第7章系统预测(2时间序列)

null7.3 时序分析预测法7.3 时序分析预测法7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念一、什么是时间序列 二、时间序列的特征 三、时间序列特征的识别 7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念时间序列：系统中某一变量或指标的数值或统计观测值，按时间顺序排列成一个数值序列，就称为时间序列(Time Series) ，又称动态数据。军事：导弹飞行轨道坐标测定值 政治：政府首脑支持率 经济：股票价格、地区蔬菜价格7.3.1 时间序列的概念(time series)7.3.1 时间序列的概念(time series)7.3.1 时间序列的概念(time series)7.3.1 时间序列的概念(time series)时间序列(time series) :--别的教材 1、同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列； 2、前后时刻的数据一般具有某种程度的相关性； 3、形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成； 4、排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式。7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念某市六年来汽车货运量（亿吨公里）7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念 系统预测中讨论的时间序列，一般是某随机过程的一个样本。通过对其分析研究，找出动态过程的特性、最佳的数学模型、估计模型参数，并检验利用数学模型进行统计预测的精度，是时间序列分析的。某市六年来汽车货运量（亿吨公里）7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念某市六年来汽车货运量7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念时间序列的分类7.3.1 时间序列的概念(time series)7.3.1 时间序列的概念(time series)时间序列的分类: 1、平稳序列(stationary series) 基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动 或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的 2、非平稳序列 (non-stationary series) 有趋势的序列（线性的，非线性的 ） 有趋势、季节性和周期性的复合型序列7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念时间序列的成分7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念 时间序列特征： 趋势性T：总体上持续上升或下降的总变化趋势，其间的变动幅度可能有时不等。 季节性S：以一年为周期，四个季节呈某种周期性，各季节出现波峰和波谷的规律类似。 周期性C：决定于系统内部因素的周期性变化规律，又分短周期、中周期、长周期等几种。 不规则性I：包括突然性和随机性变动两种。 任一时间序列可示为几种变动的不同组合的总结果，且可表示为： 加法模型：Y=T+S+C+I 乘法模型：Y=T·S·C·I7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念某市六年来汽车货运量时间序列分解—— 趋势项—— 周期项—— 随机项7.3.1 时间序列的概念(time series)7.3.1 时间序列的概念(time series)含有不同成分的时间序列7.3.1 时间序列的概念(time series)7.3.1 时间序列的概念(time series)时间序列的分解模型: 1、乘法模型 Yi=Ti×Si×Ci×Ii 2、加法模型 Yi=Ti+Si+Ci+Ii7.3.1 时间序列的概念(time series)7.3.1 时间序列的概念(time series)时间序列的图形描述7.3.1 时间序列的概念(time series)7.3.1 时间序列的概念(time series)时间序列的图形描述7.3.1 时间序列的概念时间序列特征的识别 设时间序列x1,x2,…,xn，K个自相关系数： 其中7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念(1) 时间序列的随机性识别 自相关系数法：如所有自相关系数都近似为零，表明该时间序列完全由随机数组成。 若计算较多（>20）的自相关系数，rk,k=1,2,…,20，当 则有95%的置信度认为所有rk与零无显著差异，因而认为该时间序列具有随机性特征。7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念(1) 时间序列的随机性识别 Box和Pierce方法：计算m个自相关系数r1, r2, …, rm(m≥6, n>4m) ，构造统计量Q为 则当 时， 诸rk (k = 1,2,…, m)与零无显著差异，时间序列有随机性，否则为非随机性。7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念例：7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念(2) 时间序列的平稳性识别 随机过程的数学期望和方差取常数 相关函数仅与时间间隔有关，与时间起点无关7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念(3) 时间序列的趋势性识别 单调趋势的识别：计数方法 设时间序列x1,x2,…,xn，每出现一次xj>xi(j>i),定义为xi的一个逆序。xi的逆序数为xi的出现逆序的总数。于是，时间序列的逆序总数为 于是，统计量 近似成立。