不同坐标系中的正则量子化要求

不同坐标系中的正则量子化要求 ( )第 25 卷 第 4 期 2004 年 12 月 西 华 师 范 大 学 学 报 自 然 科 学 版 ()Vol125 No14 Dec1 2004 Journal of China West Normal University Natural Sciences () 文章编号 :100128220 20040420459204 ? 不同坐标系中的正则量子化要求 黄永平 ,陶才德 ,陈元莉 ( )西华师范大学物电学院 ,四川 南充 637002 δ摘 要 :阐明了在利用正则对易关系 [ ^q, ^p] = i h得到 ^q和 ^p的具体达式时 , 必须同时考虑 ^p的厄米性要求 , i j iji j j 为了得到在非笛卡儿坐标系中的正确的哈密顿算符 ι , 总是从笛卡儿直角坐标系出发找出 ι , 再通过坐标变换关 系将笛卡儿坐标系中的 ι 变换到所需要的非笛卡儿坐标系. 关键词 :正则量子化 ; 厄米性 ; 对易关系 ; 笛卡儿坐标系 ; 极坐标系 ; 球坐标系 中图分类号 :O413 . 1文献标识码 :B ( ) , p量子化到算符 ^x , ^p, 它们必须满 要量子化某个体系时总是从笛卡儿直角坐标的 x, , x, p, N i j 1 N 1 9 [1 ] δ ^x , ^p足正则对易规则 , 即 : = i , 选用坐标表象时 , ^x 是通常的数 x, 而 ^p= - h i h . i jij i i j 9x j然而在有些情况 , 选用非笛卡儿坐标更为方便 , 比如在求解关于具有球对称的哈密顿算符的本征值问题 9 时 . 但是这类问题的常规做法是先在笛卡儿坐标系下进行量子化 , 得到 ^x = x, ^p= - i h , 并进而得到相i i i 9x i 9 [2 ] ( ) 应的哈密顿算符 ι ^x ϖ x, ^pϖ - i . 然后再按照坐标之间的转换关系变到球坐标系下的 ι , 这样hi i i 9x i ( ) 得到的体系的哈密顿算符 ι 的表达式既正确又简单. 在非笛卡儿的正则坐标系 如极坐标或球坐标中 , 我 ( δ) ^q, ^p= i 来得到算符 ^q和 ^p具体表示 , 并 hp满足正则对易关系 , 们能否直接通过使 q, , q, p, N 1 i jij i j N 1 进而得到正确的厄米算符 ι 呢 ? 下面来看两个例子 : 1 具有旋转对称性的二维运动的粒子 一个作二维运动的粒子 , 其在笛卡儿直角坐标系中的哈密顿量为 2 2 p+ p x y 2 21/ 2 ( ) ()H = + a x+ y.1 2 m 9 ( ) 经量子化 xϖ ^x = x, pϖ ^p= - i h 后 , 其哈密顿算符为 i i i i i 9x i2 2 2 - h 9 92 21/ 2 ( ) ( ) ιϖ ( )+ a x+ y. +2 2 22 m 9x9y 众所周知这种表示是正确的. 但由于这个问题具有旋转对称的特点 , 有时选用极坐标系来求解问题会更 方便 , 通过将坐标关系 ρφρφ()x =cos, y =sin, 3 其逆变换关系 y 2 21/ 2 ()ρ( ) φ ( )4 = x+ y, = arctg x () 代入 2式有 2 2 2 2 2 2 - h99 h 9 1 9 1 92 21/ 2 ) ( ) ) ρ ( ( )(+ + a x+ y= - + a. ιϖ + + 5 22 22 2ρρ2 m 2 m 9 ρρφ9 9 9x9y 那么 , 能否直接将极坐标的经典哈密顿量进行量子化呢 ? 在极坐标系下的二维运动粒子的动能表达式 [3 ] 为 ? 收稿日期 :2004 - 07 - 10 () 作者简介 :黄永平 1974 - ,女 ,四川泸州人 ,西华师范大学物电学院硕士研究生 ,主要从事基础物理的教学和研究工作 . ??1 2 22 ρρφ) (()T = m +,6 2 正则动量为 ? ? 9T 9T 2 ρρφ( ) p= = m和 p== m.7 ρ φ ? ? ρφ9 9 得到粒子的哈密顿量为 2 2 ppρ φ ρ()+ a. 8 + H = 22 m ρ 2 mδ= i 的要求 , 如果仍将相应的算符表 h ij , ^p^q() 我们希望在极坐标中将 8式直接进行量子化. 通过满足 i j 示为 : 9 9 ρρρ ()ϖ^ =, pϖ ^p= - φ φφpϖ ^p= - 9 i ; ϖ^ = ,i .hhρ ρ φ φ ρφ9 9 得到 2 2 2 9h91 ) ρ( ()+ a. 10 H ϖ ι = - + 2 2 22 m ρρφ99 () ( ) ( ) 为什么 10与 5式不致呢 ? 但 5式是正确的 , 因为在笛卡儿坐标系中的量子化程序已经得到经验的 9 ( i 并非厄米算符 , 因为h) 证明. 