也谈一道美国数学月刊征解题的解法

也谈一道美国数学月刊征解题的解法 梁开华 　(上海市志丹路 500 弄 2 号 1 楼 13214 室 　200065) . 　　题目 　设 x , y , z ∈(0 , + ∞) 且 x2 + y2 + z 2 = 1 ,求 f = x + y + z - xy z 的值域. 征解题给出以后 ,引起广泛关注. 文 [1 ] 给出 了“简解”,但方法不易想到 ;由于难免出现高次函 数 ,不用包括导数在内的纯初等方法尤为引发兴 趣. 本文给出包括纯初等解法在内的两种不同解 法. 1 　比较法 解 　1 = x2 + y2 + z2 ≥xy + yz + zx ,即 xy + yz + zx ≤1 . ( x + y + z) 2 = 1 + 2 ( xy + yz + zx ) ≤3 , 所以 x + y + z ≤ 3 . 1 = x2 + y2 + z2 ≥3 ·3 x2 y2 z2 , 所以 xy z ≤ 39 . 由柯西定理 , ( x + y + z) ( 1 x + 1 y + 1 z ) ≥9 , 故 1 x + 1 y + 1 z = xy + yz + z x x y z ≥3 3 . 如上接连得到几个有意义的关系式. 设 x + y + z = u , xy z = v , xy + yz + zx = w ,则有 w v ≥3 3 . 因为 u - v > 1 Ζ u > v + 1 Ζ ( x + y + z) 2 > ( xy z + 1) 2Ζ 2 w > v2 + 2 v = v ( v + 2) Ζ w v > v 2 + 1 , 又 w v ≥3 3 , v2 + 1 ≤ 3 18 + 1 ,故 w v > v 2 + 1 成立. 所以 f = u - v > 1 . 由对称性 ,比如 x →0 , y →0 , z →1时 , xy z → 0 ,故下界 1 是最好的. 当 x = y = z 时 , f = u - v = 8 39 . 先比较三个变量一个相同 ,另两个相等或不 等. 由题目条件 ,不妨设 z1 = 1 - 2 m2 = z2 = 1 - 2 ( a2 + b2 ) ,由 m2 = a2 + b2 及 x1 = y1 = m , x2 = a + b, y2 = a - b; u1 = x1 + y1 + z1 , v1 = x1 y1 z1 , u2 = x2 + y2 + z2 , v2 = x2 y2 z2 ; f 1 = u1 - v1 , f 2 = u2 - v2 , 140 件 ,所需租赁费最少为 　　　元. 解析 　设甲种设备需要生产 x 天 ,乙种设备 需要生产 y 天 ,该公司所需租赁费为 z 元 ,则 z = 200 x + 300 y ,甲、乙两种设备生产 A , B 两类产品 的情况为下所示 : 　　　产品 设备 A 类产品 (件) ( ≥50) B 类产品 (件) ( ≥140) 租赁费 (元) 甲设备 (每天) 5 10 200 乙设备 (每天) 6 20 300 　　则满足的关系为 5 x + 6 y ≥50 , 10 x + 20 y ≥140 , x ≥0 , y ≥0 , 即 x + 6 5 y ≥10 , x + 2 y ≥14 , x ≥0 , y ≥0 . 作出不等式组表示的平面区域 ,将目标函数 z = 200 x + 300 y 表示为直线 l : y = - 23 x + z 300 , 图 7 当 它 过 两 直 线 x + 6 5 y = 10 , x + 2 y = 14 的 交 点 (4 , 5) 时 ,直线 l在 y 轴上 的截距最小 ,此时的目标 函数 z = 200 x + 300 y 取 得最小值为 2 300 元. 点评 　本题是线性规划中的实际应用问题 , 需要通过审题理清题意 ,找出各个量之间的关系 , 最好是列成表格 ,列出线性约束条件和所研究的 目标函数 ,通过数形结合解答问题. 总之 ,线性规划问题已成为全国各省市高考 的热点 ,题型有一定的变化 ,由顺向的问题到出现 逆向问题 ,由单一的问题到出现复合考点交叉问 题 ,思维方式上呈现出灵活的趋势. ·03· 　　　　　　　　　　　　　　　中学数学月刊 　　　　　　　　　　　　2010 年第 3 期 　　所以 f 1 - f 2 = 2 ( m - a) + ( a2 - b2 ) · 1 - 2 ( a2 + b2 ) - m2 1 - 2 m2 = 2 ( m - a) - 2b2 1 - 2 m2 = 2 ( m - a) [1 - ( m + a) 1 - 2 m2 ]. 