酒精代谢的数学分析

酒精代谢的数学 承诺 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的精神规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论、与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们选择的题号是: 我们的参赛报名号为: 所属学校: 指导教师或指导教师组负责人: 日 全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用): 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号): 全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号): 酒精代谢的数学分析 摘要:本文从生物学角度出发，根据微分方程理论，结合给定的数据，经过合理的假设，建立了血液中酒精的浓度随时间变化的基础模型。并针对不同的饮酒方式和饮酒量，分别建立了相应的模型。用拟合的方法确定参数，准确地模拟出酒精浓度变化趋势的曲线，拟合结果与原始数据吻合程度较高。同时，对一些实际问题也给出了合理的解释。 1 问题的提出 针对严重的交通情况，新的酒精含量规定:车辆驾驶人员血液中的 ,80酒精含量且为饮酒驾车，血液中的酒精含量为醉酒,20/mgdl,80/mgdl驾车。大李在中午12点喝一瓶啤酒，下午6点检查时符合标准，紧接着晚饭时又喝了一瓶，凌晨2点检查时被定为饮酒驾车，两次喝同样多的酒，检查结果却不一样。建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型。 1. 对大李碰到的情况做出解释。 2. 在喝3瓶啤酒或半斤低度白酒后多长时间内(比如2小时)喝酒。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证:如果天天喝酒，是否还能开车, 5. 根据模型结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。 参考数据 1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右;而药物(包括酒精)在血液中的含量与在体液中的含量大体是一致的。 2(体重约70%的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量(毫克/百毫升)，得到数据如下: 时间 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 酒精含量 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 酒精含量 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4 2 模型的假设 不考虑进入体内随呼吸或汗液排出的量，及肠道杆菌产生的酒精，a) 只考虑饮入的酒全进入肠胃，再由肝脏等分解的过程。 设人体血液和体液中酒精浓度相等。酒精进入血液后瞬间混合均匀。 b) c)肠胃酒精进入血液的速率与肠胃中酒精含量成正比，血液中酒精被分解的速率与血液中酒精含量成正比。 3 符号说明 Vpxt():所饮酒中含的酒精量;:体液的体积;:时刻血液中的酒精t0 浓度; 1 :饮入酒精的速率;肠胃内酒精进入血液的速率;:血液rt()rt()rt()012中酒精被分解的速率。 4 模型的建立与求解 根据假设可建立以下基本模型: I0 dx,,,rtrt()()01,dt,dy,,,rtrt()() 12,dt,rtkxt()(),,11 ,rtkyt()(),22, 从生物学可知，酒类进入人体后，胃及血液中酒精随注入酒精速率、浓度、时间等不同产生不同的代谢速率。下面根据饮酒速率及方式的不同建立三种实用模型。 