三位菲尔兹奖获得者访谈录

数学圈 三位菲尔兹奖获得者访谈录 Vicente Mufioz UIf Persson 原编者按 在2006年西班牙马德里举行的国际数学家大会上，安德烈 ·奥 昆科夫 (Andrei Okounkov)，陶哲轩 (Terence Tao)和文德林 ．沃纳 (Wendelin Werner)获得了菲尔兹 (Fields)奖 (格里戈里 ·佩雷尔曼 (Grigory Perelman)也 被授予此奖项，但他谢绝了)．这些与奥昆科夫，陶和沃纳的访谈是文森特 ·莫纳 茨 (Vicente Mufioz)和阿尔夫 ·佩尔森 (Ulf Persson)于 2006年秋通过电子邮件 进行的，最初于 2006年 12月发表在欧洲数学会通讯 (European Mathematical Society Newsletter1上 ． Andrei Okounkov访谈录 Moufioz＆ Persson(以下简称 “M&P”)：您是怎样对数学产生兴趣的? Okounkov：成为数学家最重要的东西是从老师那里学到的．我非常幸运，在Kirillov ) 的讨论班里成长，在它的参加者中我遇到了非常优秀的老师们，特别是Grisha Olshanski， 他们毫不吝惜 自己的时间和才华来解释数学，同时他们也耐心地伴随着我职业生涯的第 一 步．我不能想象没有他们我会成为一名数学家．所以就这方面而言，我的职业的形成 与其他人差不多． 也许有些不太寻常的是引我走向数学的道路．我没有上过特殊的学校，没有参加过 奥林匹克竞赛，而是经过学习经济学和在部队服役之后，才开始 (走上了数学之路)的． 在发表之前我已经有了自己的家庭．所以我现在的头脑可能不如早期有过数学训练 的人那样敏捷．但是比起少年时的同学，我可能也有一些优势，对于宇宙我的视野更为 宽广，同时关于数学在其中的位置，我也有更好的想法，这些有助于形成我自己的关于 “什么是重要的、美的以及有前途的等等”观点． 这也使得数学对我来说不那么具有竞争性．竞争是人类社会不断前进的动力之一， 竞争是无处、无时不在的．比如说，正是由于某种竞争的结果才有我们现在的访谈．但 是我认为它却分散了我们获得科学真谛——即理解我们的世界——的注意力． M ＆P：那么，您不认为竞争是做数学的最好方式? Okounkov：我想在数学的每个层面上都积极地倡导竞争是错误的，孩子们可能有些 过于较真儿地解难，然而成年人却把最终的价值放在“第一个”证明了什么．尽管第一 个完整的证明显然非常重要，但它仅仅是我们知识发展中的某个阶段．探索性的洞察经 原题：Interviews with Three Fields Medalists．译自：Notices of the AMS，Vo1．54(2007)，No．3， P．405—410． 1)Alexandre Aleksaadrovich Kirillov，1936～，俄国数学家，他在表示论，拓扑群和李群等方面有诸 多杰出的贡献．1962他在国立莫斯科大学作为 Israel Gelfand的学生获得科学博士学位，成为当 时苏联最年轻的科学博士学位获得者．在 1994年成为宾夕法尼亚大学的冠名教授之前他一直在国 ． 立莫斯科大学工作．—— 校注 ． 1 70 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 常先于对特定现象的理解，而且随后还有许多创造性的工作．成为第一固然令人兴奋， 但清楚的证明却总是最重要的． M ＆P：做数学问题时，您偏爱哪种方式：独立还是合作 ? Okounkov：从我以前说过的话，你可能会猜到我喜欢独立工作．我同样喜欢自由地 与人分享我的想法，也喜欢完善自己的文章和报告． 