数学建模A题答案

第 24 卷 第 11 期 农 业 工 程 学 报 Vol.24 No.11 2008 年 11 月 Transactions of the CSAE Nov. 2008 193 基于多维分形的铜陵地区土壤中 Pb 元素空间分布 李湘凌 1 ，白晓宇 1 ，袁 峰 1 ，周涛发 1 ，陈兴仁 2 ， 陈永宁 2 ，陈富荣 2 ，贾十军 2 （1．合肥工业大学资源与环境工程学院，合肥 230009； 2．安徽省地质调查院，合肥 230009） 摘 要：克里格插值法的平滑作用使其无法反应空间分布的奇异性。该文将多维分形地统计学方法应用于铜陵地区土壤 中 Pb 元素的空间分布研究中。通过将克里格插值法与多维分形方法的结果进行对比发现，该地区土壤中 Pb 元素有较强 的空间自相似性，多维分形方法合理地强化了局部区域的估值结果，可以较好的达土壤元素空间分布的局部奇异性。 多维分形方法可以广泛应用于土壤元素空间分布的研究，尤其是矿区土壤重金属元素空间分布的研究。 关键词：土壤，多维分形，Pb 元素，克里格法，铜陵 中图分类号：P595 文献标识码：A 文章编号：1002-6819(2008)-11-0193-04 李湘凌，白晓宇，袁 峰，等. 基于多维分形的铜陵地区土壤中 Pb 元素空间分布[J]. 农业工程学报，2008，24(11)： 193－196. Li Xiangling, Bai Xiaoyu, Yuan Feng, et al. Spatial distribution of soil Pb in Tongling area based on multi fractal method[J]. Transactions of the CSAE, 2008,24(11)：193－196.(in Chinese with English abstract) 0  引 言 在土壤元素空间分布的研究中，将离散的点数据转 变为连续的面数据常使用空间插值方法 [1] 。在众多插值方 法中，克里格插值法是最常用的方法，其无偏性及最优 性特点使其能提供较为精确的估值 [2] ，但由于它的低通滤 波性，使得对于局部的奇异性往往不能正确的反映 [3] 。而 在区域尤其是矿业经济区土壤元素环境评价中，局部奇 异区域的空间分布更加值得关注，多维分形地统计学方 法正是描述局部奇异性的有力工具 [1] 。近年来，国内外专 家利用分形插值方法在矿产勘察、地震资料储层参数建 模、环境地质、图像压缩等领域取得了积极的成果 [1,3-10] ， 并结合各自领域特点拓展改进了分形方法。这为多维分 形插值法在土壤元素空间分布研究中的应用提供了很好 的思路。 铜陵地区是中国重要的矿业经济区，矿床的开采、 勘探、开发程度较高 [11,12] ；与此同时，矿产资源开发利用 导致的土壤重金属元素污染问题也日益严重 [13,14] 。因此， 对铜陵地区土壤重金属元素空间分布的研究，尤其是异 常值区域的识别对该区土壤元素污染的评价及防治具有 重要意义。本文采用多维分形方法研究铜陵地区土壤中 Pb 元素的空间分布特征，并与传统地统计学方法的克里 格插值方法进行对比。 收稿日期：2007-05-17 修订日期：2008-10-27 基金项目：安徽省科技攻关项目(08010302200)；安徽省优秀青年科技 基金项目（08040106907，04045063）；中国地质调查局项目（2004-012） 资助 作者简介：李湘凌（1969－），女，四川遂宁人，副教授。合肥 合肥工业 大学资源与环境工程学院，230009。Email ：lixiangling_hfut@126.com 1 样品特征与研究方法 1.1 Pb 元素性质 Pb（铅，Lead）是一种对植物有积累性危害的污染 物质，它可以在土壤中残留、富集，并可被作物吸收， 进入食物链，危害人体健康 [15] 。Pb 的污染源主要是矿区 冶炼厂、蓄电池厂、油漆厂。四乙基铅作为汽油防爆剂 使用，可使汽车排放尾气的铅含量很高，是公路两侧农 田铅的污染源。 1.2 样品特征及数据处理 本文的土壤Pb元素含量数据来源于安徽省地质调查 院“安徽省江淮流域多目标区域地球化学调查”资料， 土壤样品为较稳定地块的表层土壤，按间距为2 km网格 采样所得，覆盖铜陵地区所有矿床。 对样品进行异常值剔除，使其服从对数正态分布， 所得样品数为201个，Pb元素含量范围在1～500 μg/g之 间，样品概略位置及研究区域如图1所示。 图 1 研究区域及土壤采样点分布图 Fig.1 Study areas and soil sampling locations 194 农业工程学报 2008 年 1.3 研究方法 1）克里格插值法 克里格插值法由 Krige（1951）提出[16]，最初用于矿 产估值，后来广泛应用于水文、地质、气象、环境等方 面。