双线性

§5.3 Hopf-Cole 变换和 Hirota 方法 一、Burgers 方程的 Hopf-Cole 变换 自变量变换或函数变换是求解偏微分方程的基本方法. 比如在 5.1 解中几类典型非线性方程 的求解方法，共同点是应用变量变换把方程化为比较简单的形式，然后求出其解. 线性方程的 Fourier 积分变换和逆变换实质上也可以看作是对自变量和函数的变换. 对线性方程，不论是对自 变量变换还是对函数变换，一般都是函数变换. 但通过线性变换一般不能够把非线性偏微分方程 简单化，只有通过非线性变换才能实现. Hopf-Cole 变换是有效的变换类型之一. Burgers 方程的一般形式是： 2 2 0 ( 0, u u uu t x x          constant). （5.3.1） 显然 Burgers 方程（5.3.1）中去掉非线性项 uu x   即为线性扩散方程，由此猜测存在非线性变换 将其与线性扩散方程 2 2 0 . v v t x     （5.3.7） 联系起来. 首先，令： wu x   （5.3.8） 带入 Burgers 方程（5.3.1）得： 2 3 2 3 2 0 w w w w t x x x x           关于 x 积分，并取积分常数为零： 22 2 1 0 2 w w w t x x           （5.3.9） 因为要寻求形式 的解，故取积分常数为零. 只需建立方程（5.3.9）与线性扩散 方程（5.3.7）的联系即可. 设 0( )w x  ( )v f w 将其带入方程（5.3.7）， 22 2 2 2 0 f w f w f w w t w x w x                      记 'f f w   ，得： 22 '' 2 ' 0 w w f w t x f x             （5.3.10） 1 与（5.3.9）比较，只需令： '' ' 1 2 f f   该式的解为： ( ) exp , , . 2 wf w a b a b       为任意常数 式中最简单的情形即： . 此时可得 0, 1a b  2 ln 2 lnw f v     因此在非线性变换 2 lnu x  v   （5.3.11） 下，Burger 方程（5.3.1）化为线性耗散方程（5.3.7）. 注：变换(5.3.11)称为 Hopf-Cole 变换. 由此若已知线性耗散方程（5.3.7）的解，通过式（5.3.11）可求得 Burgers 方程（5.3.1）的 解. 例 1，已知（5.3.7）的行波解：  1 exp ( ) , ( / )v k x ct k c      将其带入式（5.3.11）得到 Burger 方程的一个解  2 ln 1 exp ( ) 1 tanh ( ) 2 cu k x ct c x ct x                 (5.3.12) 显然，该式与（5.3.6）一致. 例 2，已知（5.3.7）的行波解：   1 1 exp ( ) , ( / , N i i i i i i i v k x c t k c        为常数) 将其带入式（5.3.11）得到 Burger 方程的一个解（N-孤立子解）       1 1 1 2 ln 1 exp ( ) exp ( ) 2 1 exp ( ) N i i i i N i i i i i N i i i i u k x k k x c t k x c t          x c t                (5.3.13) 例 3，考虑 Burgers 方程的初值问题： 2 2 00 0 ( , 0) ( , ) ( ) ( ) t u u uu x t x x u x t u x x                     ， ， t （5.3.14） 2 由 Hopf-Cole 变换，上述初值问题化为线性扩散方程的初值问题 2 2 0 00 0 0 ( , 0) 1( , ) ( ) exp ( ) ( ) 2 x t v v x t t x v x t v x u x dx x                         ， ，  （5.3.15） 由 Fourier 变换可求得其解为： 2 0 1 (( , ) ( , ) ( ) , ( , ) exp 44 )x sv x t G x s t v s ds G x s t tt            因此初值问题（5.3.14）的解为： 12 2 0 0 ( ) ( ) ( )( , ) exp ( ) exp ( ) . 4 4 x s x s x su x t v s ds v s ds t t t                                     可见，由于非线性项的存在，Burger 方程的解十分丰富，除了行波解外，还可以找到各 种形式的解. 二、KdV 方程的广义 Hopf-Cole 变换 已知 KdV 方程为： 3 3 0 u u uu t x x        （5.3.16） 与 Burgers 方程比较，KdV 方程仅比 Burgers 方程高一阶导数，故寻找类似的 Hopf-Cole 变换，使 得 KdV 方程线性化。 首先，令： wu x   （5.3.17） 带入 KdV 方程（5.3.16）得： 2 3 4 3 4 0 w w w w t x x x x           关于 x 积分，并取积分常数为零： 2 3 3 1 0 2 w w w t x x           （5.3.18） 上式也称为 KdV 方程. 