1) 模型:短时间内快速饮酒模型 I1 在基本模型的基础上，由短时间快速饮酒的特点可得出初始值: ，，，将其代人基本模型可得模型 rt()0,xp(0),y(0)0,00 I1 dx,,,kxt()1,,dt ,dy,,,kxtkyt()()11,dt, 上述微分方程的解为 ,kt1,xtpe(),0,,kt kp1,,,kte102yte()(),,kk,12, ,ktkp1,,kte102此时血液中的酒精浓度()(), pte(),Vkk12 TIr2) 模型:一定时间(小时)内慢速饮酒设饮酒速度恒定为，由模02 II型可得 02 dx,,,rkxt()01,,dt ,dy,,,kxtkyt()()12,dt, 2 0,,tT解得:当时 r,,kt01xte()(1),,,k,1 ,,,kTkT21kr11,,ee,,,,ktTktT()()10,21ytee()(),,,kkkk,,1221 3) 模型:一定时间快速饮等量的酒 I3 t,0(1) 当时，，，(设为最初酒精量)，rt()0,xp(0),py(0)0,000 由模型 ,kt1,xtpe(),0, ,ktkp1,,,kte102yte()(),,kk,12, kt,,kT11tT,(2) 当时，再引入，此时由突变为，pxT()pepe(1)，000 tnT,依此类推当时再次引入，最终可解得 p0 ,，(1)nkT1,pe(1),,,ktnT()01xte(),,,kT11,e, ,,，,，(1)(1)nkTnkT21kp11,,ee,,,,ktnTktnT()()1021,ytee()[],,,,kTkT21,kkee,,,1112, 4) 参数的确定 ,ktkpkp1,,kte10102A,对模型中的，令,则I()(),pte1V(k,k)(),Vkk1212 kt,1,kt,e2，由前面模型的分析可知，故当充分大时，k,,ktp(t),A(e)21,kt,kt12e,0，但不能忽略其作用。此时，两边取对数得p(t),Ae ulnA,uA,e用最小二乘拟合法，可求出(常数)和的lnp(t),lnA,ktk22 *kt,kt,*21值:，则，再两边取对数用最小二乘p(t),Aep(t),p(t),Ae,p(t)1 t,4A,128.8695拟合确定k。用时的数据拟合出，k,0.2012，用120.25,t,1.5k,1.61090k,k,A时的数据拟合出。至此完全求出参数，从而122 I可求出模型的p(t)，拟合情况见下图，其他模型可类似求解。1 3 5 基于建立的模型来解决实际问题 1) 问题1的解答 大李的问题可用模型和I来解决。大李中午喝一瓶啤酒后体内酒精代I31 kt,1,kt,e2谢过程符合模型。血液中酒精和时间的关系为，其中Ip(t),A(e)1 kp10A,，设大李体重为，由前知，若短时间喝两瓶，有70kgV(k,k)12 A,128.8695,k,1.6109,k,0.2012，从而得到短时间喝一瓶时，12 ,8k,k(t,8),8k,k(t,8)2211A,64.43457，此时有，代人p(t),A[(1，e)e,(1，e)e]A,k,k，求出p(14),23.12。通过上述分析，大李下午6点血液中的酒精约12 为19毫克/百毫升，故检查没问题;而在晚上8点吃晚饭时又喝了一瓶，其血液中酒精浓度初值已不为0，通过叠加，经计算知，同样经过6个小时凌晨2点，血液中酒精浓度约为23毫克/百毫升，超过标准，被定为饮酒驾车。 2) 问题2的解答 I(1) 第一种情况:短时间内喝酒，符合模型，由于喝下三瓶，故1 4 2,0.2012t,1.6109，根据问题要求建立不等式p(t),[128.8695(e,e)]3 2,0.2012t,1.6109t,11.3，解得结果为。 [128.8695(e,e)],203 0,t,2(2) 第二种情况:较长一段时间内喝酒，符合模型，故当I2 t,2时，是一个递增函数，因此不考虑这种情况;只考虑时的变化p(t)p(t) ,2k2，，kp1,e,2k1,e,k(t,2),k(t,2)10121情况，此时 p(t),e,e,,Vk,kkk()1221，， t,15.8令，解得结果为，因为喝酒用了2小时，所以司机若在p(t,20) 2小时内喝的酒，应该过13.8小时才能驾车。 3) 问题3的求解 仅考虑模型和 II21 ,ktkp1,kt,e102,对模型(快速饮酒):此时，对关于求p(t)(e)p(t)tI1,V(kk)12 k11导，得极值点t,ln，将代入得，t,1.4795k,1.6109,k,0.20120012k,kk122 从图1可看出，是先升后降的，故为最大值，对模型来说，当p(t)p(t)I01t,104795时，血液中酒精含量最高。 