现代数学与应用

nullnull丘成桐教授 美 國 哈 佛 大 學 數 學 系 教 授 香 港 中 文 大 學 數 學 講 座 教 授 香 港 中 文 大 學 數 學 科 學 研 究 所 所 長 菲 爾 茲 獎 得 獎 人 null 這十多年來，香港、中國和整個亞洲社會都逐漸轉型，尤其是中國改革開放以後，香港社會所需要的人材更多姿多采。亞洲各國要與全世界的經濟、文化、科學接軌，而中國大陸和日本會領導亞洲的發展，所以香港的青年也應當訓練自己來適應這個趨勢。沒有辦法迎接這個新時代來臨的青年恐怕要吃虧。 縱觀全世界大學訓練人材的最基本要求乃是語文和數學，所有美國大學都看SAT的成績，而SAT中最基本的乃是這兩門學問的考試。這為的是甚麼呢？ null 語文訓練使我們能夠表達自己的意思，數學訓練讓我們具有推理的能力，沒有這兩種能力，我們實在很難說我們是具有文化氣息的現代人。 很多人對於數學不切實際的看法，以為數學家都躲在象牙塔裏，不食人間煙火，這是極為錯誤的看法。事實上，整個智識型的現代社會極度需要經濟、工程、管理等等方面的人材，而在現代化的前提下，這些人材都需要相當程度的數學訓練。null 一般來說，數學訓練分兩個層次，一個層次是在象牙塔裏的為了追求純真純美的研究，表面上這些研究與實用毫無關係，從前我們知道這些研究十多年或數十年後總會有大的用場，但是近二十多年來，我們發覺純數學和應用的距離愈來愈縮小距離了。 數學的第二個層次就是在各行業上的應用，這是今天演講的主題。二十一世紀的重要科學二十一世紀的重要科學數學研究對科學的貢獻數學研究對科學的貢獻近年的科技發展 都需要很多數學的支援 醫學素描，生物色素分佈(豹紋、虎紋)，DNA結構，量子物理，材料科學，半導體，財經科學，大型晶體結構，互聯網 Radon Transform, Diffusion Equation, Knot Theory, Gauge Theory, Mathematics Computation on Quantum Mechanics, Many Body Model, Inverse Problems美國政府Labor Dept. 關於大學畢業生報告的一段話美國政府Labor Dept. 關於大學畢業生報告的一段話Other (non-mathematics) occupations that require extensive knowledge of mathematics include actuary, statistician, computer programmer, system analyst, system engineer, operation research analyst. A strong background in mathematics also facilitates employment in engineering, economics, finance, and physics.null其他需要深入數學知識的行業包括精算、統計師、程式編寫、系統分析、系統工程、運籌分析等。而數學基礎良好往往有助於發展工程、經濟、財務及物理等事業。美國政府Labor Dept. 關於大學畢業生報告的一段話數學為基礎的多元發展數學為基礎的多元發展　從事其他學科研究的，包括：電子計算、經濟、統計、財務、風險管理、社科、哲學 　還有從事非學術研究的各行業的 null圖像壓縮數據保安數學與社會風險管理null數據壓縮 (JPEG 2000)null小波 (Wavelet) 壓縮如果 A 是平滑的，那麼 Di 就很小Si = A 的平滑部份Di = A 的高頻部份Anull一個信號和它的小波變換原始信號變換後信號null 圖像是平滑的 壓縮 = 刪除小的 Dinull小波壓縮：考慮以下 16 個數字：A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}S1 = {3, 7, 11, 15, 15, 11, 7, 3}D1 = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}兩兩相加：A = S1  D1兩兩相減：null對S1重複剛才的程序： S2 = {10, 26, 26, 10} D2 = {4, 4, 4, 4}對S2重複剛才的程序： S3 = {36, 36} D3 = {16, 16}S1 = S2  D2S2 = S3  D3最後，我們有 S4 = {72}，D4 = {0}S3 = S4  D4null以魚骨來表示：因此 A = S4  D1  D2  D3  D4 nullJPEG (Fourier) 對 JPEG 2000 (小波)未經壓縮處理的 原有圖像的大小 為 15 MBytes 