也许会有不同方式，但是我个人认为，如果没有经过反复的静思以及与朋友们的讨 论，一个人怎么可能会理解一些东西?当感到困惑不解时，我喜欢远足或骑 自行车．我 也喜欢独自看我的计算机演示公式或用编码做实验，但是当最终有了一个想法的时候， 我迫不及待地想与人分享．非常幸运，我能够与许多才华横溢的好朋友分享我的工作和 它所带来的激动． 而到了写作和表达的时候，难道每个人不应该尽力去解释清楚 ?如果自己理解的东 西只能作为没有用的神经细胞联络存在自己的大脑中，这难道不让人感到惋惜吗? M ＆P：您更偏爱解决问题还是发展理论? Okounkov：理论和问题我都喜欢，但是我最喜欢实例．对我来说，数学中到处都是 实例．我所感兴趣的不是富丽堂皇却空荡荡的大厦．记得我的老师 Kirillov曾经说过推广 一 个例子比专攻一个理论要容易些，也许他并不是百分之百认真地认为如此，但他的话 里有某种重要的真理．理解实例与计算能力有联系，过去伟大的数学家们能够做出令人 惊叹的计算，现在尽管计算方法和计算量已经有了巨大提高，但我担心这种技能却没有 得到足够强调和发展．任何新的计算，精确的或数字的，都可以是非常有价值的．做富于 挑战性的计算并使其正确的能力是理解的一种重要度量，这和证明的能力一样重要． M ＆ P：您的大部分工作都和物理有很深的联系，这是否意味着您发现数学和自然 界的联系极其重要?或者您认为数学从属于其它自然科学? Okounkov：前面说到 “我们的世界”时，我不仅仅指日常实践中可触摸到的实物． 素数和行星同样的真实，或者，在现在的情形下，我可以说天体和素数一样真实吗?在 其整个历史里，自然科学都是这样一些深刻而且富有挑战性的数学问题的不断源泉．我 们现在别再老生常谈这些问题明显且真实的重要性，来谈点别的什么，也就是和它们相 伴而来的丰富直觉．这种复杂的知识是一代代富有理解力的思想家们从大量的资料中提 取出来的，它经常十分数学化．任何人想要获得数学上的发现都需要一个问题和一个线 索，那么为什么不在自然科学中同时寻找这两者呢? 但这并不会使数学成为其它科学的附属物．在其它事情中，我们应用抽象的能力以 及利用我们所能想到的任何工具的自由—— 即便这些工具和我们手上的问题多么明显的 无关，再加上我们确确实实所知道的知识，就可以在更坚实的基础上建造得更高．您看， 普林斯顿大学和莫斯科大学的校园里，数学 (系)都是最高的建筑． M ＆P：大众普遍认为，计算机将使数学成为多余的东西，您觉得有这种危险吗? 特别的，您怎么看待计算机辅助证明?它应该受到欢迎还是指责? Okounkov：就象食品加工机不会威胁到厨师一样，计算机更不会威胁到数学家．随 着数学变得越来越复杂以及我们生活步伐的加速，我们必须把尽量多的工作交给机器来 ． 】7】 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 做，我指数字的和符号的演算．虽然有些人不要洗碗机也能解决问题，但是我想当定型 的工作自动化时证明会大为简洁． 这带来了一系列问题．我不是这方面的专家，但是我想我们需要这样一种具有代表 性的，以使得计算机的操作更易于用证据证明和验证．我们尊重自由市场，但也许 我们不应该依赖于 自由市场上的商业软件．一种开放性资源的项目，也许会给一些显而 易见的问题找到更好的答案，比如说可用性、病毒、落后的兼容性、独立平台和标准图 书馆等等．这方面可以学习 )和更专门的软件如Macalay2的成功经验．我也非常希 望基金部门会调查研究此事． M ＆ P：“通才”时代已经过去了．当前的数学非常多样化，同时大家常常陷入小专 业的困境，对此您有没有什么解决办法 ? Okounkov：数学是复杂的．