一道《美国数学月刊》征解题的初等解法

2011年第50卷第1期 数学通报 59 一道《美国数学月刊》征解题的初等解法 苏立志 (黑龙江省大庆实验中学163316) 问题 已知z。y，2∈(O，+∞)且z2+y2+ ≯=1，求函数厂一z+y+2一删z的值域． 此问题最早出现在《美国数学月刊》问题征解 中，后又出现在中国不等式研究小组网站上寻求 它的初等解法．文[1]、[2]分别给出了求厂上界 的抽屉原则解法．但文[1]作者把“抽屉原则用于 证明不等式，实属罕见”说成是“至今无人给出它 的初等解法的原因所在”，笔者觉得此话值得商 榷．事实上，文[2]、[3]都曾各自给出过另外初等 解法．笔者对此题也做了几番独立探索，并最终获 得了一种更简洁的初等解法，现行成文，仅供参 考． 解首先求，的最优上界． 注意到如下两个恒等式 曲f一(口+6+f)(动+k+∞)一(口+6)(6 +f)(f+口) ① 3(口+6)(6+c)(c+口)=(口+6+c)3一(口3 +63+f3) ② ’ 于是， }一z+y+芝一z，z =(z+y+2)一(z+y+z)(彬+弦+嬲) +(z+y)(3，+z)(2+z)(运用①) =(z十y+名)一告(z十y+z)[(z+y+2)2 —1]+(z+y)(y+z)(z+z)(。．．z2+y2+∥=1) =一丢(z+y+2)3+号(z+y+名)+ 告(z十y+2)3一号(z3+y3+矿)(运用②) =一丢(z+y+2)3+号(z+y+z)一÷(z3 +y3+芝3) 由幂平均不等式得 (半){≥(掣)÷一 (号)号， 化简得 ÷(z3w“)≥譬．． 从而 ，≤一丢(z+y+2)3+导(z+y+z)一譬 =一丢(z+y+z一万)2(z+y+z+2万)+ 学≤学， 即厂≤学． 再者，注意到上文所有的“≤”与“≥”中等 号成立的充要条件均为z=y=2=譬，所以， 的最大值为学． 下面求，的最优下界(见文[1]、[2])． 显然o，，z>z2． 于是， f=z+y+z～z，z ≥z+y+z—z·华 ≥z+y+z—z．L；三三(·．·z。+yz+≯一1) ：z．L高#+y+z ≥z·z+y+2 >宠2+，2+22—1． 所以。r>1，且易知当z一1或v一1或 万方数据 60 数学通报 2011年第50卷第1期 对一个几何不等式猜想的否定 张 赘 (西安交通大学阳光中学710043) 设四面体A。A2A。A．中，顶点A；(i=1，2，3， 4)所对面上的高和旁切球半径分别为^。和，．i， ∑

表

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示循环和，《数学通报》2010年第3期55页 (即文[1]末)提出下列猜想 ∑订老而≤号·么一^2+^3+JIl‘、3‘ 本文指出此猜想不能成立． 事实上，由文[2]得 ^一粤(f一1，2，3，4，s 由口一昙。。JIl。得，^。一塑， 在四面体AlA2A3A‘中，取AlA2=AlA3= AlA．一 1，么A2AlA3一么A3AlA‘一 么A。A。A2=90。，则 铲譬×2=譬， s2。曲一乳2言， |112=五3=^‘=l， 所以由t，一吾啪。得，3口一sz^。=丢， 所以^，=塑一枣， Sl 5那么r，2再蔫。南，s2十53十文一sl3一√3南2南×号5学，^2+IIl3+凡3一压一3 18’ 同理得 垒 ： IIll+IIl3+．Il‘ r． 一7万一9 i干万干瓦一—面一’ ．——．—，—：j——一；^l+^2+^． 所以∑订等而=学+3× 7捂一9—100万一105—矿一——百广’ 因为塑学一号=塑学> O． 所以∑爵了{1_而≤詈不能成立． ◆考文■ l 张宁．四面体中的Jan玉不等式[J]．数学通报．2010，3 2沈文选．初等敷学研究教程[M]．湖南教育出版杜，1996．5 2—1(满足≯+，+矿=1)时，，一1，由对称 性可知，1是厂的最优下界． 综上所述，厂的值域为(1，簪． ●膏文■ l李建囊．一道美国致学月刊问题的初等■法[J]．轰擘通报． ZOl0．8 2张艳．一道美国敷掌月刊问麓的初等解法掇究[J]．中学数学 月刊，2010，2 3集开华．也谈一道美国数学月刊征解置的解法[J1中学教学 月刊．2010．3 4苏立志．敖帮也应作自己的解置

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[J]．赣学通报，2009．10 积体体面四示表口S．∑川 = 万方数据 一道《美国数学月刊》征解题的初等解法 作者： 苏立志 作者单位： 黑龙江省大庆实验中学,163316 刊名： 数学通报 英文刊名： BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 2011,50(1) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxtb201101018.aspx