微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分王宝富 钮海第二章习题解答(下).doc

微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分王宝富 钮海第二章习题解答(下).doc 习题2-1 1、解:在任意一个面积微元上的压d,力微元，所以，该平面薄片一侧所受的水压力dF,,gxd, F,,gxd,,,D 2、解:在任意一个面积微元上的电荷微元，d,dF,,(x,y)d,所以，该平面薄片的电荷总量 Q,,(x,y)d,,,D 223、解:因为，所以，又为单lnu0,x,1,0,y,1x，y，1,x，y，1 22调递增函数，所以，由二重积分的保序，，，，lnx，y，1,lnx，y，1 性得 22，， ln，，x，y，1d,,lnx，y，1d,,,,,0,x,10,x,1 0,y,10,y,1 4、解:积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量 12,y1884222223 ()()(44)M,x，yd,,dyx，ydx,,y，y,ydy,,,,,,0y0333D 5、解:(1)积分区域如图2-1-2所示，所以 y111 dyf(x,y)dx,dxf(x,y)dy,,,,x000 (2)积分区域如图2-1-3所示，所以224yx dyf(x,y)dx,dxf(x,y)dy2,,,,00/2yx (3)积分区域如图2-1-4所示，所以 2222x,x11,y，1dxf(x,y)dy,dyf(x,y)dx ,,,,12,x02,y (4)积分区域如图2-1-5所示，所以elnx1e dxf(x,y)dy,dyf(x,y)dxy,,,,000e 6、解:(1)积分区域如图2-1-6所示，所以 11x122416,,3/4311/45 ，，xyd,,dxxydy,xx,xdx,x,x,,,2,,,,,0x03311555,,D0(2)积分区域如图2-1-7所示，所以 224,y21642222 xyd,,dyxydx,y,ydy,2(4),,,,,2,00215D (3)积分区域如图2-1-8所示，所以 01，x11,x0x，yx，yx，yx1，x,1,xx1,x,1，x,ed,dxedy，dxedy,e(e,e)dx，e(e,e)dx,,,,,,,,,1,1,x0,1，x,1D 012x,1,12x,1,(ee,e)dx，(e,ee)dx,e,e,,,10 (4)积分区域如图2-1-9所示，所以 2y219313,,222232 ()()x，y,xd,,dyx，y,xdx,y,ydy,,,,,,,,0y/202486,,D 7、解: (1)积分区域如图2-1-10所示，令，所以x,rcos,,y,rsin,,,,,,,0,r,a，故 ,22 ,a2 ，，fx,yd,,d,r,f(rcos,rsin)dr,,,,,0,D2 (2)积分区域如图2-1-11所示，令，所以x,rcos,,y,rsin, ，故 0,,,,,0,r,2sin, ,2sin, f(x,y)d,,d,r,f(rcos,,rsin,)dr,,,,00D 8、解: (1)积分区域如图2-1-12所示，令x,rcos,,y,rsin,，所以 ,,sin,0,,,0,r,，故 24cos, 1,sin,,,,1x222,12444cos,,,dx(x，y)dy,,dr,rdr,sec,tan,d,,sec,,2,1 02,,,,,0000x (2)积分区域如图2-1-13所示，令x,rcos,,y,rsin,，所以 ，故 0,,,,,0,r,2sin, ,422aa,ya,a223()2，,, dyxydxd,rdr,,,,80000 9、解:(1)积分区域如图2-1-14所示，故 22x219x23() d,,xdxdy,,x，xdx,122,,,,,114yyxD (2)积分区域如图2-1-15所示，令，所以x,rcos,,y,rsin, ,0,,,0,r,1，故,2 ,,2222111,x,y1,r1,r,,2d,d,rdr,rdr222,,,,,000421，x，y1，r1,rD 3,11,,rr,,,dr,dr,,,,004421,r1,r,, 24,11,,1dr1d(1,r),,,，,,,,00442241,r1,r,, 11，，1,,11242,,，，,arcsinr，(1,r),,,202228,,0，，(3)积分区域如图2-1-16所示， 故 3aya33a2222224(x，y)d,,dy(x，y)dx,(2ay,ay，)dy,14a ,,,,,,ayaa3D (4)积分区域如图2-1-17所示，令，所以x,rcos,,y,rsin, ， 0,,,2,,a,r,b 12,b2,222332故 (xy)ddrdrba，，，,,,,,,,,,0a3D 10、解:积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得:S,4S,4d,，所以 1,,D1 ,,,asin2,222444S,4,drdr,2asin2,d,,,acos2,,a ,,,0000 图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4 图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8 图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12 图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16 图2-1-17 图2-1-18 习题2-2 1、解: Q,,(x,y,z)dv,,,, 2、化三重积分为直角坐标中的累次积分 解:(1)因为积分区域的上曲面为开口向上的旋转抛物面, 22，下曲面为，积分区域在坐标面上的投影区z,0,xoyz,x，y D:0,x,1;0,y,1,x域，所以 xy 2211,，xyx，，，，fx,y,zdv,dxdyfx,y,zdz ,,,,,,000, 2(2)因为积分区域的上曲面为开口向下的抛物柱面,z,2,x 22与下曲面为开口向上的旋转抛物面围成，二曲面的z,x，2y 22交线在平面上的投影为圆，即xoyx，y,1 1x1,,,, ,22:1xy1x,,,,,,，所以, 222,x2yz2x，,,,, 22,,11x2x，，，， fx,y,zdv,dxdyfx,y,zdz222,,,,,,,,,，11xx2y, (3)因为积分区域,的上曲面为开口向上的旋转抛物面 22z,0，下曲面为，积分区域,在坐标面上的投影区xoyz,x，y 2D:,1,x,1;x,y,1域，所以 xy 2211x，y ，，，，fx,y,zdv,dxdyfx,y,zdz2,,,,,,,x10, 3、解:积分区域如图2-2-1所示 , y111111126 xzdxdydz,xdxdyzdz,xdxydy,x(1,x)dx,022,,,,,,,,,,x,x,101126, 另解:因为积分区域关于坐标面对称，又关,f(x,y,z),xzyoz 于第一坐标是奇函数，所以。 xzdxdydz,0,,,, 4、解:积分区域如图2-2-2所示，当时，过作0,z,h,(0,0,z) 2,R,,22,x，y,z,,D:平行与面的平面，与立体的截面为圆，,xoy,zh,,,z,z, 2,RR2zzD因而的半径为，面积为，故 z2hh 222hh,R,Rh3 ,,,zdxdydzzdzdxdyzdz,,,,,,,2004h,Dz 5、求下列立体的体积 , 解(1)曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分(如图2-2-3所示)，用柱面坐标计算: ,,225,,,2V,dv,rdrddz,,ddrrdzr,,,,,,,,,004,, 32,1122422,[,(5,r),r],,(55,4)0,03163 图2-2-1 图2-2-2 图 2-2-3 (2)因为积分区域的上曲面为平面，下曲面为，z,1,xz,0, 2D:y,x,1;,1,y,1积分区域在坐标面上的投影区域，所,xoyxy以 ,x111111118,,24 (1)2V,dv,dydxdz,dy,xdx,,y，ydy,,,22,,,,,,,,,,y,y10102215,,, 6、利用柱面坐标计算下列三重积分 解:(1)因为积分区域的上曲面为开口向上的上半球面, 2222z,2,x,y，下曲面为开口向上的旋转抛物面，将z,x，y 2222z,2,x,y代入得z,2,z，解此方程得积分区z,1z,x，y 22D:x，y,1域在坐标面上的投影区域，由柱坐标公式,xoyxy D:0,,,2,,0,r,1得: xy 22,12,r117,2422。 ，，zdv,ddrzrdz,r,r,rdr,,,2,,,,,,,00r0212, (2)因为积分区域的上曲面为平面，下曲面为开口向,z,2 222222上的旋转抛物面，将代入得，z,2x，y,42z,x，y2z,x，y 22D:x，y,4所以积分区域在坐标面上的投影区域，由柱,xoyxy D:0,,,2,,0,r,2坐标公式得: xy 2222,116,,,22332()22。 x，ydv,ddrrdz,r,rdr,,,,,2,,,,,,,00/20r23,,, 7、利用球面坐标计算下列三重积分 解:(1)用球面坐标计算 ,,2122244,,,,,,()sinsinx，y，zdv,rdrdd,ddrdr,,,,,,,,,000,, 114,,,52(cos),,,,,,r,,,,055,,0 (2)用球面坐标计算 ,,,2/42cosa23,,,,,,,,zdvrcosrsindrdddsincosdrdr,,,,,,,,,,,,000,, ,,/4/41445,,,,,,,,,2sincos(2acos)d8asincosd ,,,,,,004 ,/44,8a764,,,cos,,a660 8、选用适当的坐标计算下列三重积分 ,0,r,cos, ,,,解:(1)积分区域为球，故用球面坐标计算:，,,:0,,,2,0,,,2,,所以 ,,,,,2/2cos/2cos22223,,,,,,x，y，zdv,ddr,rsindr,2sindrdr,,,,,,,,00000 ,/2,,11,/245,,,d,,,,2sincoscos,,,,,,0042510 22(2)将代入得到平面上的一个圆z,2yxoyz,x，y 2，,111x2y22，，x，y,1,1，用直角坐标公式计算，zdv,dxdyzdz222,,,,,,,,,，111xxy, 由于计算量较大，请同学一试。 