高等数学实验室实验22泰勒展开

实验2.2 泰勒展开式的计算 实验目的 本次实验中, 介绍使用 Mathematica 进行泰勒展开的方法,并从不同角度对泰勒展开式进行观察和讨论. 着重与对泰勒余项的误差分析, 使学生理解展开位置 和展开阶数n 对计算误差的影响. 研究泰勒展开式的应用. 实验工具 1. 泰勒展开式 表达式格式 表达式意义 Series[f[x],{x,x0,n}] 在 x = 处对函数 f (x) 的作n阶泰勒展开 例1 将下列函数在指定点按指定阶数作泰勒展开 (1) (2) (3) (4) Series[x^4-5x^3+x^2+4,{x,4,4}] Series[x Sin[x],{x,0,8}] Series[Tan[x],{x,0,8}] Series[Log[1+x],{x,0,8}] 2. 泰勒级数与多项式的互相转化 泰勒展开式是级数形式, 其特征是以 o[x]^n 作为结尾. 这是Mathematica 系统的一种特殊数据类型: SeriesData (级数型). 级数型数据不便进行计算,也不能直接画图. 在计算时, 可以先将其转换为多项式, 然后再计算. 表达式格式 表达式意义 Normal[ series ] 泰勒展开式转化为多项式 例2 将下列泰勒级数转化为多项式 u=Series[1/(1-x),{x,0,5}] u1=Normal[u] 例3 将下列多项式转化为级数形式 p=1+x+x^2+x^5 p1=p+O[x]^5 Head[p1] SeriesData 实验指导 1. 泰勒展开的近似计算与截断误差 在泰勒展开式中, 若忽略掉泰勒余项, 用n次多项式作为函数的近似值,会产生截断误差. 截断误差的大小, 就是我们所说的泰勒余项. 对泰勒余项进行估计, 可以确定截断误差的范围. 例如 若 | | x; Return[N[u,10]]] Step2 固定 = 0, 观察阶数 n 对误差的影响 Table[N[{n,ggsin[7,0,n],Sin[7]-ggsin[7,0,n]}], {n,5,30,5}] 表2. 阶数n 对误差的影响 n ggsin[7, 0, n] 截断误差 5. 89.8917 -89.2347 10. 37.694 -37.037 15. 0.0867075 0.570279 20. 0.647032 0.00995448 25. 0.656992 -5.68898 10-6 30. 0.656987 -1.83325 10-8 请根据数据表

总结

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误差随n规律. Step3 固定 n=5, 观察 的影响 Table[N[{a,ggsin[7,a,5],Sin[7]-ggsin[7,a,5]}], {a,3,10}] 表3. 起点 对误差的影响 ggsin[7, ,5] 截断误差 3.00 -1.33055 1.98753 4.00 -0.248563 0.905549 5.00 0.584393 0.0725938 6.00 0.656793 0.000193336 7.00 0.656987 0. 8.00 0.658365 -0.00137831 9.00 0.713015 -0.0560288 10.00 0.508515 0.148471 请根据数据表总结误差随 规律. 3. 根据图形观察泰勒展开的误差 例5 分析各阶泰勒展开式的图形 1) 固定 = 0, 观察阶数 n 的影响 gs25=ggsin[x,0,25]; gs15=ggsin[x,0,15]; gs05=ggsin[x,0,5]; Plot[ {Sin[x],gs25,gs15,gs05}, {x,0,5Pi}, PlotRange->{-3,3}, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,1,0], RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,1]}, Background->RGBColor[0.753,0.753,0.753]]; 2) 固定 n=5, 观察 的影响 ggs0=ggsin[x,0,5]; ggs5=ggsin[x,5,5]; ggs12=ggsin[x,12,5]; Plot[ {Sin[x],ggs0,ggs5,ggs12}, {x,0,6Pi}, PlotRange->{-3,3}, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,1,0], RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,1]}, Background->RGBColor[0.753,0.753,0.753]]; 请根据图像总结用泰勒多项式 p(x) 逼近函数 f (x) 的确切含义. 实验任务 练习1. 求下列函数在 = 0 处的7阶泰勒展开式 1) y = 2) y = arctan x 3) y= ln (cos +sin x ) 练习2. 利用泰勒展开式近似计算 1. 根据y = ln (cos +sin x ) 的图形回答: 函数的定义域? 函数是否满足泰勒展开的条件? 函数在什么范围内可以泰勒展开? 2. 取不同的 , 利用泰勒展开式近似计算y 在 x = 0.8 和 x = 2 处的值, 列表总结实验结果. 练习3 .泰勒展开的图形分析 1. 作出 y = ln (cos +sin x ) 的函数图形和 y 的泰勒展开式 (选取不同的 和n值) 的图形, 并将图形进行比较. 2. 从 和 n 两个角度分析泰勒展开方法, 结合泰勒余项进行总结. 写一篇有关的小论文谈你对泰勒展开的体验和理解. _985329028.unknown _985329976.unknown _985341275.unknown _985342009.unknown _985545402.unknown _985544848.unknown _985545249.unknown _985545281.unknown _985543278.unknown _985341533.unknown _985341704.unknown _985341371.unknown _985337140.unknown _985339848.unknown _985337006.unknown _985329565.unknown _985329779.unknown _985329522.unknown _985325456.unknown _985328763.unknown _985328959.unknown _985325499.unknown _985325108.unknown _985325377.unknown _985324451.unknown