在地统计学方法中，空间一定距离内的相关性和变 异性由半变异来表达： })]()({[),( 2hxZxZEhx  式中 ),( hx ——距离与位置的函数，度量距离该点 h 处的空间变异性。良好的半变异函数能正确反映研究区 域的空间结构性，同时也是克里格插值法精确估值的保 障。但半变异函数所反映的是研究区域整体所具有的结 构性，例如地球化学作用所产生的元素分布背景的结构 性。对于局部区域由于地质作用所产生的元素贫化、富 化，或人为造成的污染，半变异函数则不能完全反映。 加之克里格插值法的低通滤波性 [2] ，使得样本中数值较高 的点被赋予较低的权重，造成数据的平滑，同时也会使 原本较高的点出现低估。 2）多维分形方法 多维分形理论是目前研究十分活跃的一门新兴学 科 [17] ，如果说分形理论是研究具有自相似性的不规则几 何问题的，那么多维分形将主要运用于定义在几何体上 (包括分形几何体)具有自相似或统计自相似性的某种度 量或者场，比如岩石、土壤中微量元素的含量。多维分 形理论与统计方法的关系表明，通常的统计方法只能描 述地球化学元素围绕均值周围的变化规律，为了更有效 地研究地球化学元素异常值的分布规律，必须采用多维 分形和高阶矩统计方法 [15] 。统计方法不仅要考虑元素的 含量值以及含量值的频率分布，而且要考虑异常的空间 形态和随度量尺度的变化性，Cheng（1999）提出一种多 维分形方法 [18] ，将这些特征有机地结合在一起，同时还 能保持和增强数据的局部结构信息。该方法的实质是在 滑动平均加权的基础上加入了奇异性因子，其为： )()()( ),( 0 2)( 0 0 0 xZxxxZ x x        式中 ε——分形尺度；α(x0) ——x0 处的奇异性指数； ——滑动平均加权的权系数。它具有这样的特点：如果 是背景场和非奇异场时，α(x0)=2，那么通过该方法所计 算的加权平均值与通常的加权平均相同；而当处于含量 富集地段而且局部场具有奇异性时，α(x0)＜2，该方法所 得的结果将高于通常的加权平均结果；相反，当处于贫 化地段时， )( 0x ＞2，该方法所得的结果将低于通常的 加权平均结果。 2 结果与分析 本文采用传统地统计学方法的克里格插值方法和多 维分形方法分别研究了铜陵地区土壤中 Pb 元素的空间分 布特征，并进行了对比分析。 传统地统计学方法中，基于指数半变异函数模型进 行克里格插值。球形半变异函数模型如图 2 所示，拟合 参数见表 1。由图表可见，经验半变异函数存在各向异性。 在东偏北 29.86º方向，Pb 元素的空间自相关性最强，主 方向变程为 16.872 km。克里格插值结果见图 3。 表 1 土壤中 Pb 元素指数半变异函数参数 Table 1 Semi-variogram model parameters of soil Pb 模型 块金值 基台值 主方向 变程 次方向 变程 各向异性 比率 各向异性 角度 参数 3189.2 7006.5 16.872 11.637 1.4499 29.86（东偏北） 图 2 土壤中 Pb 元素半变异函数图 Fig.2 Semi-variogram model of soil Pb 图 3 土壤中 Pb 元素的克里格法插值结果 Fig.3 Kriging interpolation map of soil Pb 多维分形方法中，首先计算局部奇异性指数，为此 定义多重分形测度 μ（ε）为单位面积内的面金属量，即 面积与元素平均密度的乘积，取边长分别为 ε=4，6，8… 14 km 的正方形来计算不同的测度值 μ（ε），然后在双对 数图上按照指数关系估计每一点的奇异性指数α（图 4） 以及相关系数（图 5）。部分区域样点稀少，不满足奇异 性指数算法的搜索条件，故其自相似性无法确定，将其 奇异性指数取为正常值 2（图 4、图 5 中的白色区域）。 可见所计算的奇异性指数的相关系数绝大多数在 0.97 以 上，奇异性指数的估计是可靠的，同时说明铜陵地区土 壤中 Pb 元素空间自相似性较强。图 5 中少部分区域奇异 性指数的相关系数相对较小（深色区域），而这些区域大 多采样点稀少，笔者认为这些区域的奇异性指数的相关 系数可能在一定程度上受采样点影响。 多维分形方法的插值结果见图 6，多维分形方法的插 值结果与克里格法插值结果的比值见图 7。可见，多维分 形方法与克里格法插值结果的高值分布趋势基本一致， 但是多维分形方法插值结果具有明显的局部增强作用。 