而在得到 10式的过程中 , 尽管所选择的 ^p满足正确的对易规则 , 但 ^p= - ρ ρ ρ9 ? 2π ? 2π ψψ99 213 3 ψ( ) ) ψρρφ ψ -i h dd=〈^p 〉. ρ221ρ9 ?? 9 0 0 那么正确的径向动量算符是什么呢 ? 通过厄米性的要求 , 可以证明正确的径向动量算符应该为 9 1 9 1 ( ) ρi + = - i .()hh 11 ^p= - ρ ρρρ 92 9 ρ ( ) 事实上 , 根据 ^p的表达式 11式 , 我们有 ρ ? ? 9 19 3 3 ρ ψ- i h ψρ (ψψρρ ψρ ) ρ ψ^p〉= d= - i d= h〈ρ 2 2 2 111ρ9? ? ρ 9 0 ρ 0 3 ? ρ( ψρ) 1 3? ψψρ- i h ψρρ + i hd = 2 1 20 ρ? 9 0 3 ? 9 13 - i h ψρψψψρρ ψ d=〈^p 〉. 122 1ρ 1 ρ9? ρ 0 3 ( ψρψ ) ρ 这里我们可以假定当 ϖ0 或 ?时 ,ϖ0.1 2 ρ() ^ , ^pρ可见由 11式定义的 ^p为厄米算符 , 并且 ^ 和 ^p仍满足正则对易规则 = i . hρρ ρ 1 9 9 ) ( () , ^p= -i +i 代入 8式得到hh现在把 ^p= - φ ρ ρφρ 92 9 2 2 2 2 hh 9 9 91 1 ( ρ( )+ + ) ι = - + a. 12 + 22 2 2ρρ9 2 m ρρρφ9 98 m2 h ( ) ( ) 比较 12与 5式 , 发现多了 项 . 尽管所有的算符已经满足对易规则且为厄米算符 , 但是仍然没有得2ρ 8 m 到正确的量子哈密顿量. 2 具有球对称性的三维运动粒子 一个三维直角坐标系中的粒子 , 其哈密顿量为 2 2 2 p+ p + p x y z2 2 2 ( ) ()H = + V x + y + z . 13 2 m 经量子化后 , 得到哈密顿算符为 2 2 2 2 h 99 9 2 2 2 ) ) ( ()( + + V x+ y+ z. 14 + ι = - 2 222 m 9x9y 9z 第 25 卷第 4 期 黄永平 ,等 :不同坐标系中的正则量子化要求 461 和逆变换关系 2 2 + y x 2 2 2 ) φ ( ) θ(()x+ y+ z, = arctg r = , = arctg y/ x.16 z ( ) () () 利用 14, 15, 16式可得到在球坐标中哈密顿算符的正确表达式为 2 2 2 2 9 9 - h92 ) ) ( ( + + V r= + ι = 2 222 m 9x9y 9z 2 22 1 99- h 2 9 1 9 9 2( θ ) sin+ ( ) + ++ V r= 2 2 2 22 θθ 9 r 9r 92 mθθφrsinrsin99r 2 2 22 2 9 1 1 9 9991 - h2 θ +()+ + ctg+( ) 17 + V r . 2 2 2 2 2 22 θ r 9r 9 θθφ2 m9rr9rrsin9 那么 , 我们又可否直接用球坐标表示的经典哈密顿量进行量子化呢 ? 在球坐标下的三维运动粒子的动 [4 ] 能表达式为 ?? 1 ? 2 2 2 2 22 θ θφ) ( ()T = m r + r + r sin .18 2 正则动量是 ? ? ? 9T 9T 9 T 2 2 2θ θφ()p = = mrsin. 19 p= = m r , p = = mr,? θ φ r ??φ9 r 9 θ9 从而得到粒子的哈密顿量 1 1 1 2 22 2 ) ( ) ( p+ V r. ( )H = p+ p+20 φθ r 2 2 22 m θ rrsin () 我们希望在球坐标中将 20式直接量子化 . 根据对易规则 , 如果仍将相应的算符表示为 9 ()^r = r , pϖ ^p= - i ,h21 r r 9r 9 θθi h,()^ =, pϖ ^p= - 22 θ θ θ9 9 φφ( )i h ,^ = , pϖ ^p= - 23 φ φ φ9 则相应的动能算符和哈米顿算符分别是 2 2 2 2 ^ h91 91 9)( )( T = - + + 24 2 2 2 2 22 2 m θθφ9rr9rsin9 和 2 2 2 2 1 9 h 9 91 2 ) ()( ) ( . 25 + + V r+ ι = - 2 22 2 2 2 2 m θθφ 9rr9rsin9 9 9 ( 都并非i h, ^p=i h) - - 但事实上这也是不正确的 , 为什么我们所得到的 25式不对呢 ? 原来 ^p= θ r θ9r 9 厄米算符 , 因为 ? ? 9 9 2 2 3 3 ψ( ψ)r d r - i h 2 1? 