虽然专业化不可避免，但是却解决不了问题．数学是一 个活的机体，不能简单地把它分割，所以我们怎样才能同时接受并抵制专业化呢? 我们能够成为更好的邻居．我们不应该用世故的语言架起高高的围墙，也不应该摆 出“你不会理解”的态度，而应该用尽可能简单的术语和最小的一般性来解释我们所了解 的东西，从而才可能看到相邻领域的作物并应用邻居们的成果． 良好的社会关系产生好的邻居．虽然有效的互联网络很难合成，但它可能是我们抗 衡数学分裂的最好希望了．对于我个人来说，如果没有同行朋友们的合作，什么也做不 了．我认为数学中肯定有一个在更大群体中工作的趋势，我相信这种趋势也将会继续下 去． Terence TaO访谈录 M ＆P：您是在什么时候开始对数学产生兴趣的? Tao：从我能记事开始，我就一直喜欢数学，尽管在不同的时期有着不同的原因．我 的父母告诉我，当我两岁的时候，我就开始教其他孩子们用数和字母积木计算了． M ＆P：您是受谁的影响而选择了数学? Tao：在成长的过程中，我当然读到过数学和科学中的许多名人，而且对 “发展是 怎样产生的”我也许有点过分浪漫的看法，例如， E．T．Bell的 数学人物 (Men of Mathematics)就对我产生了影响——虽然现在我认识到这本书中的很多故事都过分地戏 剧化．但是对我职业选择影响最大的人，却是我的导师们，特别是我大学时的导师Garth Gaudry和研究生导师 Eli Stein 21． M ＆ P：知道自己获奖的时候，您有什么感想 ? Tao：在得到正式的前几个月，我就已经听到了一些关于我得奖的传闻，这意味 1)TsX是由斯坦福大学计算机科学系退休教授 Donald E．Knuth于 20世纪80年代创编的计算机软 件，现广泛应用于全世界数学界以撰写数学论文、专著等。求得数学公式的漂亮表示．—— 校注 2)Eli Stein，全名 Elias Menachem Stein，1931年 1月 13日出生于比利时．现为普林斯顿大学的 Albert Baldwin Dod数学教授．1955年他在著名数学家Antoni Zygmund指导下于芝加哥大学获 得博士学位．Stein在调和分析领域中有诸多建树。亦获得诸多奖项，其中包括 1999年度的沃尔 夫 (Wolf)数学奖．Stein共培养了至少44名博士生，其中Charles Fefferman与 Terence Tao为菲 尔兹奖得主．—— 校注 ． 172 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 着我可以如实地在这些传言得到证实之前否认它们．当然得到正式的通知仍然是个很大 的惊喜，同时在马德里的颁奖仪式在各方面都是让人陶醉的经历． M ＆P：您是否认为菲尔兹奖的获得会给您施加过高的期望，从而会阻碍您的发展? Tao：是，也不是．一方面，得这个奖能够证明自己确实可以取得一些成果，因此这有 助于我能够自由地工作于更长期或更具风险的项目．另一方面，由于获奖者的工作和观 点在其他数学家中会有些分量，所以必须更加小心地选择做哪些问题，因为这会有些风 险，可能把年轻数学家们带到一个没有最初所期望的那么多成果的方向去工作．我的哲 学是只管做手边的问题而不管其是否被认可，也不考虑其它的事．数学是一个发现的过 程，因此无法预知，一个人不可能对他的职业生涯做出合理曲规划，也就是说不可能 在接下来的几年里选择某些未决问题 (虽然有明显的例外，比如说 Wiles和 Perdman长 年分别对费马大定理和 Poincar~猜想的攻克)．