专题讲解五年级奥数题：数的整除性（B）

二 数的整除性(B) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____. 3. 下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这 991个 991个 个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____. 4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____. 5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____. 6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____. 7. 任取一个四位数乘3456,用A示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____. 8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____. 9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____. 10. 所有数字都是2且能被66……6整除的最小自然数是_____位数. 100个 二、解答题 11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？ 12．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？ 13．500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？ 14．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明. ———————————————答 案—————————————————————— 1. 2620或2711 一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能 23 0 56 0 或23 8 56 8 又 230560 88=2620 238568 88=2711 所以,本题的答案是2620或2711. 2. 0 因为36=9 4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性. 所以,这个数的个位上的数最小是0. 3. 6 33…3□44…4 991个 991个 =33…3 10993+3□4 10990+44…4 990个 990个 因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要 990个 990个 3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6. 4. 10,11,12或21,22,23或32,33,34. 三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有 当和为33时,三个数是10,11,12； 当和为66时,三个数是21,22,23； 当和为99时,三个数是32,33,34. [注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下： 设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则 n+(n+1)+(n+2) =3n+3 =3(n+1) 所以， 能被3整除. 5. 118 符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79. 所以,所求的和是39+79=118. 6． 195 因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且15 15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13 13=169不合要求,13 15=195适合要求.所以,答案应是195. 7. 9 根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能. 因为3456=384 9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9. 8. 9 ∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9. 9. 7410 根据能被2、3、5、整除的数的特征，这个四位数的个位必须是0，而十位、百位、千位上数字的和是3的倍数。 为了使这个四位数尽可能最大，千位上的数字应从所给的6个数字中挑选最大的一个.从7开始试验,7+4+1=12,其和是3的倍数,因此其中最大的数是7410. 10. 300 ∵66…6=2 3 11…1 100个 100个 显然连续的2能被2整除,而要被3整除,2的个数必须是3的倍数,又要被11…1整除,2的个数必须是100的倍数,所以,最少要有300个连续的2方能满 100个 足题中要求.答案应填300. 11. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7. 12. 因为225=25 9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1. 13. 若将这500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时，编号能被6整除的士兵报6，所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除，即能被30整除，在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个，所以既报1又报6的士兵共有16名. 14. 不能. 假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾. _986817079.unknown _986823645.unknown _986825139.unknown _987842813.unknown _986825799.unknown _986825128.unknown _986823285.unknown _986816239.unknown _986816295.unknown _986816202.unknown