5 梁弯曲时的位移

null第 五 章 梁弯曲时的位移第 五 章 梁弯曲时的位移§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角§5-2 梁的挠曲线的近似微分方程及其积分§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角第五章 梁弯曲时的位移 *§5-4 梁挠曲线的初参数方程§5-1 梁的位移--挠度及转角§5-5 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施§5-6 梁内的弯曲应变能null§5-1 梁的位移—挠度及转角 若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工作的平稳性。一、工程中的弯曲变形问题null若变形过大，不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动不平稳，磨损加快，而且还会严重地影响加工精度。 又如，车床主轴： null又如，如图所示轮轴： 若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工作的平稳性等。 null但有时又有相反要求，要求构件有适当变形，才能符合使用要求。如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。二、弯曲变形的量度－－挠度和转角 原为直线的轴线AB弯曲成光滑而连续的曲线， 该曲线称为该梁的挠曲线； 在对称弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的 平面曲线。 也称弹性曲线。null竖直位移 w 称为挠度，取向下为正。横截面的转角，和挠曲线在该截面形心处的切线与x 轴的夹角相等。挠曲线方程：任意截面形心C三位移：水平位移△x，竖直位移△w角位移，忽略 = w角位移 θ 称为转角，顺时针方向为正。反之为负null§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分前一章已得到：纯弯曲梁横力弯曲梁（近似）任意曲线曲率一、挠曲线近似微分方程null二、用积分法求梁的变形通过积分求弯曲位移的特征：1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对 称弯曲。2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连 续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相 应地分段积分。3、积分常数C、D由位移边界条件确定。null确定积分常数的边界条件包括约束条件和连续性条件。约束条件: 固定端：w＝0；θ＝0；铰支座：w＝0；弯曲变形的对称点：θ＝0。连续性条件: 挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值null[例5-2-1] 画出下列梁的挠曲线大致形状。AmmCBLL解: ① 建立坐标系并作弯矩图∴ w上凸同时B处须满足连续光滑条件，即曲线与直线在B点相切。∴ w=0null[例5-2-2] 等截面直梁，其挠曲线 ，长度为l，确定梁的载荷、支撑情况。故可确定其为悬臂梁。解:① 作弯矩图、剪力图null[例5-2-3]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。解：(1) 求支反力，列弯矩方程(2) 建立挠曲线近似微分方程，并积分(3) 利用边界条件确定积分常数null(5) 求最大值 (4) 求转角方程、挠度方程弯曲变形的对称点：θ＝0。null[例5-2-4] 用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。解：(1) 分段写弯矩方程(2) 分段建立挠曲线近似微分方程，并积分null(3) 确定积分常数约束条件:连续性条件:(4) C截面的挠度和转角AC段：AB段：null叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。应用叠加原理条件：小变形，服从虎克定律。* 附录Ⅳ§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角[例5-3-1] 用叠加法求C点挠度。=+[例5-3-1] 用叠加法求C点挠度。解：① 简单载荷引起的变形② 叠加附录Ⅳ第10行附录Ⅳ表第8行Fnull[例5-3-2] 用叠加法求C截面的转角和挠度。解：(1) 假设CA段为刚性，研究简支梁AB的变形所引起的C截面的转角和挠度ABC(2) 假设AB段为刚性，外伸段CA看作悬臂梁：附录Ⅳ表第2栏附录Ⅳ表第6行(3) 叠加法求C截面的挠度和转角null2aABq[例5-3-3] 用叠加法求中点C挠度和梁端截面B的转角。CDE2l解： C为对称点，故C截面的转角为0。附录Ⅳ表第 2 栏在RB作用下：附录Ⅳ表第 4 栏在 q 作用下：null叠加：2aABqCDE2lnull一、梁的刚度校核 2 截面1 刚度校核3 确定许可载荷 §5-5 梁的刚度校核 · 提高梁的刚度的措施刚度条件：[例5-5-1] 一空心圆杆，内外径：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C点的[w/l]=0.0001，B点的[ ]=0.001弧度，试核此杆的刚度。[例5-5-1] 一空心圆杆，内外径：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C点的[w/l]=0.0001，B点的[ ]=0.001弧度，试核此杆的刚度。+解：⑴用叠加法C 截面挠度和B 截面转角=null(2)校核刚度刚度条件满足。null挠曲线近似微分方程：转角方程挠度方程C、D —积分常数；由边界条件和连续性条件确定。二、提高弯曲刚度的措施刚度条件：null1 选择合理的截面对于面积相等的不同形状的截面，工字形、槽形、T形截面比面积相等的矩形截面有更高的弯曲刚度。说明：各种钢材的弹性模量E大致相同，故采用高强度钢材不能提高弯曲刚度。选择I/A较大的截面null2 改善梁的受力情况 （1）合理安排梁的约束，减小梁跨。null（2） 改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。null应变能等于外力功。不计剪切应变能§5-6 梁内的弯曲应变能[例] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。[例] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能利用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？null轴力FN扭矩T内力分量弯矩M,剪力FS正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分布规律正应力与中性轴距离成正比切应力沿截面高度呈抛物线应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态null强度条件变形轴向线应变单位长度扭转角挠曲线曲率截面位移轴向线位移扭转角挠度与转角null刚度条件变形刚度条件变形刚度条件位移刚度条件应变能null第五章 梁弯曲时的位移结 束