ch1-行列式

nullnull线 性 代 数地点：理学院 202 电话：62338357 手机: 13681495538 李霞 邮件：leexia66@sina.comnull线性代数学习各门理工科专业的重要基础解决各种专业问题的重要工具培养能力，锻炼理性思维提高综合素质，享受数学之美null1.简介：行列式、矩阵、n维向量、 线性方程组、形与二次型。 其中行列式与矩阵是基本理论基础。3.学习要求 认真听讲，精读本一遍， 独立完成作业，注意基本概念。 勤于思考，勇于探索，培养能力。2.课程特点 抽象性强，应用性强。 以离散变量为研究对象。第1章 行列式第1章 行列式1.1 n 阶行列式的定义及性质用消元法解二元线性方程组null主对角线副对角线对角线法则二阶行列式计算：对于二元线性方程组系数行列式null例解null三阶行列式对角线法则--沙路法注意 红线三元素的乘积正号，蓝线…负号．说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 说明2 三阶行列式包括3!项,不同行不同列的三个元素的乘积的代数和. 利用三阶行列式求解三元线性方程组?null例 计算三阶行列式 解按对角线法则，有null例解方程左端null三阶行列式用于解三元一次联立方程组null再议三阶行列式的计算null在n 阶行列式中, 划去元素 所在的第 i 行和第 j 列, 留下来的 n-1 阶行列式叫做元素 的余子式元素 的代数余子式:nullnull由 n2个数 ai j ( i, j = 1, 2,, n )组成的 n 阶行列式 n 阶行列式的定义（递归法）null性质1 行列式与它的转置行列式相等.说明 行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的行列式性质对列也同样成立.nullnull性质2 行列式按任一 (或列)展开，其值相等。null例 计算 null例 计算行列式null例 Dn==(1)n(n1)/2a1a2an1an= (1)n1 an Dn-1==(1)n+1 an Dn-1=(1)n1 an (1)n2 an1 Dn-2null性质3（线性性质）推论 若行列式有一行元素全为零， 则行列式的值等于零（k = 0）。nullnull例 证明： 证明=右式null性质4 若行列式有两行元素相同，值为0.用归纳法证明： n = 2成立。设命题对 n-1 阶行列式成立， 对第 i, j 行相同的 n 阶行列式 D， 对第 k ( k  i, j ) 行展开,得null 推论 行列式有两行元素成比例， 则行列式的值为 0。null 性质5 将行列式的某一行乘以常数加到另一行(对行列式作倍加行变换), 则行列式的值不变。null性质6 若行列式两行对换，行列式的值反号。null证null 性质7 行列式某一行元素与另一行相应元素的 代数余子式的乘积之和等于零，即 证null关于代数余子式的重要性质null5、某行（列）的倍加到另一行（列）上值不变；性质小结6、互换两行变号；1、转置值不变；2、按任一行（列）展开；3、提取行（列）公因子， 按行（列）可拆为两个的和；7、某一行（列）与另一行（列）对应元素的 代数余子式之和为零；4、两行（列）相等值为0；null为了帮助记忆，行列式的性质可以归纳如下： 　（1）两个翻：全翻（转置）不变； 部分翻（交换）变号。 （2）三个零：某行（列）元素全为零； 两行（列）元素对应相等； 两行（列）对应位置元素成比例。 　（3）三个可：可提性，可分性，可加性1·2 n 阶行列式的计算计算方法：利用定义或性质。例上、下三角行列式均等于其主对角元素的乘积1·2 n 阶行列式的计算null 对行列式做倍加变换把行列式的某行(列)的元素化为只剩一个非零元，把行列式按行展开，从而降阶计算，这是计算行列式的最基本方法计算行列式常用方法： 利用运算行列式的性质把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值．null例null设 x y z  0,计算解法1第1行乘(1) 加到第2, 3行null解法2拆项法 将D表示成23个行列式之和（拆第1列）拆第2,3列，除去有 两列成比例而等于零的null已知 求x。解所以x= -3, -5, 2是x的三次方程的3个根。 nullnull例计算n阶行列式null利用性质计算行列式=112null解 按第1行展开例 三对角行列式 null改写递推式，其中，null例 计算n 阶行列式解法一（直接法）第一行的（-1）倍分别加到其余各行爪型行列式nullnull解法二（加边法或升阶法）nullnull计算 例 解：找到它的递推公式来进行计算。nullnull例nullnull满足条件的同类因式的乘积例利用数学归纳法也是计算和证明行列式的常用方法 证null再按行提取公因子 xk-x1:null 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式 可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种 方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行 变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结null思考题解答计算四阶行列式nullnull思考题解:§1·3 Cramer法则设线性方程组 非齐次线性方程组;齐次线性方程组.§1·3 Cramer法则一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，null其中Dj 是把系数行列式D中第j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，那么非线性方程组有解，并且解是唯一的:null(i = 1, 2,,n)证明(1)验证满足方程组.null（2）设是方程组的解，则null由代数余子式的性质可知,null例 用克拉默则解方程组解nullnull 例 已知三次曲线 y= a0+a1x+a2 x2+a3 x3 过4个点Pi ( xi , yi ) (i =1,2,3,4）其中x1, x2, x3, x4 互异， 试求方程的系数 a0 , a1 , a2 , a3将4个点的坐标分别代入三次曲线的方程, 得到非齐次线性方程组其中a0 , a1 , a2 , a3 为未知量； 方程组的系数行列式D 是范德蒙行列式.null其中 Dj 是以 y1 , y2 , y3 , y4 替代 D 中 第 j 列元素所得的行列式.由Cramer法则,有唯一解( j = 0, 1, 2, 3)null齐次线性方程组的相关定理　 如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0 则齐次线性方程组只有零解.null定理3 若齐次方程组的系数行列式则方程组有惟一零解.解 若方程组有非零解,则其系数行列式为零,null例 问 取何值时，齐次方程组有非零解？解时，齐次方程组有非零解.三、小结1. 用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2. 克拉默法则建立了线性方程组的解 和已知系数与常数项之间的关系. 它主要适用于理论推导.三、小结null解设所求的二次多项式为由题意得又得故所求多项式为思考题