因此，我并非有机地从事我的研究，只是 在自己所了解的技术的刀刃上寻找一些问题来做，而这些 题的结果可能是有意义的、 并且可能产生新的工具或导致新的问题． M ＆P：您是否感到有必须很快取得一些成果的压力? Tao：很幸运我工作的领域可做的问题比做问题的人要多，因此很少需要争抢任何特 别的问题 (尽管偶尔也有这样的事会发生，但经常会通过比如合作文章的方式和平地解 决)．但另一方面，我的大部分工作是与其他合作者共同完成的，所以我有责任去完成和 他们共同开始的项目．(有些项目已经持续了6年多还没有完成 !)事实上，对我来说，必 须完成合作工作的 “压力”是我的巨大动力，这要比增加发表文章单子长度的一般动机要 大得多，因为正在做的工作涉及到人们的面子． M ＆ P：当攻克一个问题的时候，您有什么偏好 ? Tao：这要看问题而定．有些时候，我只想展示对一个概念的考验，即某种想法至少 在一个简单的框架中是有效的；在这种情况下，我会写一篇尽可能简短的文章，而把扩 充和推广留给其他人去完成．在另外一些情况，我想完整地解决一个主要问题，因此希 望文章非常系统、详尽和完美，从而会花很多时间集中精力于确保其正确无误．我通常 合作写文章，但是合作的风格随合作者的变化而变化；有时候文章在最后完善之前，会 在我们之间交换几次，否则我们会选定一个作者来写出文章的主要部分，而其他人只做 一 些改正和建议． M ＆ P：您有没有在某个问题上花费大量的时间? Tao：如果有个问题我应该能够解决，但是不知为什么被拦住了解不出来，确实令人 很烦恼，我会不断回到那个问题并尽力去解决它． (还有无数没有解决线索的问题，但这 些一点也不会困扰我)． M ＆P：您更偏爱解决问题还是发展理论? Tao：我想说从根本上我喜欢解决问题，但这是为建立理论服务的．首先，为了找到 解决问题的正确框架，需要建立一些理论，其次，一旦问题得到了解决，这就意味着更大 理论的开始 (反过来这会提醒我们注意其它一些典型问题来充实那个理论)，因此解决问 题和建立理论两者是携手并进的 ——尽管我倾向于先考虑问题而后再勾画出理论． ． 】73 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 不管理论还是问题，它们都是试图概括数学现象的．例如在分析理论中，一个关键 的问题是：对一个运算的输入的控制在多大程度上决定其输出的控制；比如给出一个线 性算子 ，是否输入函数 ，的范数的界蕴含着输出函数 ，的范数的界．我们既可以提出 具体问题 (确定算子及其范数)，也可以通过建立一个理论，譬如说赋范向量空间上的有界 线性算子理论来着手处理这个问题．两种方法各有其优点和缺点，但是为了取得最大的 进展，需要把两者结合起来． M ＆ P：物理直觉在您的工作中有多重要? Tao：我发现物理直觉非常有用，特别是关于 PDE(偏微分方程)．在我能够猜出波将 怎样变化之前，我需要考虑它，并关于它的频率、动量、能量等有一些想法，接下来我当 然要用严格的数学分析来证明波的这种变化．要在一个问题上有所进展，就必须在直觉 和严格性之间不停地转换，否则的话，就好象是把一只手绑在了背后． M ＆P：什么样的观点有助于攻克问题? Tao：我发现把一个问题或论证中的各个数学部分拟人化很有帮助，比如称一些术语 “好”或 “坏”，或者称某个对象 “想要”表现某些行为等等，这使得我们能够利用更多的智 力资源 (超出人类大脑中通常的抽象智力部分)来处理问题． M ＆P：许多数学家都是柏拉图主义者 一 尽管许多数学家可能没有意识到，而其 他一些勉强承认．更 “世故”的方式是称这只是一种形式上的游戏．对此您有什么看法? Tao：我认为我既是形式主义者又是柏拉图主义者．一方面，数学是我们所知的试图 形成对概念及现象的看法和理解的最好方式之一．理想地说，我们希望直接地处理这些 概念和现象，但这需要许多洞察力和智力的训练．