用柱坐标计算 x,rcos,,y,rsin,,z,z ,,,,,2sin2sin2sinr1224,,,zdv,ddrzrdz,dr(4rsin,r)dr2,,,,,,,,00r002, ,,81653156,sin,d,,,,,03364226 (3)用柱坐标x,rcos,,y,rsin,,z,z计算 2,121r2r116223 2()zdv,d,drzrdz,,rzdr,,,,,,,,,00000315, (4)用直角坐标计算 212xxyx1111yx232344 xyzdv,xdxydyzdz,xdxxydy,dx,,,,,,,,,,000000428364, 习题2-3 1、 解:(1)因为连接点(1，0)和(2，1)的直线段的 方程为，所以 y,x,1,1,x,2 22,,112 (x,y)ds,[x,(x,1)]1，(1)dx,2dx,2,,,L11 ,2nn22222222x，yds,acost，asint(,asint)，(acost)dt，，，，,,0L(2) 2,2n，12n，1,adt,2a,,02,222yds,2a1,cost[a(1,cost)]，(asint)dt,,0L(3) 332,22,2a(1,cost)dt,4,a,0 33(4)因为星形线的参数方程为，所以 x,acost,y,asint ,222,,22223332,,x，yds,4a(,3acostsint)，(3asintcost)dx,,,,0L,, 555,,233322,12acostsintdx,6asint,6a,00 (5)因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，x,y,0,在线的BC上，y,0,而在线段CD上，x,1,z,2,y,t,0,t,3且ds,dy,dt 322222 xyzds,xyzds，xyzds，xyzds,0，0，1,t,2dt,9,,,,,L0ABBCCD t022，，zds,tcost,tsint，(sint，tcost)，1dt,,L0 3 (6)3，，t11022222，，2td(2t)2t2,，，,，,,,0,023，， 1r,2、解:因为曲线L的极坐标方程为，所以 , 442,1，2233,，，s,ds,r，rd,,d,，又 332,,,L,44 ,2,,utan1cos1(sin)，udu,d,,du,,,,,22222sinucosusinu(1,sinu) 11/21/2,,21，,,，，d(sinu) ,,,,21,sinu1，sinusinu,, 111sin，u,,，ln，Csinu21,sinu 22,,,111，，，,,，ln，C2,21,,，, 42,，1533s,d,,，ln所以 32,122,4 ,,,,2aa222,,,s,ds,r，rd,e，aed，，,,,L00 3、解: 2,1，a,aa,2,1，aed,,(e,1),0a 习题2-4 221、(1)解:将曲面向xoy平面投影，得投影区域D:x+yxy 2?R,从而有 R222zdS,R,x,y,dxdy,,,,222DxyR,x,y, 23,Rdxdy,R,,R,,R,,Dxy (2) 解:将平面向XOY平面投影，得投影区域， , 0,x,2,D:,从而有积分 xy3x0,y,3,,442xy(4,2x,y，2x，y)1，z，zdxdy4(z，2x，y)dS,3322,,,,3Dxy , 461,dxdy,461,,3Dxy 22,:z,1(3)解:由 ()得 x，y,11 22dS,dxdy,D:x，y,1 xy 1222 由 得 ,:z,(x，y)(0,z,1)2 122xy2dS,(1，，)dxdy,2dxdy2222x，yx，y 22D:x，y,1xy21,12,222222;zx，ydS,x，ydxdy,,drdr,,,,,,,,,,33,D001xy 212,22222()22zx，ydS,x，ydxdy,d,rrdr,,,,,,,,002,D2xy ,22222222zx，ydS,(x，y)dS，(x，y)dS,，,所以， ,,,,,,32,,,12 2、解:将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的， ccz,c,x,y， ab ccz,,,z,,，设所求的面积为A，则有 xyab cc122222222AdS1()()dxdyabaccb ,,，,，,,，，,,,,ab2,Dxy 3、解:将曲面向XOY平面投影，得投影区域， 22D:x，y,4,且z,,2x,z,,2y， xyxy 设所求的面积为A，则有 ,,，,，,AdS1(2x)(2y)dxdy,,,,22 ,Dxy ，，1,3,，,,d,14rrdr,(17)1,,22,,226，，00 4、解:以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道 圆环薄片的面密度为: 122，设薄片的质量为M，则有 ,(x,y),,当x，y,4时22x，y 24,11 M,,2,2，dxdy,4,，d,,rdr,8,,,,,0222rx，y, 2aaa222,？