1.3克拉默法则

1.3 克莱姆法则 （n个n元线性方程组解的讨论） 引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数 行列式 0D 时，方程组有唯一解， )3,2,1(  i D D x i i 含有n个未知数，n个方程的线性方程组，与二、三元线性方 程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。 Cramer法则： 如果线性方程组 )1( 2211 22222121 11212111           nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa     的系数行列式不等于零， nnnn n n aaa aaa aaa D     21 22221 11211  0即 .,,,, 2 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n n   其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 j D D j n nnjnnjnn njj j aabaa aabaa D    1,1,1 11,111,111    则线性方程组(1)有唯一解， ：                njnnjnnnnn jjnn jjnn AbAxaxaxa AbAxaxaxa AbAxaxaxa     2211 2222222121 1111212111   得个方程的依次乘方程组 列元素的代数余子式中第用 ,1 ,,, 21 n AAAjD njjj  再把 方程依次相加，得 n , 1 11 1 1 1                        n k kjk n n k kjknj n k kjkj n k kjk Ab xAaxAaxAa  由代数余子式的性质可知,  njDDx jj ,,2,1  D D x D D x D D x D D x n n  ,,,, 2 3 2 2 1 1  于是  2 当 时,方程组(2)有唯一的一个解 0D 上式中除了 jx 的系数等于D, 其余 )( jixi  的系数均等于0，而等式右端为 jD 由于方程组(2)与方程组(1)等价,所以 .,,,, 2 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n n   也是方程组的(1)解。 注: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2. 理论意义：给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。 3. 撇开求解公式 , D D x j j  Cramer法则可叙述为下面定理： 定理1： 如果线性方程组(1)的系数行列式 则(1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2： 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解， 则它的系数行列式必为零. 0D           nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa     2211 22222121 11212111 线性方程组 不全为零,若常数项 n bbb ,,, 21  则称此方程组为非齐次线性方程组。 ,,,, 21 全为零若常数项 n bbb  此时称方程组为齐次线性方程组。 非齐次与齐次线性方程组的概念:  2 0 0 0 2211 2222121 1212111           nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa    齐次线性方程组 易知， 0 21  n xxx  一定是(2)的解， 称为零解。 若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。            0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa     有非零解. 系数行列式 0D 定理3： 定理4： 如果齐次线性方程组有非零解， 则它的系数行列式必为0。 如果齐次线性方程组的系数行列式 ,0D 则齐次线性方程组没有非零解。 | | 0, ; | | 0, | | 0, | | 0 i i m n A AX O A D A x AX b D A             综上所述,（ 时）我们有 若 它只有唯一的零解 对齐次线性方程组 它有非零解，则 若 它有唯一解 对非齐次线性方程组 它无解或两个不同的解，则 例1 用克拉默则解方程组            .0674 ,522 ,963 ,852 4321 432 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 解 6741 2120 6031 1512     D 21 2rr  24 rr  12770 2120 6031 13570     1277 212 1357     21 2cc  23 2cc  277 010 353     27 33    ,27 6740 2125 6039 1518 1     D ,81 6701 2150 6091 1582 2     D ,108 6041 2520 6931 1812 3   D ,27 0741 5120 9031 8512 4     D ,27 ,3 27 811 1  D D x ,4 27 1082 2    D D x ,1 27 273 3    D D x .1 27 274 4  D D x 例2 问 取何值时，齐次方程组             ,01 ,032 ,0421 321 321 321 xxx xxx xxx    有非零解？  解        111 132 421 D        101 112 431           3121431 3     3121 23   齐次方程组有非零解，则 0D 所以 或 时齐次方程组有非零解. 20   , 3 P27-2 先把n+1个不同的根设出来，再利用所得的范 德蒙行列式不等于零及克拉默法则可证得。 ( ) 1 ,( 1,2,..., 1, ( ))i i jf x n x i n x x i j    设 的 个不同的根为 且 2 0 1 1 2 1 1 2 0 1 2 2 2 2 2 0 1 1 2 1 1 0 0 0 n n n n n n n n n c c x c x c x c c x c x c x c c x c x c x                       则有 2 01 1 1 2 12 2 2 2 2 1 1 1 01 01 0 0 01 n n n nn n n cx x x cx x x c cx x x                                                即 系数矩阵对应的行列式为范 德蒙行列式D 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 11 2 1 1 1 ( ) 0 ( ) n T n j i j i n j i nn n n x x x x x xD x x x x xx x             由克拉默法则知，该齐次线性方程组只有唯一零解。 即 0 1 0 ( ) 0nc c c f x      1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 4.小结 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 思考题解答 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.