而数学中形式主义的目的，我想就是 训练人的头脑 (过滤出不好的或不可靠的直觉)使其能达到这种理想．另一方面，我觉得 形式主义者的方法是达到柏拉图式理想的一个好途径．当然，其他发现数学的方法也非 常重要，比如说启发式法和直觉推理等一 尽管它们没有形式主义的严格，从而过于不 可靠以致于对它们自己也没有用． M ＆P：现在纯粹数学和应用数学之间是否有很大的分隔? Tao：纯粹数学和应用数学都是有关应用的，只不过它们有着非常不一样的时间框 架．为了解决一个应用问题，现在一些应用数学将会运用来自于纯数学的成熟思想；同 时一些纯粹数学将会产生出新的思想或新的灵感，如果这个灵感是个好的想法，它将很 可能会导致大概未来 10年或 20年后的应用．比如说，对于动力学的哪些部分最重要以 及怎么控制它们的问题，关于某个偏微分方程稳定性的一个理论结果会给其提供一些想 法，而这可能最终会启发出一个有效的数字方案，并用计算机来解这个偏微分方程． M ＆ P：数学经常被描述成一种组合推理游戏．如果真是这样，那它怎么和游戏区 别，比如说国际象棋? Tao：我把数学看成是一种非常自然的游戏，或者相反的，我把游戏看成是一种非常 人为的数学．我们当然可以把数学问题看成是和一些对手的游戏来解决这些问题 ——这 些对手通过用最可能阻挠的方式选择参数等等来设法推翻你想证明的结果．但是，除了 游戏是人为构造的、而证明数学问题的挑战有自然产生趋向的事实之外，我看不到这两 ． 】74 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 种活动有任何根本的区别，比如说既有无聊的游戏和严肃的游戏，也有无聊的数学和严 肃的数学． M ＆P：您用计算机来证实一些结论吗? Tao"我所工作的大部分数学领域都还没有接受系统的计算机辅助，这是因为它们所 用的代数仍然过于复杂以致不能简单地形式化，而且它们所需的数字工作 (比如模拟偏 微分方程)的计算还太昂贵．但这种情况将来可能会有所改变，现在已经零星出现了一些 严格的计算机验证，例如关于谱隙等，而分析理论的某些论证正需要这些． M ＆P：从您的观点来看，计算机辅助证明可以接受吗? Tao：一个证明如果能够被其他任何有着差不多计算能力的人用容易懂的方式来验 证，这当然非常重要．假设情况如此，我想符合要求的证明，应该是计算机部分的证明仅 仅证实了一些预料中的、不令人吃惊的现象 (例如，一些方程偶发 (sporadic)解的缺乏， 或者一些服从一组温和条件的参数的存在性等)，而不是证明了一些真正不寻常的、无法 解释的东西，这些需要比人类更高的理解分析能力．但是特别的，如果在证明中计算机 辅助断言已经有一个坚固的实用基础，那我想用计算机来严格地建立这些断言没有任何 问题．当然，同时寻找人类可读的证明也很有价值． M ＆ P：数学是不是正在变为一个非常分散的知识领域? Tao：当然数学非常快地扩展着，这使得不可能再有象 Poincar~和 Hilbert那样的通 才．但另一方面，在简单化和直觉力方面有了极大的进展，因此在 20世纪早期非常神秘 的数学现在显得很一般 (或者更普通的，数学中的几个困难的部分已经统一成一个单一的 困难，这极大地减少了数学的整体复杂性)；同时也出现了一些一般的探索方法和主题， 它们能够相当简明地描述大部分的数学，比如，从局部控制到整体控制的主题，或者用 其函数及截面而不是用它的点来描述空间的观点，这些使得在 Poincar~和 Hilbert时代 搞不清楚的题目如今清楚易懂．因此我依然相信将来数学仍然是一个统一的学科，尽管 我们理解它的方式可能会有极大的改变． M ＆P：您预计数学的哪些领域会变得重要?