数列中的最大项或最小项问题的求解策略

数列中的最大项或最小项问的求解策略 在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，可以很好地考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、最值密切相关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一大亮点，本文试对求数列中的最值问题加以探讨. 给出数列 的通项公式 的最大项或最小项，有以下解题策略： 策略一 利用差值比较法 若有 ，则 ，则 ，即数列 是单调递增数列，所以数列 的最小项为 ； 若有 ，则 ，则 ，即数列 是单调递减数列，所以数列 的最大项为 . 策略二 利用商值比较法 若有 对于一切n∈N*成立，且 ，则 ，则 即数列 是单调递增数列，所以数列 的最小项为 ； 若有 对于一切n∈N*成立，且 ，则 ，则 即数列 是单调递减数列，所以数列 的最小项为 . 策略三 利用放缩法 若进行适当放缩，有 ，则 ，即数列 是单调递增数列，所以数列 的最小项为 ； 若进行适当放缩，有 ，则 ，即数列 是单调递减数列，所以数列 的最大项为 . 策略四 利用导数法 为求出 的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数 的导数，进而求出该函数的单调区间，从而可知数列 的单调性，最后求出数列 的最大项或最小项. 策略五 先猜后证 通过，推测数列 的某项 (k∈N*)最大（或最小），再证明 对于一切n∈N*都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题. 一、一题多解，殊途同归，培养学生思维广阔性 例1 已知函数 ，Sn是数列 的前n项和，点（n，Sn）（n∈N*）在曲线 上. （Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）若 ， ，且Tn是数列 的前n项和. 试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值；若不存在，请说明理由. 解（Ⅰ）因为点（n，Sn）在曲线 上，又 ，所以 . 当n=1时， . 当n>1时， 所以 . （Ⅱ）因为 ①所以 ② ③ ②－③得 . 整理得 ， ④ 策略一 利用差值比较法 由④式得 ，所以 因为 ，所以 . 又 ，所以 所以 ， 所以 . 所以Tn存在最大值 策略二 利用商值比较法 由④式得 . 因为 所以 ，即 . 所以 / 所以Tn存在最大值 . 策略三 利用放缩法 由①式得 ，又因为Tn是数列 的前n项和， 所以 . 所以 所以Tn存在最大值 . 策略四 利用导数江 考查函数 的单调性. 因为 ，所以 ，而 ，所以 又 ， 所以 ，所以 . 又 ，所以 ， 即 ，所以 在 上是单调递减函数，所以当x=1时， . 因为 ，所以 ， 所以 存在最大值 . 策略五 先猜后证 通过分析，推测数列 的第一项 最在. 下面证明： . 方法1 分析法 因为 ，所以只要证明 . 即只要证明 . 只需要证明 . 即只要证明 由二项式定理得 且 时， ，所以 所以 成立. 所以 成立. 所以 存在最大值 . 方法2 利用数学归纳法 （i）当n=2时，因为 ，所以 ，不等式成立. （ii）假设 时不等式成立，即 . 则当 时， 由①式得 所以 . 这就是说，当n=k+1时，不等式也成立. 由（i）（ii）得，对于一切 且 ，总有 成立. 所以 存在最大值 . 评注 本题（Ⅱ）的解答给出了求Tn最大值的多种方法，灵活多变，也是求数列最值问题的常规方法. 二、尝试探究，选定方案，培养学生思维的深刻性 例2 在数列 中， ，其中 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ； （Ⅲ）证明存在 ，使得 对任意 均成立． 解 （Ⅰ）由 （ N*）， ，可得 ，所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ， 所以数列 的通项公式为 . （Ⅱ）解：设 ，　　　① 　　　　　　　　② 当 时，①式减去②式， 得 ， ． 这时数列 的前 项和 ． 当 时， ．这时数列 的前 项和 ． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列 的第一项 最大，下面证明： ．　　　　③ 由 ， 知 ，要使③式成立，只要 ， 因为 ． 所以③式成立． 因此，存在 ，使得 对任意 均成立． 评注 本题（Ⅲ）设计非常精彩. 为证明“存在k∈N*，使得 对任意 n∈N*均成立”，可以转化为思考 “存在k∈N*，使得 是数列 的最大项”问题. 本小题若用差值比较法转化为探究 差值与0的大小、用商值比较法转化为探究 商值与1的大小、用单调性法把通项公式为 的数列 的单调性问题转化为探究函数 的导数问题以及放缩法解决问题，都颇有难度. 虽然说上述方法都是解决数列最值问题的通性通法，碰壁后若不能及时调整解题策略，就会泥牛入海，不能自拨. 而使用策略五，先敏锐、大胆、果断猜出 ，再用分析法以及重要不等式证出这个结论，方法非常奏效. 命题高明之处就在于不是直接抛出了 这个结论，让考生去证明；而是让考生先自己探究出结论再论证，富有挑战性. 这也是现在高考命题的一大亮点，要求学生学会先猜后证，能够很好地考查学生思维的深刻性. 三、辨析模式，分类讨论，培养学生思维严谨性 例3 在数列 中， （ ），其中k是常数，且 . （Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）求数列 的最小项. 解 （Ⅰ）因为 （ ），所以 ，即 . 当 时， . 以上n-1个式子相加得 ，即 . 又 ，所以 ，即 . 当n=1时，上式也成立. 所以数列 的通项公式为 . （Ⅱ）为考查数列 的单调性，注意到 ，可设函数 ，则 ，即 . 可知 时， ； 时， ； 时， . 所以函数 在[1， ]上是减函数；在 上是增函数. 因为 ，所以 . （1）当 ，即k=25时， .所以数列 的最小项为 . （2）当 ，即k=36时， . 所以数列 的最小项为 . （3）当a5=a6，即 ，即k=30时， . 所以数列 的最小项为 . （4）当 且 时， 且 ，则 ， . 所以数列 的最小项为 . （5）当 时， 且k<36，则 ， . 