其中7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念(3) 时间序列的趋势性识别 如果 ，则可认为“序列无趋势”，否则认为有趋势（0.05的显著水平上）。 有趋势的条件下： 如A很大，表明时间序列有上升趋势； 如A很小，表明时间序列有下降趋势。 复杂趋势的识别：数据分成若干段，分段用上法识别7.3.1 时间序列的概念7.3.1 时间序列的概念(4) 时间序列的周期性识别 基于自相关函数，峰、谷处 时间序列分析预测方法时间序列分析预测方法 是根据时序变动的方向和程度进行的外延和类推，用以预测下一时期或以后若干时期可能达到的水平。 平滑预测法 包括移动平均法和指数平滑法两种，其具体是把时间序列作为随机变量，运用算术平均和加权平均的方法做未来趋势的预测。这样得到的趋势线比实际数据点的连线要平滑一些，故称平滑预测法。 趋势外推预测法 根据预测对象历史发展的统计资料，拟合成预先指定的某种时间函数，并用它来描述预测目标的发展趋势。7.3.2 平滑预测法——移动平均法7.3.2 平滑预测法——移动平均法（1）移动平均法 设时序为x1，x2，……，xn，对其中连续N (n)个数据点进行算术平均，得t 时点的移动平均值，记为Mt，有 当用移动平均法进行超前一个周期预测时，采用移动平均值作为预测值 ，则有 7.3.2 平滑预测法——移动平均法7.3.2 平滑预测法——移动平均法 [例1] 现有某商场1——6月份的销售额资料如下表所 示，试用N=5来进行移动平均，并预测7月和8月的销售额。 月份 1 2 3 4 5 6销售额（万元） 33 34 35 37 38 407.3.2 平滑预测法——移动平均法7.3.2 平滑预测法——移动平均法 移动平均法方法简单，但它一般只对发展变化比较平坦，增长趋势不明显，并且与以往远时期的状况联系不多的时序有效。移动平均法—别的教材移动平均法—别的教材特点： 1、将每个观察值都给予相同的权数 ； 2、只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k； 3、主要适合对较为平稳的序列进行预测； 4、对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的。 选择移动步长时，可通过试验的，选择一个使均方误差达到最小的移动步长。特点简单移动平均法简单移动平均法例题分析7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法（2）指数平滑法只能预测一期，不能预测多期。取7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法二次指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法三次指数平滑预测公式7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法平滑系数的物理意义： 既描述对过程变化的反应速度： 越大（接近1），表示重视近期数据的作用，对过程变化反应越快； 又描述预测系统对随机误差的修匀能力：越小（接近0），表示重视离现时更远的历史数据的作用，修匀（滤波）能力越强，但对过程变化的反映越迟钝。7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法平滑系数的选择： 如对初始值有疑问，准确性差，宜取较大值，以体现近期数据作用，降低初值影响； 如外部环境变化较快，则数据可能变化较大，值宜取大一些，以跟踪过程变化（如取0.3~0.5）； 如原始资料较缺乏，或历史资料的参考价值小， 值宜取大一些； 如时序虽然具有不规则变动，但长期趋势较稳定 （如接近某一稳定常数）或变化甚小，值应较小（0.05~0.2）； 对变化甚小的时序， 值宜取小，使较早观察值亦能反映在平滑值中。7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法  值的最后确定，一般是选择不同的，通过对预测结果的来实现的。即对每一个，用离现时较远的历史数据建立预测模型，去“预测”离现时较近的历史数据（事后预测），看符合程度如何？从中选取一个符合得好的。 根据经验，一般取=0.01—0.37.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法初始值S0(1)确定： （1）当时序原始数据样本较多， 值较大时，可取S0(1)=x1，S0(2)= S0(1)， S0(3）= S0(2)。 （2）当数据点不够多，初始值对预测精度影响较大时，可取开始几个观测值的算术平均值作为S0(1)。7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法 [例2] 已知某城市公共交通过去20日的实际客运量的 统计数据如下表所示，当取=0.3时，试计算一次、二次指 数平滑值，并预测今后第10日时的客运量。7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法周期数 客运量xt St(1) St(2) t（日） （万人次） (=0.3) (=0.3)0 1 2 3 4 5 ... 17 18 19 20－ 50 52 47 51 59 … 69 76 75 8050 50 50.6 49.52 49.96 49.67 … 64.23 67.76 69.93 72.9550 50 50.18 49.98 49.98 49.88 … 59.28 61.79 64.23 66.857.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法解：7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法滞后偏差数据点连线一 次 平 滑二次平滑102020406080Xt（万人次）t（日）7.3.2 平滑预测法——指数平滑法7.3.2 平滑预测法——指数平滑法 假定目前处在周期20，对周期30进行预测课堂练习课堂练习某企业某产品历年销售量如表，用二次指数平滑( )法预测2009年3月、8月和12月的销售量(计算取两位小数)。