9r 9r 0 π π 9 3 3 )ψψ和 θψθ( ) ψθθ( θi h sind- i 9/ 9?sind- h. 12 1 2 θ?? 9 0 0 通过厄米性的要求 , 正确的动量算符应该是 1 1 9 9 ( ) ()26 ^p= - i h+ = - i h r ,r 9r r r 9r 9 1 9 1 ( θ) θi + ctg= -()hi hsin^p= - 27 θ θ θ92 9θ sin 和 9 ( )28 ^p= - i h .φ φ9 θφ^r , ^p^ , ^p^ , ^p 显然他们仍然满足正则对易关系式 = i h, = i h和 = i h. 将 球 坐 标 系 下 得 到 的 θφr () () () () 26, 27, 28式代入到 17式有 2 2 ^p^p φθ 1 22 ) ( ) ( + V r= ι = ^p+ +r 2 2 2 m θrsin r2 2 2 2 2 1 9 1 1 9 1 9h 9 9h2 22 θ ( θ) ) ( ( ) - + + ()+ + ctgctg+ 1+ V r.+ 29 2 2 2 22 22 r 9r θ4 m 2 m 9 2 θθφ9rr9rrsin92 () ( ) 将式 29与 17相比发现又多出了两项含有 h的项 , 这与在二维的极坐标情况一样. 结 论 3 从以上两个例子可见 , 在二维和三维情况直接通过对易规则和厄米性要求在非笛卡儿坐标系进行量子 2 化都没有得到正确的哈密顿算符 , 都多出了含有 的项. 这是为什么呢 ? 其实 , 关键是 H 并不能唯一决定h 2 ( 中出现却在 H 中不出现 , 这些项被称作含糊 am2 ι , 因为含有 h项或 h项 , 甚至 h的更高次项是可以在 ι ) biguity项 . 这些项即使在笛卡儿坐标系下进行正则量子化也是存在的 , 不过有时可以通过对称性得到解决 , 而在非笛卡儿坐标系下就更麻烦复杂了. 虽然这并不产生任何的物理影响 , 但却带来了 ι 形式的不确定 性 , 当然只有用正则量子化才会出现这种现象 , 比如采用路径积分量子化方法就是可以避免的. 从以上例子还可以看出 , 在非笛卡儿坐标系下直接进行量子化即使能求出哈密顿算符 , 但也是挺复杂麻 烦的. 不是在每个坐标系里按同样的方式去量子化都能得出象在笛卡儿坐标系中那么简洁的正确结果. 所 以 , 我们在处理非笛卡儿坐标系里量子化问题时最好是依赖于笛卡儿坐标系里建立正确结果和两坐标系之 间的转换关系 , 去得到在非笛卡儿坐标系中 ι 的正确表达式. 这样做既方便 , 也是我们处理这类问题的惯 例 . 参考文献 : ( ) 1 曾谨言 . 量子力学 ?,第三版 M . 北京 :科学出版社 ,2000. 75. 周世勋 . 量子力学 M . 北京 :高等教育出版社 ,1995. 60 - 65. 2 () SHANKAR R. Principles of Quantum Mechanics ,2nd EdM . New York and London : Plenum Press ,1994. 82. 3 () 周衍柏 . 理论力学教程 第二版M . 北京 :高等教育出版社 ,1996. 293. 4 Requirements of the Canonical Quantization in Different Coordinates HUAN G Yong2ping ,TAO Cai2de ,CHEN Yuan2li ( )College of Physical and Electronic Technology , China West Normal University. Nanchong ,637002 ,China ^q, ^pδ = i h,Abstract :This article illustrates that when we get the formula of ^q&^pfrom canonical commutation rules i j ij i j we must take into account at the same time the Hermiticity of ^p. To get the right quantum Hamiltonian operator ι in non j - Cartesian coordinates ,we always need to change ι in Cartesian coordinates into non - Cartesian coordinates by using the coordinates transformation. Key words :canonical quantization ; Hermiticity ;commutation rules ;Cartesian coordinates ;polar coordinates ; spherical co2 ordinates. ()第 25 卷终