其次令： 12 lnw x  v  （5.3.19） 方程（5.3.18）化为： 3 22 2 4 2 4 ln ln ln6v v v t x x x            0 （5.3.20） 注意： 2 2 2 22 2 2 2 2 33 2 3 2 3 3 2 3 24 2 2 2 4 4 2 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 3 2 ln 1 3 4 v v v v vv t x x v t v x t t x v v v vv x x v x v x x v v v v vv v x v x x x x v v vv v x v x                                                                              2 43 2 3 3 212 6 v v v vv v 4 4 v x x x x x                        x 带入（5.3.20），并乘以 ，得： 2v 23 3 2 3 3 23 v v v v v v v vv x t x x t x x x x                                           3 3 0 （5.3.21） 该方程虽仍为非线性方程，而且比原方程更复杂，但有一个特点：方程的每一项中未知函数或它 的导数均出现两次，因此称为 KdV 方程的双线性形式. 尽管（5.3.21）式比（5.3.16）式复杂， 但如果取 v 满足： 23 2 3 20, 0. v v v v v t x x x x        3 3          （5.3.22） 此时方程（5.3.21）同样成立. 注意到（5.3.22）式中第二个方程可改写为： 2 2 2 0 v v v x xx x                即  2 2v vx x      常数 方程（5.3.22）可以改写为： 3 2 3 20, 0. v v v v t x x x           （5.3.23） 因此，如果 v 同时满足（5.3.23）式中的两个线性方程，则通过变换确定的函数 , 12 lnwu w x x     v k （5.3.25） 一定是 KdV 方程（5.3.16）的解. 但反之结论不一定成立，即该条件仅仅是充分条件. 注：变换(5.3.25)称为广义 Hopf-Cole 变换. 例：不难发现。同时满足（5.3.23）中两个线性方程的一个解为：   31 exp 2( ) , ( 4 , 2 )v kx t k        4 带入变换（5.3.19）： 12 exp( )sech( )w k kx t kx t     2 212 sech ( )u w k kx x t     这就是 KdV 方程的孤立波解（与（3.2.28）式一致）. 由 34 k  可得 波速为 24c k k    . 注：1. 上述分析可知，对 KdV 方程（5.3.16），可以通过推广的 Hopf-Cole 变换（5.3.25） 使他化为线性方程. 2. 这种特殊变换方法还可以得到 KdV 方程更多的解. 为此引入小参数 ，设线性方程组 （5.3.23）的解为： 2 3 1 2 3 1 1j j j v v v v v            （5.3.26） 其中 分别表示 v 的一级、二级和三级近似. 将其带入双线性方程（5.3.21）,按1 2 3,v v v和  幂次分 类，得到： 3 1 1 3 0 v v x t x        ， （5.3.27） 23 3 2 2 2 1 1 1 1 1 13 3 23 v v v v v v vv 3 1 3 v x t x x x t x x x x                                                   （5.3.27） 3 3 2 2 3 3 3 1 2 2 1 2 1 2 2 1 13 3 2 23 2 v v v v v v v v v v vv 3 3 3x t x x x t x x x x x x x                                                           （5.3.28） 方程（5.3.27），（5.3.27），（5.3.28）分别称为方程（5.3.21）的一级近似、二级近似和三级近似方 程. 取一级近似方程（5.3.27）的解为两个线性波的迭加：    1 1 2 22( ) 2( ) 1 1 2 k x t k x tv a e a e   ) （5.3.29） 其中 ， 是表示振幅的常数. 将其带入（5.3.27）式，方程右边第一项为 零，化为： 34 , ( 1,2i ik i   1 2,a a        3 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 48 exp 2v v k k k k k k x tx t x                         关于 x 积分一次并取积分常数为零：         23 1 22 2 1 2 1 2 1 2 1 23 1 2 24 exp 2 k kv v k k k k x t t x k k                     不难求得其一个特解： 5       2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 exp 2k kv k k x t k k                  1 2 （5.3.30） 将（5.3.29）和（5.3.30）带入方程（5.3.28），经过复杂数学运算，可得： 3 3 3 3 0 v v x t x          该方程形式上与一级近似方程相同，取其特解形式为： 3 0v  ，同理可得， . 