二进制运算

二进制 二进制 二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统   编辑本段简介 　　20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，其运算模式正是二进制，同时证明了莱布尼兹的原理是正确的。 编辑本段进制数 　　二进制数据的表示法 　　二进制数据也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。例如二进制数据110.11，其权的大小顺序为2^2、2^1、2^0、2^-1、2^-2。对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为： 　　（a(n-1)a(n-2)…a(-m)）2＝a(n-1)×2^(n-1)+a(n-2)×2^(n-2)+……+a(1)×2^1+a(0)×2^0+a(-1)×2^(-1)+a(-2)×2^(-2)+……+a(-m)×2^(-m) 　　二进制数据一般可写为：（a(n-1)a(n-2)…a(1)a(0).a(-1)a(-2)…a(-m)）2。 　　注意： 　　1.式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。 　　2.a(n-1)中的(n-1)为下标，输入法无法打出所以用括号括住，避免混淆。 　　3.2^2表示2的平方，以此类推。 　　【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。 　　解：（111.01）2＝(1×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0×2^-1)+(1×2^-2) 　　二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。 编辑本段二进制运算 　　二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。最常用的是加法运算和乘法运算。 　　    1. 二进制加法 　　有四种情况： 0+0＝0 　　0+1＝1 　　1+0＝1 　　1+1＝10 进位为1 　　【例1103】求 (1101)2+(1011)2 的和 　　解： 　　??1 1 0 1 　　+ ?1 0 1 1 　　------------------- 　　?1 1 0 0 0 2. 二进制乘法 　　有四种情况： 0×0＝0 　　1×0＝0 　　0×1＝0 　　1×1＝1 　　【例1104】求 (1110)2 乘(101)2 之积 　　解： 　　???1 1 1 0 　　× ?? 1 0 1 　　----------------------- 　　??? 1 1 1 0 　　?? 0 0 0 0 　　?1 1 1 0 　　------------------------- 　　1 0 0 0 1 1 0 　　(这些计算就跟十进制的加或者乘法相同，只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到2就进了) 　　3.二进制减法 　　0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，10－1＝1。 　　4.二进制除法 　　0÷1＝0，1÷1＝1。[1][2] 　　5.二进制拈加法 　　拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。 　　拈加法运算与进行加法类似，但不需要做进位。此算法在博弈论（Game Theory）中被广泛利用。 编辑本段进制转换 　　十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数的方法： 　　二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法：按权展开求和法 1．二进制与十进制间的相互转换： 　　（1）二进制转十进制 　　方法：“按权展开求和” 　　例： （1011.01）2 ＝（1×2^3＋0×2^2＋1×2^1＋1×2^0＋0×2^(-1)＋1×2^(-2) ）10 　　＝（8＋0＋2＋1＋0＋0.25）10 　　＝（11.25）10 　　规律：个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，......，依奖递增，而十 　　分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，......，依次递减。 　　注意：不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。 　　（2）十进制转二进制 　　· 十进制整数转二进制数：“除以2取余，逆序排列”（除二取余法） 　　例： （89）10 ＝（1011001）2 　　89÷2 ……1 　　44÷2 ……0 　　22÷2 ……0 　　11÷2 ……1 　　5÷2 ……1 　　2÷2 ……0 　　1 　　· 十进制小数转二进制数：“乘以2取整，顺序排列”（乘2取整法） 　　例： (0．625)10= (0．101)2 　　0.625X2=1.25 ……1 　　0.25 X2=0.50 ……0 　　0.50 X2=1.00 ……1 2．八进制与二进制的转换： 　　二进制数转换成八进制数：从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每3位为一组用一位八进制数的数字表示，不足3位的要用“0”补足3位，就得到一个八进制数。 　　八进制数转换成二进制数：把每一个八进制数转换成3位的二进制数，就得到一个二进制数。 　　八进制数字与二进制数字对应关系如下： 　　000 -> 0 100 -> 4 　　001 -> 1 101 -> 5 　　010 -> 2 110 -> 6 　　011 -> 3 111 -> 7 　　例：将八进制的37.416转换成二进制数： 　　3 7 ． 4 1 6 　　011 111 ．100 001 110 　　即：（37.416）8 ＝（11111.10000111）2 　　例：将二进制的10110.0011 转换成八进制： 　　0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0 　　2 6 . 1 4 　　即：（10110.011）2 ＝ （26.14）8 3．十六进制与二进制的转换： 　　二进制数转换成十六进制数：从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每4位为一组用一位十六进制数的数字表示，不足4位的要用“0”补足4位，就得到一个十六进制数。 　　十六进制数转换成二进制数：把每一个十六进制数转换成4位的二进制数，就得到一个二进制数。 　　十六进制数字与二进制数字的对应关系如下： 　　0000 -> 0 0100 -> 4 1000 -> 8 1100 -> C 　　0001 -> 1 0101 -> 5 1001 -> 9 1101 -> D 　　0010 -> 2 0110 -> 6 1010 -> A 1110 -> E 　　0011 -> 3 0111 -> 7 1011 -> B 1111 -> F 　　例：将十六进制数5DF.9 转换成二进制： 　　5 D F ． 9 　　0101 1101 1111 ．