因为 m > a ,所以 ( m + a) 1 - 2 m2 < 2 m 1 - 2 m2 = 2 · 2 m2 (1 - 2 m2 ) ≤ 2 · ( 12 ) (1 - 1 2 ) < 1 , 所以 f 1 > f 2 . 这表明 ,固定一个数 ,另两个数 相等时 , f 较大. 考察 f ( m) = 2 m + 1 - 2 m2 (1 - m2 ) , (1) 当 f′( m) = 2 - 2 m 1 - 2 m2 (1 - m2 ) - 2 m · 1 - 2 m2 = 2 - 2 m (2 - 3 m 2 ) 1 - 2 m2 = 0 时 , m (2 - 3 m2 ) = 1 - 2 m2 , 即 9 m6 - 12 m4 + 6 m2 - 1 = 0 , 亦即 (3 m2 - 1) (3 m4 - 3 m2 + 1) = 0 , 所以 m = 33 . 显然在可取值范围内 , m < 33 时 , f′( m) > 0 ; m > 33 时 , f′( m) < 0 . 故 m = 33 时 , f ( m) 有最大值为 f ( 3 3 ) = 8 3 9 ,即 2 m + 1 - 2 m 2 - m 2 1 - 2 m2 ≤8 39 成立. 综上 , f = u - v ≤8 39 成立. 所以函数 f 的值域是 (1 , 8 39 ]. 本解法转化为对正数 m 求 (1) 的最大值问 题. 通过比较与转化别具一格 ,转化以及求导解决 的过程也相对简单. 2 　定值法 对 (1) 求导毕竟感觉上不够初等 , 又明明知 道 m = 33 时 f 恰为最大. 数学上有时就得解决这 样方向性攻难的问题. 作为纯初等的解法思考 ,定 值法就是明确的、有效的. 转化问题 　m > 0 , 求 f ( m) = 2 m + 1 - 2 m2 (1 - m2 ) 的最大值. 解 　总能明确 , m = 33 时 , f ( m) max = 8 3 9 . 其实就是证明 :当 m > 0 时 , 8 3 9 - 2 m - 1 - 2 m 2 (1 - m2 ) ≥0 . 先证明 18 x4 + 12 3 x3 - 27 x2 - 22 3 x + 37 > 0 . 18 x4 + 12 3 x3 - 27 x2 - 22 3 x + 37 > 18 x4 + 12 3 x3 - (25 + 16 + 9 3 - 29) x2 - (29 3 - 12) x + 9 + 28 = (18 x4 - 25 x2 + 9) + x (4 - 3 3 x) (3 - 4 x) + (29 x2 - 29 3 x + 28) > 0 . 由于 0 < x < 22 ,结合判别式Δ < 0 ,不等式 成立是一定的. 所以 19 ( m - 3 3 ) 2 (18 m4 + 12 3 m3 - 27 m2 - 22 3 m + 37) ≥0 , 即 2 m6 - 5 m4 + 8 m2 - 32 39 m + 37 27 ≥0 , 亦即 ( 8 39 - 2 m) 2 - (1 - 2 m2 ) 2 ≥ (1 - 2 m2 ) m4 . 所 以 8 39 - 2 m ≥ (1 - 2 m2 ) (1 - 2 m2 + m4 ) = 1 - 2 m2 (1 - m 2 ) ,即8 39 ≥2 m + 1 - 2 m 2 (1 - m2 ) 成立. 求得 (1) 最大值的探索过程 , 实际上也就是 将上述解题步骤倒过来. 3 　有关引申 其实对于 (1) , 令 1 - 2 m2 = t , 则 f ( t) = 2 (1 - t2 ) + t + t 3 2 . 这就是[1 ] 最后得到的关系式. 这表明 , [1 ] 的过程比较烦琐 ,思路也不够清晰 ;又同时 ,殊途 归一 ,显然式子 (1) 更好. 由 (1) 的过程 , 可以得到一些等价关系 式 ,有兴趣者不妨一试解决. 比如 : ①如果 0 <α<β≤π4 , 试比较 2 2tan α+β 2 - ( sin2α+ sinαsinβ+ sin2β) 与 1 的大小 ; ②若 x 为锐角 , 证明 8 39 - 2cos x - 1 3 sin x (1 + sin2 x) ≥0 . 参考文献 [1 ] 　丁兴春. 一道美国数学月刊问题的简解 [J ] . 中学数 学月刊 ,2009 (8) . ·13·2010 年第 3 期 　　　　　　　　　　　　中学数学月刊