大一高等数学(上)期中测试

第五章 第一次作业 高等数学（上）期中测试 一 填空题：（每小题4分，共32分，：写出简答过程，并且把填在横线上） 1.设 在 上处处连续，则 。 解 ,有连续性有 2. 已 知 ,则 。 解 已知 则 3.函数 在 上的最大值为 解 令 得 则最大值为 4.​ 设 ， 则 , 解 5.​ 设 ，则 解 两边取对数有 两边关于 求导得 ,整理后即得结果 6.​ 设函数 由方程 确定，则 。 解 对方程两边关于 求导 得: 则 7.​ 曲线 在点 处的曲率 解 则 8.函数 在 处的二阶泰勒公式为 解 由 ,代入泰勒公式即得 二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当 时，下列函数中为无穷小的函数是（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 。 解 不存在 不存在 2.设 ，则 在点 处（ ）。 A.​ 极限不存在； B. 极限存在，但不连续； C．连续，但不可导； D. 可导。 解 由 则 在点 处连续 又 不存在 则 在点 处不可导 3.设 ，则 （ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 。 解 4.曲线 在 处的切线方程是（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 。 解 则切线方程为 5.已知函数 ，则 （ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 。 解 则即得结果 6.曲线 的凹区间是（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 以上都不对。 解 当 时, ,则曲线是凹的 7.若 ，在 内 且 ，则在 内有（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 。 解 设 则 又 由 且 则 8. 函 数 对 一 切 满 足 ， 若 ， 则（ ）。 A. 是 的极大值； B. 是 的极小值； C. 是曲线 的拐点； D. 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点。 解 当 ， 当 也即 ，则 不是拐点 又 ,则 是 的极小值 三．解答题： 1.求函数 的单调区间与极值。（8分） 解 定义区间为 , 令 有 或者 极小值 极大值 则在 单调减少,在 上单调增加 极小值: , 极大值: 2.求下列极限。（每小题6分） 解 原式 解 应用洛比塔法则,有 原式 3.确定函数 的间断点，并指出间断点所属的类型。（8分） 解 函数在 处无定义. 由于 故 ,从而 是 的无穷间断点 又 ,故 所以 ,因此 是 的跳跃间断点 4.（8 分 ） 设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，证明： 存在 ，使 ； 存在 ，使得 。 证 设 由 在 上连续，在 内可导 则 在 上连续,可导 在 上 由零点定理,在 内至少存在一点 ,使 即 设 , 在 上连续,在 内可导,且 则在 内至少存在一点 ,使 即 则 因为 ,则 ,即结论成立