1001 　　即：（5DF.9）16 ＝（10111011111.1001）2 　　例：将二进制数1100001.111 转换成十六进制： 　　0110 0001 ． 1110 　　6 1 ． E 　　即：（1100001.111）2 ＝（61.E）16 编辑本段二进制的特点 优点 　　数字装置简单可靠，所用元件少； 　　只有两个数码０和１，因此它的每一位数都可用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示； 9 　　基本运算规则简单，运算操作方便。 缺点 　　用二进制表示一个数时，位数多。因此实际使用中多采用送入数字系统前用十进制，送入机器后再转换成二进制数，让数字系统进行运算，运算结束后再将二进制转换为十进制供人们阅读。 　　二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。 　　我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。 　　首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？ 　　你可能还要这样计算：1 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。 　　然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位的权值为2^3 ＝ 8，然后依次是 2^2 ＝ 4，2^1＝2， 2^0 ＝ 1。 　　记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。 　　下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值（中间略过部分） 　　仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值 　　1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F 　　1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E 　　1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D 　　1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C 　　1011 = 8 + 0 + 2+ 1 = 11 B 　　1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A 　　1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 9 　　.... 　　0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1 　　0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0 　　二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。 　　如(上行为二制数，下面为对应的十六进制)： 　　1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011 　　F D ， A 5 ， 9 B 　　反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？ 　　先转换F： 　　看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。 　　接着转换 D： 　　看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 4 + 1,即：1101。 　　所以,FD转换为二进制数，为： 1111 1101 　　由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。 　　比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数: 　　被除数 计算过程 商 余数 　　1234 1234/16 77 2 　　77 77/16 4 13 (D) 　　4 4/16 0 4 　　结果16进制为： 0x4D2 　　然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式： 0100 1101 0010。 　　其中对映关系为： 　　0100 -- 4 　　1101 -- D 　　0010 -- 2 　　同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。 　　下面举例一个int类型的二进制数： 　　01101101 11100101 10101111 00011011 　　我们按四位一组转换为16进制： 6D E5 AF 1B 原码、补码和反码 （1）原码表示法 原码表示法是机器数的一种简单的表示法。其符号位用0表示正号，用1表示负号，数值一般用二进制形式表示。设有一数为x，则原码表示可记作〔x〕原。 例如，X1= ＋1010110 X2= 一1001010 其原码记作： 〔X1〕原=[＋1010110]原=01010110 〔X2〕原=[－1001010]原=11001010 原码表示数的范围与二进制位数有关。当用8位二进制来表示小数原码时，其表示范围： 最大值为0.1111111，其真值约为（0.99）10 最小值为1.1111111，其真值约为（一0.99）10 当用8位二进制来表示整数原码时，其表示范围： 最大值为01111111，其真值为（127）10 最小值为11111111，其真值为（－127）10 在原码表示法中，对0有两种表示形式： 〔+0〕原=00000000 [－0] 原=10000000 （2）补码表示法 机器数的补码可由原码得到。如果机器数是正数，则该机器数的补码与原码一样；如果机器数是负数，则该机器数的补码是对它的原码（除符号位外）各位取反，并在未位加1而得到的。设有一数X，则X的补码表示记作〔X〕补。 例如，[X1]=＋1010110 [X2]= 一1001010 [X1]原=01010110 [X1]补=01010110 即 [X1]原=[X1]补=01010110 [X2] 原= 11001010 [X2] 补=10110101＋1＝10110110 补码表示数的范围与二进制位数有关。当采用8位二进制表示时，小数补码的表示范围： 最大为0.1111111，其真值为（0.99）10 最小为1.0000000，其真值为（一1）10 采用8位二进制表示时，整数补码的表示范围： 最大为01111111，其真值为（127）10 最小为10000000，其真值为（一128）10 在补码表示法中，0只有一种表示形式： [＋0]补=00000000 [＋0]补=11111111＋1=00000000（由于受设备字长的限制，最后的进位丢失） 所以有[＋0]补=[＋0]补=00000000 （3）反码表示法 机器数的反码可由原码得到。如果机器数是正数，则该机器数的反码与原码一样；如果机器数是负数，则该机器数的反码是对它的原码（符号位除外）各位取反而得到的。