也许不那么确定地，哪些会逐渐消失? Tao：我想数学中的任何好的部分实际上都不会被废掉；它可能被并入一个更一般的 或更高效的工作框架，但它仍然存在．我想在接下来的几十年里，数学的特征将是：它的 完全不同领域之间的跨学科的综合，重点将不再放在每个领域的尽可能深入地发展 (尽 管这当然仍十分重要)，而放在把各个领域的工具和想法结合起来去攻克以前被看作不可 及的问题上．现在我也看到了形式主义和直觉之间平衡的恢复，因为前者在大约上个世 纪的发展要比后者多的多 ——尽管直觉在最近几十年已得到了复兴． M ＆P：关于随机性的定义有很多，您认为有没有一个令人满意的考虑它的方式? Tao：在数学的许多领域，我确实看到了结构和随机性所显现出的对立，但是定义和 区分这些概念的精确方法在不同领域中有极大的不同．有些情况下，是与计算机有关的 结构和随机性起决定性作用，有些情况下，是关于结构和随机性的统计的 (基于相互关系 的)或遍历的概念起决定作用，而另外一些时候，仍然是Fourier式的展开起决定作用．对 于结构和随机性的概念到底是什么，我们还没有一个恰当的公理化工作框架 (相反地，关 ． 175 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 于可测性、收敛或乘法等的公理已得到充分的了解)．我感觉这样的框架最终将会存在， 但现在找到它的时机还不成熟． M ＆P：如果没有成为数学家，您会考虑什么职业? Tao：我想如果我没有成为数学家的话，可能会进入其它一些具有创造性的、解决问 题的自由职业 ——尽管很难想出一个能够和我从数学中获得的满足感相当的职业． Wendelin Werner访谈录 M &P：您过去一直都对数学感兴趣吗? Werner：从能记事开始，数学就总是我在学校里偏爱的话题，而且在童年时代我也 相当的热衷于棋类游戏 (也许这就是为什么我现在工作于二维问题的原因)．小的时候， 当有人问我知不知道以后想做什么的时候，我的回答是 “天文学家”．在高中时，仅仅由 于巧合，我得以在一部电影中演出并有机会在这一领域继续发展，但是我清楚地记得我 从来没有认真地考虑过那些，因为我更偏爱成为一名科学家 ——尽管那时我还不知道这 真正意味着什么．当到了真正选择一个学科的时候，我想我意识到了数学可能离我喜欢 的天文学 (无穷性，等等)更近一些． M ＆P：您是否很早就知道了菲尔兹奖?它有没有在哪些方面激励您?特别是当您 知道自己获奖的时候，您有什么想法? Werner：我很晚才知道有菲尔兹奖 (大概在大学毕业时)．事实上，我记得当我告诉 一 些朋友我准备专门研究概率论时，他们半开玩笑半认真地告诉我“如果你做这个的话， 永远也不可能获得菲尔兹奖”(确实，在那之前，这一领域还从来没有得到过承认)．当然今 天获得这个奖感觉非常好，但是也非常奇怪：我确实没有感觉到和其他数学家有什么不 同或者比他们 “更好”，单挑出一个象这样的情况，几乎让人羞愧的是还存在着许多没有 得到足够承认的卓越的数学家．这给了我很大的责任，现在我将不得不在每次说话的时 候都非常小心 (甚至现在)．不过再一次说，工作得到认可非常好，我非常高兴．我也把这 看作是对我的合作者 (Greg Lawler和 Oded Schramm)的认可以及对 “概率论是现代数学 中的一个好的且重要的领域”这一事实的认可． 我想在5月下旬当我从 John Ball那里知道得奖的消息并挂上电话后，这些感受和想 法就出现在脑海里了．我知道自己有得奖可能，尽管如此，这消息还是让我吃了一惊． M ＆P：有没有让您特别钦佩的数学家? Werner：我不是数学史方面的专家，但是我发现 19世纪伟大的数学家们 (Gauss， Riemann，⋯ )做出的工作令人惊叹 —— 和这些伟人相比我感觉自己就象一个侏儒．