最小值与最大值问题

§3.6 最小值与最大值问题 一、闭区间上连续的最值 综上讨论，函数取得最值的点只能是区间的端点或开区间内导数为零、导数不存在的 点。计算函数在这些点处的函数值，比较它们的大小就可得到函数的最值。 【例 1】求函数 f x x x( ) = + ⋅2 3 23 在[ , ]−2 2 上的最值。 二、非闭区间上定义的函数最值 对于非闭区间上定义的函数，它有可能存在着最值，也有可能不存在着最值，这就给 求函数最值带来了困难。 探讨函数最值，可先求函数的可疑极值点(驻点，导数不存在的点)，并讨论由这些点所 形成的区间上函数的单调性，再利用函数的性态来判断函数在这些可疑点处是否有最值。 下面以例子来说明具体求法。 【例 2】求函数 f x x x( ) = 1 在定义区间 ( , )0 +∞ 上的最值。 【例 3】求函数 f x x x( ) = − +3 3 1在 ( , )−∞ 2 的最值。 三、实用最值应用问题 利用求函数的最值来处理实际问题，有如下几个步骤： 1、据实际问题列出函数达式及它的定义区间； 2、求出该函数在定义区间上的可能极值点(驻点和一阶导数不存在的点)； 3、讨论函数的单调性，确定函数在可能极值点处是否取得最值。 【例 4】试求单位球的内接圆锥体体积最大者的高，并求此体积的最大值。 解：设球心到锥底面的垂线长为 x，则圆锥的高为1 0 1+ < v 0，函数单增； 在 1 3 1<