这 样级数（5.3.26）截断到 0( 4,5,...)iv i  2 2v 项，不妨取 1  ，则有：  1 21 2 1 2 22 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 , , ; , v v v a e a e a e k ka e a e a a a k x t k x t k k      2 .                         带入（5.3.25）：   1 21 2 1 2 22 2 1 2 3 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 2 1 2 12 ln 1 , , , ; , ww a e a e a e u x x k ka e a e a a a k x t k x t k k       2 .                         它称为 KdV 方程的双孤子解. 二、KdV－Burgers 方程的广义 Hopf-Cole 变换 已知 KdV－Burgers 方程为： 2 3 2 3 0 u u u uu t x x x            （5.3.31） 也可以应用推广的 Hopf-Cole 变换，把它化为线性方程. 首先，令： wu x   带入 KdV 方程（5.3.16） 并关于 x 积分一次，取积分常数为零： 2 3 3 3 3 1 0 2 w w w w t x x x               （5.3.32） 上式也称为 KdV-Burgers 方程. 其次令： 12 ln 12 ln 5 w v x x   v     带入方程（5.3.32），整理后得到： 2 3 2 3 2 22 3 2 2 3 2 3 2 2 1 5 1 3 0 5 5 v v v vv v x x t x x v v v v v v x x x x x x                                                            （5.3.33） 6 显然如果取 v 满足： 2 3 2 3 22 3 2 3 22 2 2 2 0, 0, 0. 5 v v v t x x v v v x x x v v v x x x                                 （5.3.34） 此时方程（5.3.33）同样成立. 式中第二个方程与（5.3.22）式相同，第三式可以消去 2 2 v x   ，这样 （5.3.34）化为： 2 3 2 3 2 2 2 2 0, , 5 . v v v t x x v v x x v v x x                  （5.3.35） 因此，如果 v 同时满足（5.3.35）式中的三个线性方程，则通过广义 Hopf-Cole 变换确定的函数 12, ln 12 ln 5 wu w v x x        vx   （5.3.36） 一定是 KdV－Burgers 方程（5.3.31）的解. 但反之结论不一定成立，即该条件仅仅是充分条件. 例：不难发现。同时满足（5.3.35）中三个线性方程的一个解为：   2 31 exp , ( , ) 5 v kx t k k k               带入变换（5.3.36）：  12 ln 1 exp( ) 6 exp sech 5 2 kx t kx tw kx t k 2                      232 1 tanh 25 10 u c x ct              其中 2 2 6 25 c k k k         . 注：1. 上述分析可知，对KdV-Burgers方程（5.3.31），可以通过推广的Hopf-Cole变换（5.3.36） 化为线性方程. 2. 这种特殊变换方法还可以得到 KdV-Burgers 方程更多的解. 三、Hirota 方法 前面的例题中看到，KdV 方程，KdV-Burgers 方程在推广的 Hopf-Cole 变换下，可化为双线 7 性方程。虽然双线性方程的形式比较复杂，但是从双线性方程出发可以求得 KdV 方程（或 KdV-Burgers 方程）更丰富的解. 自然的会问：其他的非线性方程是否有类似于推广的 Hopf-Cole 变换 12, ln 12 ln 5 wu w v x x        vx   形式的因变量变换呢？经过变换化为的双线性形式的方程有没有规律？为此，日本学者 Hirota 在 19 世纪 70 年代处，引入了一种新的作用在函数对{a(x),b(x)}上的二元微分算子，记为 D-算子: (5.3.37) 其中，m,n 为非负整数. 