我 也非常尊敬那些把概率论塑造成今天这个样子的人 (仅提其中的一小部分，比如 Kyoshi It6，Paul Ldvy,Ed Harris，Harry Kesten等 ))．我也十分感谢那些仅比我稍大一辈的概 1)Kyoshi It6，伊藤清，1915．9． 一，著名的日本数学家．于 2006年获得在国际数学家大会上首次颁发 的高斯奖．详见 《数学译林》2006年第 3期 “在 ICM2006上颁发的菲尔兹奖、奈旺林纳奖和高斯 奖”．Paul L~vy,1886—1971，法国著名数学家，1963年成为伦敦数学会名誉会员．Ed Harris，全名 Theodore Edward Harris，1947年在普林斯顿大学获得博士学位．Harry Kesten，1958年于康奈尔 大学在 Mark Kac指导下获得博士学位．2001年获美国数学会颁发的作为终身成就奖的Steel奖， 以表彰他 “对于概率论及其应用方面众多和深刻的贡献’．—— 校注 176 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 率论学者们 (例如这只要看看诸如 Lo~ve奖获得者的名单就知道了，我也感到十分荣幸 能够列在那个名单上)，他们开启了很多大门． M ＆ P：您是否担心菲尔兹奖会对您未来的工作带来过高的期望，从而阻碍您的工 作? Werner：确实就某个方面而言，这个奖对未来发表好的工作带来了压力，而且可能 要接受比以前更细致的审查．但另一方面，它给了我很大的自由去考虑困难的问题，也 使我能够慷慨地给博士生们更多的时间和想法等等．我们将会看到情况会怎样． M ＆P：如您所言，您选择的学科以前从没有获过这个奖，这是不是因为它被看作 是 “应用数学”?您愿意称自己是 “应用数学家”吗? Werner：概率论被看作是应用数学的一部分已经有很长时间了，这可能是因为一些 行政上的原因 (在美国，概率论专家经常在与数学不相关的统计部门工作)．这也可能已 经导致了这一领域的多少有些孤立的割裂发展．现在大家认识到了概率的思想和数学其 它领域之间有多么大的相互作用，而且这种习惯性的 “应用”观念也正在逐渐消失 (即使 概率确实能够以多种方式有着成果丰富的应用)．在某种程度上，我所工作的领域由于复 分析和概率论思想的结合确实已经得到了促进 (比如说 Schramm的想法：在概率论的背 景下用 Loewner方程来理解共形不变系统)．我个人从来不觉得我在做 “应用”的数学． 我们确实是在应用来自于物理的思想、直觉和类比以帮助我们获得一些关于我们工作中 概念的直觉．布朗运动就是这样一种数学概念，它能够引起我们的共鸣、给我们某些直 觉，并激励我们． M ＆P：通过提供计算机化的证明，计算机会不会有使数学家成为过时的风险?或 者您是否认为这反而会刺激数学的发展? Werner：我的一个兄弟的工作正好是计算机生成或计算机检验证明，我必须小心地 说话，特别是因为关于这方面的知识我知道的很少．除了用 以及花很多时间来收发 电子邮件以外，我个人在工作中并没有真正地使用计算机．在不久的将来，在帮助人们 理解和提供一些事情的证明上，计算机很可能比现在更有效，过去的这些年已经显示， 看起来多么不可及的事情最终由于计算机的辅助而成为了可能． M ＆ P：除了数学，您还有任何其它的爱好吗? Werner：我经常去听音乐会 (古典音乐)和拉小提琴 (虽然是非专业水平)．我经常 听到人们说：“是的，数学和音乐是多么相似，这就是为什么许多数学家也是音乐家的原 因．”我认为这种看法仅部分地正确．