再壓縮幾何訊息的壓縮幾何訊息的壓縮將三維圖形影射到球上 在球上找一組互相垂直的多項式 ( 球面調和多項式 ) 將三維訊息由這組多項式展開 壓縮訊息只要保持其中足夠多的多項式null圖像影射到圓球體上壓縮 256 倍後的圖像原來的圖像null數據保安數學與社會nullRSA 公鑰密碼傳統密碼需要大量密鑰以至密鑰的分配及管理極為困難 現代保密的常用做法是由 Rivest, Shamir, Adleman 於1978年提出 安全性是基於大整數分解 ( 已知是一個計算來說極為困難的問題 ) 加密鑰可以公開因此稱為公鑰密碼null解密算法依賴數論中的 Fermat 定理 破解 RSA 密碼的主要大數分解是數論中一個重要課題 現今最快的全面性大數分解算法依次為：二次域篩法，數域篩法，橢圓曲線法均建基於深刻的數學上RSA 公鑰密碼的數學nulln = 63,978,486,879,527,143,858,831,415,041一個例子我們取公鑰 e = 1193及null轉化為一個84位的數字：2305000118050021140405180001 2020010311001201211403080020 0805001309191909120500141523null加密後變成：C1 = 1060546943595003247867569919 C2 = 2485275951856773770355929250 C3 = 13101173280250715817550140912前述的 n 是兩個大素數 p 和 q 的乘積 要破解密碼必須找到 p 和 q，大數分解就派上用場nulln = 63,978,486,879,527,143,858,831,415,041 = p  q = 440,334,654,777,631145,295,143,558,111 取 r = (p-1)  (q-1) = 63,978,486,879,526,558,229,033,679,300null用公鑰 e 算出一個密鑰 d 滿足 e  d ≡ 1 (mod r) , 1  d  r d = 30,568,095,156,186,201,333,234,581,057 解密算法： Cd ≡ (Me)d ≡ M (mod n) 原文null這個大數經過十七年才給人用二次域篩法分解出來349052951084765094914784961990389813341776463849338784399082057732769132993266709549961988190834461413177642967992942539798288533RSA 於 1977 年提出用n = RSA-129 = 114381625757888867669235779976146612010218296721242362562561842935706935245733897830597123563958705058989075147599290026879543541null在2002年，三位印度數學家，Agrawal, Kayak 和 Saxena 發現如何用快速方法來決定一個大整數是素數的方法。這個方法有助於上述 RSA 中因子分解的問題。主要的觀念如下： null設 p 為奇正整數，而 a 為任一與 p 無公約數的整數，則 p 為素數的充份必要條件為 (x-a)p = xp - a (mod p)null三位印度數學家發現去驗證上述的條件的最佳手法為找到另一正整數 r，使得 (x-a)p = xp - a (mod xr-1, p) 這個計算極為快速，只須大約 r2 log p 步的計算即可。null數學與社會物流null貨物及訊息傳輸的數量和容量，都正在急劇上升，令目前的網絡架構設施不勝負荷，引致用戶不勝其煩互聯網之應用日益廣泛 如：電子商貿、網上電台等物流與互聯網絡 國際及中港商貿 (CEPA, 9+2) — JIT 以減少存倉成本 香港空運貨站中的貨物傳輸到達時間離開時間貨運大樓香港空運貨站中的貨物傳輸裝載/拆卸貨物服務時間自動化貨物處理及貯存系統超前時間null路徑的取捨以最短路徑傳遞貨物及訊息 假如網絡暢通無阻，我們會以最短路徑傳遞貨物及訊息，節省傳遞時間 減低擠塞 若網絡十分擠塞，我們需要尋找別的路徑，避免擠進閉塞的路徑 null排隊論 (Queuing Theory) 如何建立一個有效的數學模型？ 