 0' 参考文献 [1]Bell，D. 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(1993) An axiomatic foundation ofregret.JournalofEconomicTheory，60(1) 定位等策略来打动具有不同价值观和收视习 惯的消费者，一改过去那种以同一节目面向 不同受众的传播模式。这样一个多元化消费 时代的到来，使得市场细分成为科学营销的 前提，企业必须一改那种把相同的产品、相 同的宣传策略以及相同的消费理念贩卖给不 同消费者的大众营销模式，找到有效的细分 维度，进一步细分本企业锁定的目标消费 者，并创新高价值的产品，力求更为精 准地把握消费动态和消费需求，实施差异化 的精准营销。不过企业在实施精准营销的过 程中要考虑投入的营销成本，此外还要考虑 这种细分市场的可得性和可操作性。 在这股多元化消费浪潮中，企业要特别 关注两种现象：一是跨性别的产品将会是潮 流。现代社会已逐步进入男女性别决裂的大 时代，男性女性在某些领域的界定上将会愈 来愈模糊，尤其体现在年轻的追求时尚的中 层消费者群体之中，他们对中性产品的喜爱 将无可避免反映在未来的消费选择上。二是 重视女性价值观。 世纪，中产阶层的女性 会更乐于提出自己的看法，更着重于女性的 “不同”和“价值”，更积极于解决属于女 性的问题。例如女性信用卡、女性银行服 务、女性保险服、女性电脑等等。 21 参考文献 [1]许欣欣，中产阶层典型生活[J]，中国经济周刊， 2006，12（4），5-9 [2]杨宜勇，新中间阶层消费导向[J]，开放导报， 2006，3（2），1-5 [3]陈格雷，赵冰.解码“营销2.0”[J]，国际广告， 2007（3）：93-96 [4]西莉亚·卢瑞， 消费文化[M]，南京：南京大学 出版社，2003，87 [5]谢荣华，我国中产阶级消费特征研究[J]，当代经 济，2007，(7)，45-47 （上接第16页）