我无法忘记许多小时候和我一起玩音乐的同伴们， 他们在成年后不得不放弃音乐，原因是他们的专业使他们没有任何时间和精力来继续演 奏他们的乐器：医生们的工作时间经常比我们长．音乐与数学之间很和谐，因为 ——至 少对我如此 一 一天内很难专注于一个问题超过 4—5个小时，而音乐是一种很好的补 充活动：它不会往大脑中填充其它对数学分散注意力的东西和问题．一般在与人谈论过 非数学方面的事情后，很难去做数学，但是在练习过一个小时的小提琴后，却会有一个 很好的精神状态． 但这也是一个更加个人化的感觉， (下转 116页) ． 177 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 但 1980年代末数学家们遇到麻烦，“人们尝试手动计算，但毫无所得”，耶鲁大学数 学家 Gregg Zuckerman(他不是此新项目的成员)说，“我说的是这个领域里最出色的人 ” 因此Zuckerman以前的学生，马里兰大学的Jeffrey Adams提议使用计算机来计算， 他和同事们着手进行一项研究，题目是：“李群及其表示分析系统”，为了证明他们的计算 工具的威力，他们就拿 做试验，正如描述 2维球面需要 3个维数那样，要描述 57维 形态需要 248个维数． 项目成员，麻省理工学院的David Vogan今天在麻省理工学院宣布了这项工作，其 中发现了 的表示之间的许多关系．Adams说：“这可以说是 的基因．”“这是包含理 解 及其表示所需要的 ‘全部信息’．” Zuckerman说：“今天的消息对所有研究李群的人都是个极大的鼓舞．”“你们在谈论 的是纯数学中最重要的发现．” Vogan在今年 1月这项工作完成后发给同事的电子邮件中写道：“这与我以前曾做过 的研究完全不同．” Adam s说，最大的挑战是找到具有足够大内存的超级计算机来执行这个任务，研究 小组最后找到的是华盛顿大学一台名为 Sage的机器，这台计算机的内存是 64G．Adam s 告诉我们，下一步工作同样困难，要对 E8的45万多个表示分别做计算，以确定其中哪 些是数学家们特别感兴趣的那种表示． 数学家利用计算机解决棘手问题这已不是第一次，2005年，美国的 《数学年刊》发 表了一篇文章，其中借助计算机，证明了Kepler猜想 (这个猜想是关于怎样堆球最有效)， 《数学评论》的评论员花了4年时间检查文中的程序代码，但最后只能放弃而未能完成． 专家们说，李分析工具的结果验证会容易一些，因为数学家们在 自己的研究中会用 到这些结果．普林斯顿大学的数学家 Peter Sarnak说：“这里结果本身对专家和用户都非 常有用，这些结果必须满足许多相容性条件．”“很想看到正式的软件，也希望软件易于使 用．” (潘建中 译 剥、斌勇 校) 木木木木木木木木木木木木木木木木木丰木 木木木木木木木木木木木木木木木木木 木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木 木木木 木木木 木木木 木木木 木木木木丰 (上接 177页) 我想这些年来我在音乐中寻找的东西变得越来越不那么抽象和分析，却 越来越多的是关于感情 ——这使得它与数学的关系更加淡化了 ⋯ 但是我还应该指出的是，就我所看到的，数学既是抽象的理论同时也非常地有人情 味：当我们工作于一个数学想法的时候，我们做这个工作在某种程度上是因为我们喜爱 它们，因为我们发现它们里面的某些东西能和我们产生共鸣 (由于各种原因，每个人都是 不同的)．数学并不是一个和情感世界隔离的枯燥的学科，向不做数学的人解释这些并不 容易，因为对于他们而言，这个领域只是数字计算及解方程． (张会平 译 陆柱家 校) 116 维普资讯 http://www.cqvip.com