函数周期性

函数对称性、奇偶性导出周期性的一些结论 两个关于函数周期性的定理 谭国林 利用函数的对称性、奇偶性探讨抽象函数的周期性，是中学的一个难点,也是高考的重要考点,本文尝试归结，以飨读者。. 1、​ 对称性 1．​ 函数 、 关于直线 对称。 函数 、 关于直线 对称，有人称函数 为偶函数；则定义域 关于直线 对称，函数的解析式满足： 或 。 2. 函数 、 关于点 对称。 函数 、 关于直线 对称，则定义域 关于直线 对称，函数的解析式满足： 。若函数 关于 对称，也称函数 为奇函数，解析式满足： 或 。 特别地： 当函数 关于 对称时，称 为偶函数，满足 ，函数图象关于 轴对称。 当函数 的对称中心为 时，称 为奇函数，满足 ，函数图象关于原点 对称。 二、由函数对称性、奇偶性导出周期性 定理1：关于直线 对称的函数、若具有奇偶性，则该函数为周期函数。 证明：分两种情形。 .当 为偶函数时 的周期 .当 为奇函数时， 的周期 。证毕。 简记为“偶函数 轴对称 ，奇函数 轴对称 。” 例1：已知函数 是 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，当 时， ，则 . . . . 解析：据意满足“奇函数 轴对称 ”。故 是周期函数，且周期 . 选择 定理2：若函数的对称中心在 轴上（原点除外），且具有奇偶性，则该函数为周期函数。 证明：若函数 关于 对称，则 。分两种情形。 .当 为偶函数时 的周期 当 为奇函数时， 的周期 。证毕 简记为： “偶函数 非原点中心对称 ，奇函数 非原点中心对称 。” 例2. 已知函数 是 上的偶函数，函数 为奇函数，且 在 上是增函数，下列关于 的判断正确的是 。 ⑴. 是周期函数，⑵ ，⑶ 在 上是减函数，⑷ 在 上是减函数 解析：据“函数 为奇函数”实质是指函数 关于 中心对称，且对称中心在 轴上。故本题满足“偶函数 特殊中心对称 ”。所以 是周期函数，且周期 ，⑴正确;由 得. 从而有 ，⑵正确. 又根据“ 在 上是增函数，函数 是 上的偶函数, 关于 中心对称.”可以判定，⑶正确, ⑷错误.。