預算不同地域、不同時間網絡的使用量 預算貨物及訊息的到達時間和大小 避免眾多貨物及訊息在同一時間擠進單一伺 服器或同一地域內null圖論 (Graph Theory)在網絡上尋找最短路徑尋找所有發送人與接受者之間的可行路徑null11312公開大學中文大學44253758246782111141由中文大學往公開大學的最短路徑null一個數學家創富的故事 F. Thomson Leighton麻省理工學院應用數學系教授 Akamai Technologies Incorporate (網路數據快遞服務商) 的創辦人 市場總值逾廿多億美元 nullAkamai 的成功之道傳統的網絡架構 單一訊息來源 網絡呈樹狀形態 若某一伺服器發生故障，其分枝將會癱瘓，訊息將無法傳遞至使用者系統在首次發出訊息時，會將訊息複製及傳播至網絡邊緣 無間斷地傳遞訊息至全世界每一個角落 若部份伺服器、甚至網絡中樞發生故障，Akamai 仍能在鄰近的伺服器內提取使用者所需的訊息Akamai 分配系統null利用圖論、運籌學計算伺服器的最佳擺放位置Akamai 的網絡覆蓋全球 54 個國家null數學與社會風險管理風險管理風險管理甚麼叫風險 (Risk)？ 一般來說，風險是關乎災難發生的可能性。 災難的例子： 911 事件 (紐約) SARS 地震null風險可以定義作由災難而導致損失的或然率，這個觀念可以用統計學上的標準偏差 (Standard Deviation) 來描述。現在我們來解釋客觀風險 (Objective Risk) 這個觀點。null例如，某保險公司一年接受 1000 次火險的投保，由過去 5 年的數據得知在兩個不同區域有如下數據：null在這兩區域上，平均值為 10，所以損失的概率為 10/1000 = 0.01，可是在這兩個不同區域有不同的標準偏差，在第一個區域為 2，在第二個區域為 4。null正態分佈 (Normal Distribution) 例子：學生某次測驗成績的分佈null正態分佈主要取決於兩個參數：平均值和標準偏差null現在假定出事事件的發生分佈為正態分佈。 在區域一，它會有平均值 10 和標準偏差 2。 在區域二，它會有平均值 10 和標準偏差 4。null於是，在區域一，我們應當預期明年的數量會在 10 ± 2 x 2 = [6, 14] 中間。 在區域二，則為 10 ± 2 x 4 = [2, 18] 中間。 所以在第一區域，可能發生的事件為 8 件。 在第二區域，可能發生的事件為16件。客觀風險客觀風險雖然可能發生的或然率在區域一和區域二是一樣的，但是區域一的風險為 8/2 x 1/10 = 0.4，而區域二為 16/2 x 1/10 = 0.8，所以我們知道第二區域比第一區域風險為大。null現在假設保險人數增加一百倍，由一千人增加到一萬人，則預期事件會增加為 100 x 10 = 1000。 但第一區域的標準偏差則為 而第二區域的標準偏差則改為 null因此，對區域一，發生的事件會在 1,000 ± 2 x 20 = [960, 1040] 中間，而客觀風險等於 0.04。 對區域二，則會在 1,000 ± 2 x 40 = [920, 1080] 中間，而客觀風險為 0.08。 可見當數目增加後，客觀風險大量減少，這是 Law of Large Number 的一部份。保險業保險業保險業的做法乃是將個人的風險分散到眾人身上。 當人數夠多時，我們對損失的或然率會估計得較為準確，而使得公司風險減少。 但這些都由所謂 Law of Large Number 得出的結果，我們必須由假設每次損失的事件互不相關，不能預測並且並非人為的。null金融科學裏面的數學： 在對沖基金中有不同的手法來減少投資風險，因此華爾街有大量的數學家來幫忙他們處理數學的問題，最有名的是 Black-Scholes 方程的創作。歐式期權歐式期權在對沖基金裏有一種方法，叫歐式期權。 投資者買歐式認購期權， 假定 T 個月為到期日，屆時用 $K 的價位買入股票。null假如 T 個月後，該股票值 ST ，則這個期權的價值為 c = max (0, ST - K)，但我們不知 ST 。如果在短時間內，我們假定相對的股票價錢是某種隨機過程，如：布朗運動過程 (Brownian motion process)。null 我們發現 c 可以用方程式計算，是由Fischer Black、Myron Scholes 和 Robert Merton 在 1973 年得到的公式。 他們發現： 其中E是一個隨機積分，由數學家Weiner、Ito 等人發展出來的工具。null數學在社會科學上的應用在上述的例子已經是多姿多采，但是還有很多各種更重要的應用還待數學家去大力開發。null例如 Data mining 。這幾年來文獻和在網上的數據可能是人類有史以來知識文獻的總和，如何有效的處理這些數據將會是社會學、歷史學和種種不同科學的前沿問題。 有些海底地層的數據就使得油公司發現新的油田。null所有數學的應用都是建立在一個良好的數學基礎上，對數學沒有深入的瞭解而企圖得到由數學導致的果實，即使可能，也是表面工夫。以下的圖表是其中一個例子： 辦研究宜有長遠眼光 不應急功近利辦研究宜有長遠眼光 不應急功近利橢圓曲線