所以数列 的最小项为 . 综上所述： 当k=25时，数列 的最小项为a5=10；当 时，数列 的最小项为 ；当k=30时，数列 的最小项为a5=a6=11；当301的自然数，不等式 恒成立，试求实数a的取值范围. 解：（Ⅰ）因为 ，an(n∈N*)，a=1，所以an>0. 所以 . 所以 . 而a1=1，所以 . （Ⅱ）设 (n∈N*)，m 由（Ⅰ）知 ，所以 ，所以 ，所以 . 所以数列 是单调递增数列. 所以当 时，bn的最小值为 . 所以要使对于一切n>1的自然数，不等式 恒成立，则需且只需 ，则 . 所以 ，解之得 . 故所求实数a的取值范围为 . 评注 本题（Ⅱ）中的恒成立问题的解决关键，是灵活化归为求数列 自第2项起的各项中最小项问题. 体会 求数列中的最大项或最小项，有些题目有多种途径能够解决（如例1），一题多解可以开阔思路；有些题目，不是几种方案都能奏效，要有一个尝试判断的思维过程，要能够迅速调整策略（如例2）；有些题目，借助辅助函数的单调性加以解决，但要注意数列的自变量只有取正整数时才有意义（如例3）；有些与恒成立有关的参数取值范围问题，可以转化为求数列中的最大项或最小项问题加以处理（如例4）. 因为数列本身就是一种特殊函数，所以求数列中的最大项或最小项问题，与函数求最大值或最小值的方法有许多相通之外；但也要注意作为特殊函数数列，它的定义域具有鲜明的个性，是正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}），这就使得数列的图象是一群孤立的点，求数列中的最大项或最小项问题时，不要忽视这一点. PAGE - 2 - _1242891371.unknown _1242911306.unknown _1242911890.unknown _1265524899.unknown _1265526366.unknown _1265529583.unknown _1265530878.unknown _1265546462.unknown _1265547895.unknown _1265547982.unknown _1265548621.unknown _1265549515.unknown _1265550262.unknown _1265615542.unknown _1265615837.unknown _1265616068.unknown _1265616123.unknown _1265616197.unknown _1265616295.unknown _1265616104.unknown _1265616036.unknown _1265616061.unknown _1265615916.unknown _1265615782.unknown _1265615809.unknown _1265615628.unknown _1265615464.unknown _1265615488.unknown _1265615335.unknown _1265549890.unknown _1265549990.unknown _1265550033.unknown _1265549898.unknown _1265549571.unknown _1265549789.unknown _1265549527.unknown _1265549198.unknown _1265549399.unknown _1265549465.unknown _1265549490.unknown _1265549448.unknown _1265549272.unknown _1265549362.unknown _1265549216.unknown _1265548852.unknown _1265549103.unknown _1265549172.unknown _1265549032.unknown _1265548707.unknown _1265548781.unknown _1265548666.unknown _1265548372.unknown _1265548529.unknown _1265548575.unknown _1265548439.unknown _1265548450.unknown _1265548412.unknown _1265548236.unknown _1265548287.unknown _1265548350.unknown _1265548241.unknown _1265548168.unknown _1265548026.unknown _1265548057.unknown _1265547963.unknown _1265547436.unknown _1265547668.unknown _1265547784.unknown _1265547844.unknown _1265547867.unknown _1265547826.unknown _1265547728.unknown _1265547757.unknown _1265547702.unknown _1265547599.unknown _1265547636.unknown _1265547654.unknown _1265547625.unknown _1265547511.unknown _1265547579.unknown _1265547483.unknown _1265546981.unknown _1265547222.unknown _1265547321.unknown _1265547346.unknown _1265547260.unknown _1265547050.unknown _1265547204.unknown _1265547014.unknown _1265546731.unknown _1265546817.unknown _1265546902.unknown _1265546769.unknown _1265546540.unknown _1265546662.unknown _1265546514.unknown _1265541410.unknown _1265542524.unknown _1265546361.unknown _1265546365.unknown _1265546367.unknown _1265546368.unknown _1265546366.unknown _1265546363.unknown _1265546364.unknown _1265546362.unknown _1265543930.unknown _1265546357.unknown _1265546359.unknown _1265546360.unknown _1265546358.unknown _1265544301.unknown _1265546355.unknown _1265546356.unknown _1265546354.unknown _1265546353.unknown _1265543946.unknown _1265543764.unknown _1265543917.unknown _1265542547.unknown _1265542121.unknown _1265542287.unknown _1265542455.unknown _1265542511.unknown _1265542366.unknown _1265542219.unknown _1265542275.unknown _1265542191.unknown _1265541676.unknown _1265541960.unknown _1265542083.unknown _1265541931.unknown _1265541495.unknown _1265541552.unknown _1265541481.unknown _1265531254.unknown _1265541043.unknown _1265541224.unknown _1265541309.unknown _1265541365.unknown _1265541266.unknown _1265541083.unknown _1265531403.unknown _1265540759.unknown _1265540971.unknown _1265541006.unknown _1265540927.unknown _1265531509.unknown _1265531372.unknown _1265531394.unknown _1265531316.unknown _1265531067.unknown _1265531166.unknown _1265531228.unknown _1265531106.unknown _1265531029.unknown _1265531050.unknown _1265531017.unknown _1265530132.unknown _1265530383.unknown _1265530539.unknown _1265530729.unknown _1265530837.unknown _1265530641.unknown _1265530470.unknown _1265530326.unknown _1265530146.unknown _1265529737.unknown _1265529864.unknown _1265529912.unknown _1265529808.unknown _1265529700.unknown _1265529708.unknown _1265529601.unknown _1265527264.unknown _1265527891.unknown _1265529251.unknown _1265529386.unknown _1265529573.unknown _1265529343.unknown _1265528984.unknown _1265529129.unknown _1265528019.unknown _1265527590.unknown _1265527731.unknown _1265527758.unknown _1265527716.unknown _1265527391.unknown _1265527437.unknown _1265527370.unknown _1265526620.unknown _1265526884.unknown _1265527180.unknown _1265527205.unknown _1265527040.unknown _1265527130.unknown _1265526763.unknown _1265526501.unknown _1265526575.unknown _1265526484.unknown _1265525223.unknown _1265525618.unknown _1265525641.unknown _1265526354.unknown _1265525633.unknown _1265525384.unknown _1265525442.unknown _1265525241.unknown _1265525157.unknown _1265525179.unknown _1265525022.unknown _1265525129.unknown _1265524955.unknown _1265524880.unknown _1242911909.unknown _1242911852.unknown _1242911869.unknown _1242911824.unknown _1242891399.unknown _1242891603.unknown _1242891742.unknown _1242891784.unknown _1242891797.unknown _1242891667.unknown _1242891550.unknown _1242891595.unknown _1242891473.unknown _1242891390.unknown _1242891395.unknown _1242891375.unknown _1242887138.unknown _1242891228.unknown _1242891333.unknown _1242891337.unknown _1242891285.unknown _1242891142.unknown _1242891184.unknown _1242887176.unknown _1242890894.unknown _1242887012.unknown _1242887115.unknown _1242887118.unknown _1242887065.unknown _1242887005.unknown