方格中的数学

方格中的数学 ――一道练习的拓展(初二年) 傅镇清(福建省南安市华侨中学362333) 在“义务教育课程标准实验教科书《数学》初中二年级(八年级)华东师范大学出版社。中第44页练习2(附出如下) 下列图形中，有多少个正方形,有多少个矩形, (1) 这个问题大家都积极思考，并且很快就数出了图(1)中有正方形5个，矩形(含正方形)9个。而图(2)大家花的时间就比较长了一点。才得出有正方形13个，矩形(含正方形)36个。这时有比较多的同学提出是否有一种比较科学的数法，或者是能运用某一个公式计算出来。 我马上抓住同学现在的活跃思维和高涨的热情。指出有是有，只不过需要我们的同学去发现，才有价值。故我设计了如下问题，让同学们课后完成，在下一节课时再来专题探索。 如果我们把图(1)、(2)中的最小正方形的边长视为1，那么图(1)可视不“2×2方格”，同理图(2)可视为是“3×3方格”。请同学们思考一下:在“4×4方格”中有多少个正方形,有多少个矩形,而在“5×5方格”„„“n×n方格”中呢, 相信如果没有找到规律的情况下，使用蛮劲把“4×4方格”中的正方 形和矩形的个数，数出来是有一定的难度～而对于“5×5方格”恐怕就有 力不从心的感觉。 我们现以“5×5方格为例来阐述科学的数法。 现在我们先来研究一下正方形、矩形的形状和大小是由什么决定。如 图矩形ABCD是由AB与AD的长短和位置决定的我们可以用 “AB ×AD”来表示，并且规定用第一个因数表示水平距离，用第二个因数表 示垂直距离。现我们以“5×5方格”为例来阐述如何比较科学的数出正 方形、矩形的个数。 欲数出“5×5方格”中有正方形多少个可以用如下的方法:?边长 为1×1的正方形:在水平方向上可分为AA、AA、AA、AA、AA112233445 共5段。在垂直方向上也可分为AB、BB、BB、BB、BB共5段。112233445 构成正方形的水平线段和垂直线段要么是上列两组线段或与上列两组线段平行的线段。故共有1×1 2的正方形5×5=5=25个。 ?边长为2×2的正方形:在水平方向上可分为AA、AA、AA、AA共4段。在垂直方向21324352上也可分为AB、BB、BB、BB共4段。同理有2×2的正方形4×4=4=16个。 21324353?不难知道边长为3×3的正方形有3×3=3=9个。 2?边长为4×4的正方形有2×2=2=4个。 2?边长为1×1的正方形有1×1=1=1个。 22222综上所述我们知道“5×5方格”中有正方形:1+2+3+4+5=55个。我们可以依此类推得知“n×n 2222方格中有正方形:(1+2+3+„„+n)个。 现在我们来考虑一下“5×5方格”有多少个矩形(含正方形)。首先在“5×5方格中(其1，x 中x是1?x?5的整数)的矩形数。在水平方向上可以把正方形分成5个矩形块 (依次为矩形 AACB、矩形AACC、矩形AACC、矩形AACC、矩形AACC) 。每一个矩形的、1151221233234324554 (1，5)，5垂直距离又分别有1、2、3、4、5种。故每个矩形块中又有1，2，3，4，5,个矩2 (1，5)，5，5形。所以在“5×5方格”中有“1×x”的矩形个。同理也有“x×1”的矩形2 (1，5)，5，5个，即在“5×5方格”中有一边长是1其他一边至少为1的矩形2 (1，5)，5，5(1，5)，5，53+,5×5,5 (个)。依此我们不难得到如下结论: 2231、 一边长为2，另一边长不小于2 的矩形有4 (个)。 32、 一边长为3，另一边长不小于3 的矩形有3(个)。 33、 一边长为4，另一边长不小于4 的矩形有2(个)。 34、 一边长为5，另一边长不小于5 的矩形有1(个)。 33333故得出“5×5方格”中含有矩形(包括正方形)1+2+3+4+5(个)。我们可以依此类推得知 3333“n×n方格”中应该含有矩形(包括正方形):1+2+3+„„n个。 另一种方法是我们既然知道，一个矩形的形状大小是由矩形的一对横边的竖边决定。那么 在“5×5方格”中水平方向上分别取长为5、4、3、2、1的线段有1、2、3、4、5种即有: (1，5)，5(1，5)，51+2+3+4+5=种。同理在坚直方向上也有种。那么它存在的矩形数有22 225，(5，1)n，(n，1)，，，，333个。而对于“n×n方格”中应有矩形个。也就是说“1，2，3，„„,,,,22，，，， 2n，(n，1)，，3，n,”这时我们探索的不仅是数矩形，而顺便证明了一个较难的级数求和公式。在,,2，， 同学的认识层面上有一个螺旋式的上升。