例如，当 0, 1,2,3,4m n  时：     ' ' ( , ) ( ', ') 'x x x t t f gD f g f x t g x t g f x x x x                  2 2 22 2 2 ' ' ( , ) ( ', ') 2 'x x x t t f f g gD f g f x t g x t g f x x x                    x x x    3 3 2 23 3 2 2 ' ' ( , ) ( ', ') 3 3 'x x x t t 3 3 f f g f g gD f g f x t g x t g f x x x x x x                         x x    4 4 3 2 2 34 4 3 2 2 3 ' ' ( , ) ( ', ') 4 6 4 'x x x t t 4 4 f f g f g f g gD f g f x t g x t g f x x x x x x x x                              x x 对 的情况： 1, 1m n      2 2 ' ' ( , ) ( ', ') ' 'x t x x t t f f g f g gD D f g f x t g x t g f x x t t x t x t t x x                                   t ……. 对于 KdV 方程（5.3.16） 3 3 0 u u uu t x x        我们已经知道其在推广 Hopf-Cole 变换下的双线性方程为（5.3.21）： 23 3 2 3 3 2 222 4 3 2 4 3 2 3 0 4 3 0 v v v v v v v vv x t x x t x x x x v v v v v v vv v x t x t x x x x                                                                             3 3  根据前面的双线性 D 算子微分公式，当函数 g＝f 时，有：      30, 0, 0,x t xD f f D f f D f f      8   222 22x f fD f f f x x               24 3 2 4 4 3 22 4 3x f f f fD f g f x x x x                    22 2x t f f fD D f g f x t x t            与（5.3.21）式比较得：       4 0 0x t x x t xD D f g D f g D D D f g  3        （5.3.38） 它是 KdV 方程（5.3.16）的双线性形式. 非常有意思的是：如果把 ,x tD D 分别看成 ,x t  的话， 3 tD Dx 就是 KdV 方程的线性化（就是把 KdV 方程（5.3.16）中的非线性项舍弃）算子. 而且， 方程（5.3.38） 在形式上看起来要比 KdV 方程简单的多. 注：1.（5.3.37）式定义的 D 算子，也称为 Hirota 双线性微分算子. 2. Hirota 双线性微分算子可等价定义为：   0 ( , ) ( , ) n m n m x y n m y D D f g f x s y r g x s y r s r          （5.3.39） 3. 与一般乘积函数求导的比较：     ' ' ( , ) ( ', ') 'x x x t t f gf g g f f x t g x t x x x x                    22 22 2 2 ' ' 2 ( , ) ( ', ') 'x x x t t f f g gf g g f f x t g x t x x x x x x                         33 2 2 33 3 2 2 3 ' ' 3 3 ( , ) ( ', ') 'x x x t t f f g f g gf g g f f x t g x t x x x x x x x x                              44 3 2 2 3 44 4 3 2 2 3 4 ' ' 4 6 4 ( , ) ( ', ') 'x x x t t f f g f g f g gf g g f f x t g x t x x x x x x x x x x                                   2 2 ' ' ( , ) ( ', ') ' 'x t x x t t f f g f g gf g g f f x t g x t x t x t t x x t x x t t                                      D 算子的导数公式与乘积函数的一般微分公式是几乎是相同的，唯一的不同是当对第二个函数的 微分是奇数次时该项的符号是负的. 4. D 算子的其他性质： 1）.    ( 1)n m n m n mx y x yD D f g D D g f    2）.      1n m n m n mx y y x x y xD D f g D D f g D D D f g     9 3）. Jaccobi 恒等式：       0z z z z z zD D f g h D D g h f D D h f g         迄今为止，Hirota 方法已经应用于很多非线性方程，显示出它的生命力，例如： 10 11 12