2.5-行列式计算－1

null第二章 行列式第二章 行列式§2.5 行列式的计算一、利用定义计算行列式一、利用定义计算行列式定义null例1　用行列式定义计算null解二、利用性质计算行列式二、利用性质计算行列式ri表示行列式的第i行, ci表示行列式的第i列 k为常数. (1) 交换第i,j行(列) ri↔rj (ci↔cj ) (2) k乘第i行(列)加到第j行(列)上 rj+kri (cj+kci )1. 化成三角形行列式 1. 化成三角形行列式 步骤：设行列式 D1）若a11=0, 用性质7交换两行(列)使a11≠0，得D1. 否则转步骤2. 2）第一行乘适当倍数加到后n-1行，使每行第一个数 为0，得D2，则D2=D1. 3）若在D2中 a22=0, 用性质7交换两行(列)使a22≠0，得D3 =±D2. 否则转下一步. null4）第二行乘适当倍数加到后n-2行，使后n-2 行的第二列元素为0，得D4=D3. 5）如此反复即得上三角形行列式. 例2 计算行列式例2 计算行列式2. 2. 例3 计算 解:常利用性质6将成比例的部分消掉一行(列)与另一行(列)的分行(列)成比例练习练习3. 行和或列和相等的行列式3. 行和或列和相等的行列式例4 计算解:null各行加到第一行,提取公因式,再利用性质求值4. 某行(列)元素为两个或多个数的代数和4. 某行(列)元素为两个或多个数的代数和例4 计算解:null例5 计算解:null三、利用按行(列)展开定理计算行列式三、利用按行(列)展开定理计算行列式间接降级：一般先利用性质将某行(列)的元素尽可能多的化为0, 再利用定理降级以简化计算直接降级：按行列式中非零元素较少的行（列） 展开例6 证明例6 证明三斜行列式证明:证明:nullnull用数学归纳法例7　证明null证对阶数n用数学归纳法null例1 解关于x的方程例1 解关于x的方程1） 范德蒙行列式四、 特殊行列式的计算null例如例如直接按第一列(最后一列)展开得到递推式三斜行列式b) 消去次对角元，化为三角形行列式null例如例如消去第一列（行）后成三角行列式 直接按第一行（列）展开爪型行列式解一:解一:消去第一列（行）后成三角行列式解二:解二:直接按第一行（列）展开例如，例如， 一般除主对角线上的元素,其余元素全部相同的行列式都可化成爪型行列式例如例如加边法，化原行列式爪型行列式 第一行（列）消去其他各行（列），化为爪型行列式nullnull例如例如直接按第一列展开b) 削去行列式第二列后所有对角元或次对角元，再展开null解一:nullnull解二: 消去次对角元null解三: 消去主对角元null形如用同样方法计算null　　计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．