将比值结果图过与铜陵地区地质矿产资料对比可见（图 第 11 期 李湘凌等：基于多维分形的铜陵地区土壤中 Pb 元素空间分布 195 7），铜陵地区的铅锌矿床绝大多数（85.7%）位于插值增 强区域，其中有一半以上位于增强程度较大（＞1.2）区 域。而铅锌矿床及其开发利用是铜陵矿业经济区土壤 Pb 元素污染的主要影响因素，因此，这充分显示出多维分 形方法对土壤中 Pb 元素估值是有效的，同时其局部增强 是合理的。 图 4 奇异性指数（α）分布图 Fig.4 Distribution of singularity index (α) 图 6 土壤中 Pb 元素多维分形方法插值结果 Fig.6 Results obtained using the multi-fractal interpolation method for soil Pb 图 5 奇异性指数估值相关系数 R2 Fig.5 Correlation coefficients (R2) involved in estimation of singularity index 图 7 多维分形方法与克里格插值法结果比值图 Fig.7 Ratios of results obtained by the multi-fractal interpolation to the results by Kriging 3 结 论 1）铜陵地区土壤中 Pb 元素分形维数相关系数较高， 表明该地区土壤中 Pb 空间自相似性较强，可以使用多维 分形方法进行空间分布研究。 2）与克里格法相比，多维分形方法合理地强化了局 部区域的估值结果，可以较好的表达土壤元素空间分布 的局部奇异性。 3）多维分形方法可以广泛应用于土壤元素空间分布 的研究，尤其是矿区土壤重金属元素空间分布的研究。 致谢：本文的研究得到了安徽省地质调查院徐小磊 教授、赵和苍教授的大力支持，审稿人提出了建设性的 修改意见，在此表示衷心的感谢。 [参 考 文 献] [1] 成秋明．多重分形与地质统计学方法用于勘查地球化学异 常空间结构和奇异性分析[J]．地球科学— 中国地质大学学 报，2001，26(2)：161－166． [2] 王学军，李本纲，陶 澍，等．土壤微量金属含量的空间 分析[M]．北京：科学出版社，2005 [3] 李庆谋．多维分形克里格方法[J]．地球科学进展，2005， 20(2)：248－256． [4] 李长江，麻土华，朱兴盛，等．矿产勘察中的分形、混沌 与 ANN [M]．北京：地质出版社，1999：30－38． [5] Li C J, Ma T H, Cheng J J. A fractal interpolatory approach to geochemical exploration data processing[J]. Mathematical Geology，2004，36(5)：593－606． [6] Xie S Y, Cheng Q M, Chen G, et al. Application of local singularity in prospecting potential oil/gas targets[J]. Nonlinear Processes in Geophysics，2007，14(3)：285－292． [7] 鲁红英，肖思和，何建军，等．三维地震资料储层参数建 模方法研究—分形协同克里格法[J]．成都理工学院学报， 2002，29(6)：694－697． [8] Lima A, De Vivo B, Cicchella D, et al. Multifractal IDW interpolation and fractal filtering method in environmental studies: an application on regional stream sediments of (Italy), Campania region[J]. Applied Geochemistry，2003，18(12)： 1853－1865． [9] Caniego F J, Espejo E, Martín M A, et al. Multifractal scaling of soil spatial variability[J]. Ecological Modelling，2005， 182(3-4)：291－303． [10] Drakopoulos V, Bouboulis P, Theodoridis S. Image compression using affine fractal interpolation on rectangular lattices[J]. Fractals-Complex Geometry Patterns and Scaling in Nature and Society，2006，14(4)：259－269． 