【WORD格式论文原稿】基于李群方法的工业机器人动力学分析

【WORD格式论文原稿】基于李群方法的工业机器人动力学 免费查阅与论文: 基于李群方法的工业机器人动力学分析 刘博宇，盖玉先 哈尔滨工业大学(威海)机械系，山东威海(264209) 摘 要:为了降低机器人动力学模型的计算复杂性，基于李群方法，研究了具有 6 个自由度 的动力学问。通过指数映射，对机器人连杆坐标系进行位姿描述，根据李群及 工业机器人 李代数的伴随达及其对偶表达的数学意义，进行速度变换和力变换，以递推形式求出了广 义速度和广义加速度，最终得到了广义力的数学模型。通过 Matlab 编程仿真，分析了当外 转矩施加在机器人手腕处时，各个关节驱动转矩的动态特性，并与 Adams 的仿真结果进行 对比，证明了利用李群方法建立的机器人动力学模型的有效性。 关键词: 李群; 机器人; 动力学;仿真 中图分类 号:TP242 文献标识码:A 李群是具有群结构的实流形或者复流形, 并且群中的加法运算和逆元运算是流形 中的解析映射。群在数学分析、物理和几何中都有非常重要的作用。李代数是李群的 线性化空间, 是一个代数结构, 主要用于研究李群和微分流形之类的几何对象。李群李代数 具有许多重要的性质, 是一门重要的数学工具。 目前, 李群理论已经在很多领域得到了应用, 在刚体运动学和机器人方面的研究也取得 了很大的进展。1994 年, Frank C.Park 利用李群方法对机器人的运动学与动力学进行了算法 [1, 3]推导, 并建立了一种具有指导意义的递推算法;Anish K Mampetta 将李群方法引入具有 2 [2]自由度的机械臂, 得到了只有重力作用下的动力学方程, 黄晓华、王兴成也利用李群理论, [5]以平面 2R 机械手为例,得到了 2R 机械手在操作空间中的动力学方程, 丁希仑、王兴成用 李群理论研究了三维空间二柔性变形杆件的机器人的动力学问题, 拓展了李群李代数的应 [4]用范围。 在复杂情况下, 特别是多自由度情况下, 应用李群方法进行机器人动力学分析还比较少。利用李群方法描述机器人动力学, 可以得到物理意义明确、几何特性明显的结果,而且计 文主要通过李群李代数的优秀特性, 建立李群空间 SE(3)与李代数空间 算复杂度降低。本 se(3), 对具有 6 个自由度的机器人进行动力学分析, 以求在更为复杂的情况下验证此种方 法的有效性与优越性。 1 六自由度工业机器人动力学建模 图 1 是六自由度工业机器人的三维模型, 它由底座、腰部、臂部、手部等组成, 所有关 [6]节均为转动副。图 2 是六自由度机器人的连杆坐标系统, 其连杆坐标系采用前向建立法, 即 连杆坐标系建立在连杆的前端。 -1- 免费查阅标准与论文: x,x, x 4 5 6 z,z 4 6 z 5x 3 l z 43 z，z 01 x2 x 1 x 0z 2 l 1 图 1 六自由度工业机器人实体模型图 2 六自由度工业机器人连杆坐标系 Figure1 the link coordinate system of six-DOF Figure1 the model of six-DOF industrial robot industrial robot 根据李群、李代数相关理论, 针对图 2 所示的机器人坐标系空间, 第 i 个坐标系在第 i-1[1,2] 个坐标系的位姿可以描述如下: sqi ?1 i i (1) T = (Θ, b)=M ei i 式中 Θ 是方向矩阵; b 是位置矩阵; q是关节变量, 对于旋转副是关节角θ ; i ? 0?ωω?? ? 32 ? ?? ? ω0 ?ων ?ων ? [] 31 ? ? ? ? S= = , (2)? se(3) i ? ? ? ? ?ωω00 02 1 ? ? ??0 0 其中 ω , v 分别为关节的转动因素向量和移动因素向量; M? SE(3)是杆 i 和杆 i-1 之间的坐标变换矩阵。i 六自由度工业机器人的连杆参数可以通过图 2 所示的坐标系得到, 见表 1。 -2- 免费查阅标准与论文: 表 1 六自由度工业机器人 D-H 参数 Table 1 D-H parameters of six-DOF industrial robot 连杆长度a 连杆偏移量d 杆 i 关节角θ(变量)连杆扭转角αiii i θ1 0 0 0 1 Dl θ2 0 90 12 l θ3 0 0 23 Dl l θ4 90 344 Dθ5 0 0 - 90 5 Dθ6 0 0 90 6 [1]根据 D-H 参数, M形式如下 , i 1 0 0a? ?i ? ?α?sα0 c0ii (3) ?? M = i ? ?0sαcα d i i i ? ?0 0 0 1 ? ? [2] 若将式(1)中的 S表示成 6 维列向量 , 则i T (4) S= ω, v []i [1,3]对于 SE(3)中的元素, 伴随表示可以描述坐标变换下的速度变换 0ωΘ? ? ?? 3×3 Ad ( S ) = (5)s ? ? ? ? bΘ Θ ν ?? ? ? 伴随表示的对偶算子可以描述坐标变换下的力和力矩变换 TT T ? ? f ΘΘb? ? ? Ad ( S ) = (6)? ?s ? ?T τ Θ 0 ? ??3×3 ? 式中, f , τ 分别为广义力的力分量和力矩分量。 对于 se(3)中的元素 g、h, 设 ω, v是角速度和移动速度在 g, h 中的表示, 则 v, ω, g h g h 李括号可以表示为 ]0[ωω? ???g 3×3 h ad h(7)( ) = ? ? g ? ? ] [ω][v νg g ? h ?? ? 