nullnull课堂练习课堂练习答案： 2009年3月： 183.81万吨 2009年8月： 198.21万吨 2009年12月：209.73万吨7.3.3 趋势外推预测法7.3.3 趋势外推预测法1、趋势(trend) 持续向上或持续下降的状态或规律 2、有线性趋势和非线性趋势 3、方法主要有 线性趋势预测 非线性趋势预测 自回归模型预测线性趋势预测线性趋势预测线性趋势(linear trend)线性趋势(linear trend)1、现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律。 2、由影响时间序列的基本因素作用形成。 3、时间序列的成分之一。 4、预测方法：线性模型法7.3.3 趋势外推预测法两点假设： 预测对象的发展趋势不变； 预测对象的发展过程是渐变，而不是突变。 两个问题： 找到合适的趋势拟合直线方程 确定趋势曲线方程中的参数7.3.3 趋势外推预测法7.3.3 趋势外推预测法1、常用趋势曲线 （1）多项式函数 7.3.3 趋势外推预测法7.3.3 趋势外推预测法1、常用趋势曲线 （2）指数函数 例如： 人口或生物种群繁殖生长 质变前的发展速度 新产品成长期的销量7.3.3 趋势外推预测法7.3.3 趋势外推预测法（3）生长曲线（S形曲线） Logistic曲线（皮尔曲线）拐点：7.3.3 趋势外推预测法极限： t，ytK7.3.3 趋势外推预测法（3）生长曲线（S形曲线） 龚伯茨（Gompartz）曲线拐点：7.3.3 趋势外推预测法极限： t，ytK7.3.3 趋势外推预测法（4）其它曲线7.3.3 趋势外推预测法7.3.3 趋势外推预测法2、趋势预测模型的选择 研究五个问题： （1）时间特征 （2）极值特征 （3）曲线形状 （4）发展阶段 （5）发展速度7.3.3 趋势外推预测法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法3、模型参数的识别 （1）最小二乘法 时间序列样本数据 (t1,y1)，(t2,y2)，…，(tn,yn) 若选定趋势曲线为： 则拟合目标是使误差的平方和最小，即：7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法令则据 及 可以求得使Q最小的B为：7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法 有标量函数对向量的求导法则 有标量函数对向量的求导法则 设α,β为同维列向量，B是适当维数的矩阵，则： 7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法 对一般 的情况，可将式趋势线模型 分别乘以t、t2乃至t3 ，再对n个样本点求和，就可分别得到联立方程组（教材P125）。7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法此法用于手工计算时，可用简化的方法取t，即取中间时刻 t = 0，则方程中奇数项均可约去。7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法例[3]：某省谷物产量历史数据如下表所示，要求预测今后10年的产量。7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法解：采用趋势模型 求解系数时本有：7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法预测模型：7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法 最小二乘法适于能通过取对数等手段转化为多项式函数的曲线，如指数曲线：7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的最小二乘法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的三段和值法3、模型参数的识别 （2）三段和值法 ，求参数K, a, b。 把n个样本点等分为3组，每组r个数据，7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的三段和值法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的三段和值法令 三段和值法适于在较窄范围内变动的原始数据，其计算结果对随机干扰很敏感，因此可先用平滑法修匀。7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的三段和值法7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的三点法3、模型参数的识别 （3）三点法 同样考虑对Logistic曲线的拟合，在时间序列中等间距任取三点τ0,τ1,τ2，且T =τ1-τ0 =τ2-τ1。假设这三点(τ0,yτ0),(τ1,yτ1), (τ2,yτ2)恰在Logistic曲线上，则： 7.3.3 趋势外推预测法——参数识别的三点法7.3.3 趋势外推预测法例[4]：浏阳县历年总人口（单位：万人）演变情况如下表所示，要求预测1990年和2000年该县人口。7.3.3 趋势外推预测法7.3.3 趋势外推预测法例：浏阳县历年总人口（1949~1982）原始数据散点图7.3.3 趋势外推预测法7.3.3 趋势外推预测法例：浏阳县历年总人口预测曲线及原始数据线对比7.3.3 趋势外推预测法小结时间序列分析预测(惯性原理) 平滑预测法 移动平均法：适于发展变化较平坦，趋势不明显，且与以往时期的状况联系不大的时间序列。 指数平滑法：趋势不明显，与以往时期的状况有一定联系。平滑系数的选择影响很大。 趋势外推预测法：适于时间序列的发展有一个较明显趋势，趋势不变且发展过程是渐变而非突变。 小结思考题举例说明什么是时间序列。 举例说明时间序列的特征，并简述其识别方法。 简述移动平均法、指数平滑法和趋势外推预测法的适用范围。思考题作业P171 第5题作业随机过程定义：如果对于每一个固定的 ，X(t1)都是随机变量，那么称X(t)是一个随机过程。或者说，随机过程X(t)是依赖于时间t的一族随机变量。 随机过程例：电话问题中，若用X(t)表示在时刻t以前已经接到的呼唤次数，则对一个固定的 ，X(t1)都是随机变量。X(t)是一个随机过程。返回