t,T对模型(快速饮酒):当时 I2 kr,kt,k(t,T),kt,k(t,T)101122,,，，，，p'(t),1,ee,1,ee,0 V(k,k)12 ,kT111,et,T，ln所以(当时，T,2,k,0.2012,k,1.610921,kT2k,k1,e12 t,2.75482) 4) 问题4的解答 提出问题符合模型，由模型， II33 ,(n，1)kT,(n，1)kT21，，1,e1,e,k(t,nT),k(t,nT)21ptApee(),(), 0,,,kT,kT211,e1,e，， t,nT,s设 ,(n，1)kT,(n，1)kT21，，1,e1,e,ks),ks)21p(t),A(p)e,e 0,,,kT,kT2111,e,e，， 5 当时，有 n,, 11，，,ks,ks21 ，，limP(s，nT),A(p)e,e0,s,240,kT,kT,,21n,,1,e1,e，， 设体重为的人，天天喝酒，即n很大，此时， 70kg ,0.2012s,1.6109s P(s，nT),64.43475a(1.00806e,e) ,0.2012s,1.6109s要使只需 P(s，nT),20a(1.00806e,e),0.31039 a,0.48940(1) 若要求司机酒后2小时开车，只能喝瓶啤酒 a,0.57132(2) 若要求司机酒后3小时开车，只能喝瓶啤酒 ,1.6109s(3) 若司机每天喝一瓶啤酒，此时s较大，则由e ,0.2012ss,5.85464可得 1.00806e,0.3109 2,3综上所述:若要求司机酒后小时开车，只能喝约半瓶啤酒;若刺激每天要喝一瓶啤酒，则必须约6小时后开车 5) 忠告 亲爱的司机朋友，你们好，过多饮酒对身体不好，而你们就更应该谨慎，这关系你们和他人生命财产安全。因此对于那些爱好喝酒的司机而言，喝多少酒才算适量一定要注意，在此我想给你们一些忠告。 (1) 不要以为第一次喝酒没事就认为每次喝同样的酒隔相同时间仍没事，由于前次喝的酒未必代谢干净，再喝同样多的酒也可能醉。 (2) 有人认为喝慢酒不易醉，这是一种误导。由模型知，快速喝酒和慢速相比，代谢更快，司机朋友不要因此而贪杯，导致车祸的发生。 (3) 根据模型可得出一次啊结论:对想喝点酒的司机朋友，若要酒后2,3小时开车，只能喝半瓶啤酒:若想喝一瓶，则必须在约6小时以后驾车，否则易出车祸，将被定为饮酒驾车。为了自己和他人的安全，饮酒要适量。 6 模型的评价 3) 本为的数学模型基于微分方程，可用常数变易法求出解析解。 4) 用拟合的办法确定未知参数，准确地拟出酒精浓度与时间的关系，与所给数据吻合程度较高。 5) 用数学软件描绘出关系图，便于比较。 参考文献: 【1】 王高雄等。常微分方程[M]。北京:高等教育出版社，1983 【2】 姜启源。数学模型[M]。北京:高等教育出版社，1993 【3】 徐翠微。计算方法引论[M]。北京:高等教育出版社，2003 Mathematical Anasysis of Alcoholic Metabolism FANG Xin-bing,SU Li, ZHANG Shan-dong Teacher:LIU Zhi-bing , TANG Jing-bo (College of science , JIiujiang University ,Jiujiang 332005) Abstract:According to the theory of differential equation , A basic mathematical model about the relation of alcohol in body and time 6 is presented ; Some models about practical problems are also given by using the basic model .What we find is fit for the given data perfectly ,and some practical problems are answered finally . Keywords:mathematical model ; differential equation ; fitting ; superposition t=0.25:0.25:1; y1=[30 68 75 82]; polyfit(t,y1,3); A=polyfit(t,y1,3); K=polyval(A,t); plot(t,y1,'k+',t,K,'r') hold on; t=[1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; y1=[82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4]; polyfit(t,y1,3); A=polyfit(t,y1,3); K=polyval(A,t); plot(t,y1,'k+',t,K,'r') 7