其对偶表示为 TT ?? [ω ][v ]ω ?? g g h* ad (h) = (8) ?? g T ? ?0 [ω]ν 3×3 g ? h ? [3] 根据关节的角位移、角速度、角加速度, 向前递推, 计算连杆的广义速度, 广义加速度 • (9) V =S q (V ) + A d i ? 1 ? 1 i i i i ? 1 T i -3- 免费查阅标准与论文: • • • •(10) V =q (V ) S (V ) + a A d i ? 1 •i ?1 ? 1 i i i i S q i i d Ti + • 式中,V是连杆 i 的广义速度,V是连杆 i 的广义加速度。 i i 根据上面已经求出的连杆的广义速度, 广义加速度, 向后递推, 计算连杆上的广义力和 关节的驱动转矩, • * * ( J V )Ad F=( F) + J V ? a d(11)i i i ? 1 i i +1 i V ii T i +1 T (12)F τ = Si ii 2 ? ?Im [r ]?m [r ] i i i i i (13)J = ??i m .1?m [r ]i i i ? ? 式中 F是第 i-1 个杆作用在第 i 个杆上的广义力; i τ 是激励于第 i 个关节的驱动转矩;i m是第 i 个杆的质量;i r为第 i 个杆质心在第 i 个坐标系中 x、y、z 方向上的坐标组成的向量; i I是第 i 个杆相对于质心的转动惯量。 i 2 六自由度工业机器人动力学计算 • •• 已知条件:角位移 q, 角速度 q, 角加速度 q , 式中 i=1, 2, 3, 4, 5, 6 ;初始化 i i i •• • V= 0, V= 0,V= 0 。0 0 0 建立各个连杆转换矩阵是动力学分析的前提, 所以必须首先求出转换矩阵。由于式(1) sqi ?1i i T =M e , 其中含有指数矩阵运算, 必须将其去指数。令 S = ω[, v] , 根据文献[3]的指i i i 数积定理, 可以将式(1)写成如下形式, 1 0 0a? ?i ? ?α ?sα 0 ) b cexp([ω]q??i ?1sqiii i i ? ?T =M e= × 0 i i ??? ? 0sα cαd 0 1i i i ? ? ? ?0 0 0 1 ? ? 式中 2 exp([ω]q ) = I + sin q [ω] + (1 ? cos q )[ω]; i i i 2 b = (q I + (1 ? cos q )[ω] + (q? sin q )[ω])v 。i i i i T 由于本文中的机器人只有转动副, 所以关节的转动因素 ω = [0, 0,1], 移动因素 T v = [0, 0, 0]。 这样, 根据表 1 的 D-H 参数, 求出各变换矩阵, 将上面得到的变换矩阵写成统一的形式 [1,3] , -4- 免费查阅标准与论文: T = Ad, ad 及其对偶算子 (Θ, b) , 则T ?1 = T (Θ, T ?Θ b) , 根据 式 (3 )、 (4 ), 计算 -5- 免费查阅标准与论文: 矩阵。然后根据式(9)(10)(11)(12)(13), 便可以求出各个关节的驱动转矩。 3 仿真计算与分析 仿真时外转矩加在了与腕关节连接的手爪上, 其方向始终沿着腕关节轴线方向, 即连杆 坐标系 O 的 z 轴方向。各关节质量、几何参数可由三维模型测得。为了减少模型质量、 x y z 5 5 5 几何误差的影响, 广义外力应相对大一些, 设 F =[0,0,100Nm,0,0,0]。根据上面由李群方法建 立的动力学模型, 按照图 3 所示的程序流程图编写程序, 通过 Matlab 计算, 可以得到一组关 节的驱动力矩, 如图 4 所示。 • V= 0, V = 0i i • 用(9),(10)计算V,V ii T F= 0 0 100 0 0 0 []i+1 用(11),(12)计算F, τ i i 图 3 程序流程图 Figure 3 process flow chart 为了验证结果的正确性, 通过 MSC Adams 软件进行仿真验证。对于受约束的多体系统, -6- 免费查阅标准与论文: MSC Adams 的动力学基础是根据牛顿定理, 给出自由物体的变分运动方程, 再运用拉格朗日乘子定理, 导出基于约束的多体系统动力学方程, 这与李群递推法在建模方法上有着本质 的区别。 MSC Adams 分析所得的关节驱动力曲线, 如图 5 所示。 图 4 根据李群递推法求得的关节驱动力矩 Figure 4 the joint driving torque obtained by recursive methods of Lie groups 图 5 根据 Adams 分析求得的关节驱动力矩 Figure 5 the joint driving torque obtained by Adams 通过图 4 和图 5 对比可以看出, 两图中对应关节的驱动转矩曲线的基本趋势相同, 关节1、关节 2 和关节 3 两图中对应曲线最大相对误差分别在 10%、5%、5%以内, 因为关节 4 的驱动力矩接近于零, Matlab 中的数据模型与 Adams 中的实体模型的质量、几何误差对其影 响较大, 所以造成关节 4 驱动转矩相对误差较大, 关节 5 为手腕关节的驱动力矩曲线, 因为 加到手爪上的外力矩的方向始终沿着腕关节轴线, 不随模型运动而变化, 所以两图都恒为 100Nm。