,k,k,,,,,(,),,5、，而 ？(x,y),k(x，y),0002222a aa24a,2222220()() ,，,，,Mxydsdxxydy,,0022,,,,3aa00s 习题2-5 x133,,,xxyd,xyd,xydydx(,)()2,,,,,,x0DD 1、 解: 68xx111,,,()|026848 x12222(,),,()y,xyd,xyd,xydydx2,,,,,,x0DD 69xx111,,,()|036954 x122(,),,(),xyd,xyd,xydydx2,,,,,,x0DD 57xx111,,,()|025735 11 ,,353535354854 x,,,y,,,重心(,).1148544854 3535 2、 解:设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度 22为。 ,(x,y),x，y axa2222(,)()(()),,，,，xxydxxydxxydydx,,,00,,,,,,DD 54233254xaxaxaxaa()|,,，,，,01523615 aya2222,(,)()(()),，,，yxydyxydyxydxdy,,,,,,,,,00DD 54233254yayayayaa()|,,，,，,01523615 axa,2222(,)()(()),，,，xydxydxydydx,,,,,,,,,00DD 43223442xaxaxaxaa()|,,，,，,0123236 2a2a(,)重心: 55 3、 解:(1)由对称性知道重心一定在z轴上。 1122,zdv,zdv,(zdz)dxdy,[1,(x，y)]dxdy22,,,,,,,,,,,，xy2,,DDxyxy 24,,212,rr1121,,rrdrd,,d,((1))()|,,0,,,00022244 ,3V,(0,0,)而圆锥的体积为:。所以重心为:。 34 (2)容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，且重心一定在z轴上。而 ,,2A2,,,,,,,dv,dv,dd,sind,,,,,,,,,00a,, ,3,,2A332,2,[(,cos)|],(|),(A,a),,0a33 ,,2A2,,,,,,,,,zdv,zdv,ddcos,,sind,,,,,,,,,00a,, ,4,,12A442,2,(sin|),(|),(A,a),,0a244 443(A,a)重心:(0,0,)。 338(A,a) 4、 解:以圆柱下底面的圆心为坐标原点，以转动轴为z轴建立坐标系，设P(x，y，z)为圆柱体上一点，则此点到 22r,x，y转动轴的距离为，因此 2h,a2222,,Ir(x,y,z)dv(xy)dvdzdrrdr,,，,,z,,,,,,,,,000,, 14ha,,2 5、 解:设P(x,y,z)为弹簧上一点，则P到Z轴的距离为 22r,x，y，因此有 ,22222222,I,r,(x,y,z)ds,a,(a，kt),a，kdtz,,L0 122222232,222223,aa，k,(at，kt)|,aa，k(3a，4k),,033 6、 解:有对称性知道F=0。 y ,,,R(x,y)xrcos,,,22()F,Gd,Grdrdx,,,,,33R,122222D222(x，y，a)(r，a) 2R1a2,2[],G,dr,13R1222222(r，a)(r，a) 2rrrRR22,2[(ln(1)|)(|)],G，，,RR21122aaa，r 22R，R，aRR22212,[ln],G,，222222R，R，aa，Ra，R1121 ,,R(x,y)12,,,2()F,,aGd,,aGrdrdz,33,,,,R,122222D222()()x，y，ar，a R11222,,,,aGd(r，a)3,R12222(r，a) 1R2,,,aG|R122a，r 11,,(),aG,2222a，Ra，R21 7、 解:由对称性知道F=F=0。 xy , (x,y,z)(z,a)F,Gdvz,,,3,2222[x，y，(z,a)] ,,,Rh2(z,a),Gdrdrdz,,,3000222[r，(z,a)] 1,R,,h222,,2G{[(z,a)，r]|}rdr0,0 11,,R2222,,22 ,,2G{[(h,a)，r],[a，r]}rdr,0 11R222222,,,,2G{[(h,a)，r],(a，r)}|0 11222222,,,,2G{[(h,a)，R],(a，R),[(h,a),a]} 11222222,,2,G,{[(h,a)，R],(a，R),h，2a}