☆利用特征根求解数列通项公式

☆利用特征根求解数列通项公式 利用特征根求解数列通项公式 山东省淄博市临淄区第三中学 付庆龙 数列问题一直以来都是学生较难掌握的，本文旨在建立一个求解数列通项公式的新思路，以供同行进一 步共同研讨. 1*,,aa例1 已知数列中，求; a,1,a,a，1(n,N),nnn，n112 111a,x,a,x分析:令中的，则表达式变为，解得，则将左a,a，1x,x，1a,a，1x,2n，1nn，1nn，1n222 右两边减2. a,21111n，1？a,a，1,？a,2,a,1,？a,2,(a,2),？,,解: n，1nn，1nn，1na222(,2)2n 1？,,a,2数列为以a,2,,1为首项，以为公比的等比数列。 n12 111n,12(1)(1),2。 ？a,,,，,,,？a,,nnn,1n,1222 1的左右两边需减去何数，本方法适用于形式为:点评:本题通过运用特殊方法的分析得出a,a，1n，1n2 a,aa，b(a,b,R)的形式。 n，1n 1*,,aaa,2,a,2,(n,N),例2 已知数列中，，求; nn，1n1an 11a,x,a,xa,2,x,2,分析:令中的，则表达式变为，解得。 x,1n，1n，1naxn a1,11n？a2,a11a1,,？,,,？,,解:， n，1n，1n，1aaannn a111n,,，1两边取倒数得，即:， a,1a,1aa,1,1n，1nn，1n ,,11？,1数列为以为首项，以为公差的等差数列。 1,,a,1a,11n,, 11*？,1，(n,1),？a,，1(n,N)。 na,1nn 111x,,,,a2x,2,a2点评:本题通过将变形为，解出，从而得出的左右两边需减去何数，然，1，1nnaaxnn x后再取倒数，再进行整理。本方法仅适用于变形后解出的的值唯一。 *,,a,5,a,5,a,a，6a(n,2,n,N),aa例3 已知数列满足求; n，nn,nn1211 22a,x,a,x,a,1a,a，6a分析:令，则变为， x,x，6n，1nn,1n，1nn,1 a,a，6a,2a3ax,,2,x,3解得。只需将左右两边分别减去与，便可得到两个重要的关系n，1nn,1nn式。 *？a,a，6a(n,2,n,N),？a,(,2a),a，6a,(,2a)解:(i)， n，1nn,1n，1nnn,1n a，2a*n，n1a，2a,3(a，2a),3(n,2,n,N)整理得:，即:， n，1nnn,1a，2ann,1 ？,,a，2aa，2a,15数列为以为首项，以为公比的等比数列。 3n，1n21 n,1*？a，2a,15，3(n,N) ? n，1n *？a,a，6a(n,2,n,N),？a,(3a),a，6a,(3a)(ii)， n，1nn,1n，1nnn,1n 1 a,3a*n，n1a,3a,,2(a,3a),,2(n,2,n,N)整理得:，即:， n，1nnn,1a,3ann,1？,,a,3a数列为以为首项，以为公比的等比数列。 a,3a,,102n，1n21 n,1,a,3a,(,10)，(,2)(n,N) ? n，1n nn*a,3,(,2)(n,N)(?-?)/5整理得: n a,aa，ba(a,b,R)a,aa，ba(a,b,R)点评:本方法适用于形式为:的形式，只需将转变成n，1nn,1n，1nn,1 2a,aa，ba(a,b,R)x,ax，b(a,b,R)x的形式，求解出，便可分析出的左右两边需减去何n，1nn,1式。 2x,ax，b(a,b,R)例3的特点是有两个不相等的实根，如果两根相等也可采用此方法，请看下面变式。 *,,a,1,a,5,a,4a,4a(n,2,n,N),aa变式1、已知数列满足求; n，nn,nn1211 22a,x,a,x,a,1a,4a,4a分析:令，则变为， x,4x,4n，1nn,1n，1nn,1 a,4a,4a2a解得。所以左右两边分别减去。 x,2n，1nn,1n *？a,4a,4a(n,2,n,N),？a,2a,4a,4a,2a解: ， n，1nn,1n，1nnn,1n a,2a*1n，na,2a,2(a,2a),2(n,2,n,N)整理得:，即:， n，1nnn,1a,2a1nn, ？,,a,2a数列为以a,2a,3为首项，以为公比的等比数列。 2n，1n21 aa3n,1,,n，1na,2a,3，2(n,N),,(n,N)，即:， n，1nn，1n422 aa31n1？{}为以,为首项，以为公差的等差数列， n2242 a1331n,2n？a,(3n,1)2？,，n,1,n,()，。 nn24442 2