196 农业工程学报 2008 年 [11] 常印佛，刘湘培，吴言昌．长江中下游铜铁成矿带[M]．北 京：地质出版社，1991． [12] 唐永成，吴言昌，储国正，等．安徽沿江地区铜金多金属 矿床[M]．北京：地质出版社，1998． [13] 周涛发，柏 林，袁 峰．安徽省矿山城市固体矿产资源 利用的环境负效应及防治对策[J]．上海地质，2001，（增 刊）：25－28． [14] 张 鑫，周涛发，袁 峰．铜陵矿区水系沉积物中重金属 污染及潜在生态危害评价[J]．环境化学，2005，24(1)：107 －108． [15] 欧阳喜辉．绿色食品生产基地环境质量监测与评价探讨 [J]．农业环境保护，1999，18 (6)：281－282． [16] Krige. A Statistical Approach to some basic mine valuation problems on the Witwatersrand[J]. Journal of the Chemical and Metallurgical Mining Society of SouthAfrica，1951，52： 119－139. [17] 成秋明．多维分形理论和地球化学元素分布规律[J]．地球 科学— 中国地质大学学报，2000，25(3)：311－318． [18] Cheng Q. Multifractal interpolation[A]. In: Lippard S J, Naess A, Sinding-Larsen R, eds. Proceedings of the Fifth Annual Conference of the International Association for Mathematical Geology[C]. Trondheim, Norway:[s.n.]，1999： 245－250． Spatial distribution of soil Pb in Tongling areas based on multifractal method Li Xiangling1, Bai Xiaoyu1, Yuan Feng1, Zhou Taofa1, Chen Xingren2, Chen Yongning2, Chen Furong2 , Jia Shijun2 (1. School of Resources and Environmental Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2. Anhui Institute of Geological Survey, Hefei 230009, China) Abstract: Kriging interpolation cannot characterize singularity of spatial distribution due to its smoothing effect. The authors applied multifractal method to study the spatial distribution of soil Pb in Tongling. The result shows that the spatial distribution of Pb in soil in this area exhibits strong spatial self-similarity. The comparison between patterns of kriging and multifractal method indicates that the latter logically enhanced the estimation value in local area, and could reflect the singularity of spatial distribution more effectively. The method can be widely applied to the study of spatial distribution of element in soil, especially the heavy metal in soil of mining area. Key words: soil, multifractal, Pb, Kriging, Tongling