因此可以得出, 通过李群方法建模和通过牛顿-欧拉方法进行 Adams 动力学分析所 -6- 免费查阅标准与论文: 得到的关节驱动力矩是一致的, 这也就证明了李群方法在机器人动力学分析中的正确性。可 以看出, 李群方法在结构上更加简练, 易于编程计算, 更适合复杂情况下的动力学分析, 这 就为复杂情况下的机器人动力学分析提供了一种普遍而有效地解决方法。 4 结论 通过李群李代数相关理论建立机器人动力学模型, 并对六自由度工业机器人进行了 Matlab 仿真与 Adams 验证, 说明了李群方法在机器人动力学分析中的适用性。李群方法使 复杂的动力学问题简单化, 使动力学模型的计算复杂度降低, 更有利于机器人的控制, 同时 通过这种方法建立起来的数学模型具有明确的几何空间意义, 相信不久的将来李群方法会 在机器人动力学分析中得到更为广泛的应用。 参考文献 [1] Frank C.Park and James E.Bobrow.A Recursive Algorithm for Robot Dynamics Using Lie Groups[J]. IEEE International Conference on Robotics and Automation.1994:1535-1540 [2] Mampetta A K. A Lie group formulation of Kinematics and Dynamics of serial Manipulator[J]. Mechanics of Manipulation.2006:16-741. [3] Frank C.Park. Computational aspects of the product-of-exponentials formula for robot kinematics[J]. IEEE Transactions on Automatic Control.1994:643-647 [4] 丁希伦, seligJohnMark.空间弹性变形构件的李群和李代数分析方法[J].机械工程学报.2005(01):17-23. [5] 黄晓华, 王兴成.机器人动力学的李群表示及其应用[J].中国机械工程.2007(02):201-205 [6] 谭民等.先进机器人控制[M].2007.北京高等教育出版社.2007 Dynamic Analysis of Industrial Robot Using Lie Groups Liu Boyu, Gai Yuxian Harbin Institute of Technology at Weihai, Department of Mechanical Engineering, Weihai, China (264209) Abstract Lie groups are used to describe the six-DOF dynamic equation. Explicit connection between the equation of motion and the concept from Lie theory is established. With the advantages of Lie groups, the acquisition of the robot dynamic equation is easier. First, the transformation is described by exponential map, which can also describe position and pose of the robot. The adjoint representation of Lie groups and Lie algebra is used to describe generalized velocity and acceleration. The final dynamic equation is obtained in recursive form. Then Matlab program is developed to solve the dynamic equation, when 100Nm working torque is loaded on the wrist, the driving moment dynamic characteristics of each joint is obtained. At last, by MSC Adams emulating the robot model, the results of Adams coincide with that of Lie groups method. So, Lie groups method in robot dynamics is effective, especially in complex situation. Keywords: Lie groups; robot; dynamics; simulation 作者简介: 刘博宇, 男, 1983 年生, 哈尔滨工业大学(威海)机械电子工程专业硕士研究生, 研究方向: 机器人动力学与控制, E-mail:lby3able@126.com; 盖玉先, 男, 1960 年生, 教授, 图馆馆长, 研究方向:机电一体化与精密与超精密加工。 -7-