设有一数X，则X的反码表示记作〔X〕反 例如：X1= ＋1010110 X2= 一1001010 〔X1〕原=01010110 [X1]反=〔X1〕原=01010110 [X2]原=11001010 [X2]反=10110101 反码通常作为求补过程的中间形式，即在一个负数的反码的未位上加1，就得到了该负数的补码。 例1. 已知[X]原=10011010，求[X]补。 如下： 由[X]原求[X]补的原则是：若机器数为正数，则[X]原=[X]补；若机器数为负数，则该机器数的补码可对它的原码（符号位除外）所有位求反，再在未位加1而得到。现给定的机器数为负数，故有[X]补=[X]原十1，即 [X]原=10011010 [X]反=11100101 十） 1 [X]补=11100110 例2. 已知[X]补=11100110，求〔X〕原。 分析如下： 对于机器数为正数，则〔X〕原=〔X〕补 对于机器数为负数，则有〔X〕原=〔〔X〕补〕补 现给定的为负数，故有： 〔X〕补=11100110 〔〔X〕补〕反=10011001 十） 1 〔〔X〕补〕补=10011010=〔X〕原 或者说： 数在计算机中是以二进制形式表示的。 数分为有符号数和无符号数。 原码、反码、补码都是有符号定点数的表示方法。 一个有符号定点数的最高位为符号位，0是正，1是副。 以下都以8位整数为例， 原码就是这个数本身的二进制形式。 例如 0000001 就是+1 1000001 就是-1 正数的反码和补码都是和原码相同。 负数的反码是将其原码除符号位之外的各位求反 [-3]反=[10000011]反=11111100 负数的补码是将其原码除符号位之外的各位求反之后在末位再加1。 [-3]补=[10000011]补=11111101 一个数和它的补码是可逆的。 为什么要设立补码呢？ 第一是为了能让计算机执行减法： [a-b]补=a补+（-b）补 第二个原因是为了统一正0和负0 正零：00000000 负零：10000000 这两个数其实都是0，但他们的原码却有不同的表示。 但是他们的补码是一样的，都是00000000 特别注意，如果+1之后有进位的，要一直往前进位，包括符号位！（这和反码是不同的！） [10000000]补 =[10000000]反+1 =11111111+1 =(1)00000000 =00000000(最高位溢出了，符号位变成了0） 有人会问 10000000这个补码表示的哪个数的补码呢？ 其实这是一个规定，这个数表示的是-128 所以n位补码能表示的范围是 -2^(n-1)到2^(n-1)-1 比n位原码能表示的数多一个 又例： 1011 原码：01011 反码：01011 //正数时，反码＝原码 补码：01011 //正数时，补码＝原码 -1011 原码：11011 反码：10100 //负数时，反码为原码取反 补码：10101 //负数时，补码为原码取反＋1 0．1101 原码：0.1101 反码：0.1101 //正数时，反码＝原码 补码：0.1101 //正数时，补码＝原码 -0．1101 原码：1.1101 反码：1.0010 //负数时，反码为原码取反 补码：1.0011 //负数时，补码为原码取反＋1 在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码 所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。 反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。 补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。 假设有一 int 类型的数，值为5，那么，我们知道它在计算机中表示为： 00000000 00000000 00000000 00000101 5转换成二制是101，不过int类型的数占用4字节（32位），所以前面填了一堆0。 现在想知道，-5在计算机中如何表示？ 在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。 什么叫补码呢？这得从原码，反码说起。 原码：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。 比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。 反码：将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。 取反操作指：原为1，得0；原为0，得1。（1变0; 0变1) 比如：将00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。 称：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码。 反码是相互的，所以也可称： 11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。 补码：反码加1称为补码。 也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。 比如：00000000 00000000 00000000 00000101 的反码是：11111111 11111111 11111111 11111010。 那么，补码为： 11111111 11111111 11111111 11111010 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011 所以，-5 在计算机中表达为：11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制：0xFFFFFFFB。 再举一例，我们来看整数-1在计算机中如何表示。 假设这也是一个int类型，那么： 1、先取1的原码：00000000 00000000 00000000 00000001 2、得反码： 11111111 11111111 11111111 11111110 3、得补码： 11111111 11111111 11111111 11111111 正数的原码,补码,反码都相同,都等于它本身 负数的补码是:符号位为1,其余各位求反,末位加1 反码是:符号位为1,其余各位求反,但末位不加1 也就是说,反码末位加上1就是补码 1100110011 原 1011001100 反 除符号位，按位取反 1011001101 补 除符号位，按位取反再加1 正数的原反补是一样的 在计算机中，数据是以补码的形式存储的: 在n位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为1表示为负； 其余n-1位为数值位，各位的值可为0或1。 当真值为正时:原码、反码、补码数值位完全相同； 当真值为负时: 原码的数值位保持原样， 反码的数值位是原码数值位的各位取反， 补码则是反码的最低位加一。 注意符号位不变。 如:若机器数是16位: 十进制数 17 的原码、反码与补码均为： 0000000000010001 十进制数-17 的原码、反码与补码分别为：1000000000010001、1111111111101110、1111111111101111 十进制 六十进制 二十进制 八进制 十六进制 三进制 变进制数 变补 简介 进制数 二进制运算 1. 二进制加法 2. 二进制乘法 进制转换 1．二进制与十进制间的相互转换： 2．八进制与二进制的转换： 3．十六进制与二进制的转换： 二进制的特点 优点 缺点 莱布尼茨与二进制 计算机内部采用二进制的原因 处理数据库二进制数据