二项分布与超几何分布

二项分布与超几何分布 一、超几何分布 M设一批产品共有个，其中有个次品，现从中任取个(),nNnNM,,令 Xn,“取出的个产品中包含的次品数” X的分布列为 则 knk,CCMNM, (),(0,1,2,,min(,)),,,PXkkMnnCN 上述分布称为超几何分布，记作。 XhnNM(,,) 超几何分布的二项近似 当时，即抽取的个数远小于产品总数时，每次抽取后，总体中的nnNN 不 pMN,合格率改变甚微，所以可以把不放回抽样近似的看成是有放回抽样，这时，超几何分布可以用二项分布近似 knk,CCMkknk,MNM, ,,,(1),其中CpppnnCNN 例1甲乙两人赌技相当，各出赌本500元，约定5局3胜，胜者得到这1000元钱。现在因故在甲赢了一局的情况下终止比赛，试问该如何分配这1000元钱, 解法一 合理的应该是按照“若把球打完，甲乙二人各自取胜的概率”的比例来分配奖金。由于甲已经先胜了一局，所以，甲取胜的事件就是“在接下来的比赛中，第三次失败之前赢下两次”。令 X,“在接下来的比赛中，甲取得两次胜利所需要的局数” 则 XNb(2,0.5)，于是 4 ,,PXk()PPX“()(5)甲赢乙”,, ,2k, 442122,,k1k,，C0.50.5,C0.5 ,,,k,1k1k,,2k2 11234 ,，，，，0.520.530.5,16 注:本也可以采用求数学期望的方法，这时求分布列较麻烦 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决(在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的(下面举例进行对比辨析( 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球(求: (1)有放回抽样时，取到黑球的个数,的分布列; (2)不放回抽样时，取到黑球的个数,的分布列( 解:(1)有放回抽样时，取到的黑球数,可能的取值为,，1，2，3(又由于每次取到 1,,黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则( XB~3，,,5,, 031464,,,,0 ?PXC(0),,，,; 3,,,,55125,,,, 121448,,,,1 PXC(1),,，,; 3,,,,55125,,,, 211412,,,,2 PXC(2),,，,; 3,,,,55125,,,, 30141,,,,3 PXC(3),,，,( 3,,,,55125,,,, X 因此，的分布列为 0 1 2 3 X 6448121 P 125125125125 2(不放回抽样时，取到的黑球数,可能的取值为,，1，2，且有: 031221CCCCCC771282828PY(1),,,PY(2),,,PY(0),,, ;;( 333C15C15C15101010 Y 因此，的分布列为 0 1 2 Y 771 P 151515 辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型(而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型(因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样(所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的( 例, 从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有,个红球，则随机变量,的概率分布列为 0 1 2 X P 0211CCCC163232PX(0)0.1,,,,PX(1)0.6,,,, 解析:由题意，得，， 22C10C1053 20CC32PX(2)0.3,,,(或)( PXPXPX(2)1(0)(1)10.10.60.3,,,,,,,,,,2C3 故随机变量,的概率分布为 0 1 2 X 0(1 0(6 0(3 P 点评:本题主要考查了组合、离散型随机变量分布列的知识、概率的计算及超几何分布列的求法( 例2 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券,张，可获价值50元的奖品;有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖(某顾客从此10张中任抽2张，求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值,(元)的概率分布列( 021120CCCCCC，152302464646P,,,,,11P,,, 解析:(1)(或)，即该顾客中奖的22C453C4531010 2概率为( 3 02CC146XPX(0),,, (2)的所有可能值为:0，10，20，50，60(元)，且，2C310 11211CCCCC21236316PX(10),,,PX(20),,,PX(50),,,，，，222C5C15C15101010 11CC113PX(60),,,( 2C1510 X 故的分布列为 0 10 20 50 60 X 12121 P 35151515 点评:本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算、离散型随机变量分布列的求法及分析和解决实际问题的能力(