不完全缓和曲线的计算

Vol119 　No11 公 　路 　交 　通 　科 　技 2002 年 2 月 JOURNAL OF HIGHWAY AND TRANSPORTATION RESEARCH AND DEVELOPMENT 文章编号 : 1002Ο0268 (2002) 01Ο0037Ο03 收稿日期 : 2001Ο03Ο12 作者简介 : (1964 - ) , 男 , 江苏江都人 , 工学硕士 , 东南大学副教授 1 不完全缓和曲线的计算 闻道秋 , 贡云兰 (东南大学交通学院 , 江苏 　南京 　210032) 摘要 : 讨论公路设计中经常使用的不完全缓和曲线的特性 , 给出不完全缓和曲线要素 ———转角、切线长、外矢距计算 方法和公式。最后导出测设不完全缓和曲线的坐标。 关键词 : 不完全缓和曲线 ; 转角 ; 切线 ; 外矢距 ; 坐标 中图分类号 : U41213 　　　　　　文献标识码 : A Calculation of Incomplete Spiral Curve WEN DaoΟqiu , GONG YunΟlan (College of Communications , Southeast University , Jiangsu　Nanjing 　210096 , China) Abstract : This paper discusses the properties of incomplete spiral curve which is often used in highway design , gives the calculating method and formula of elements of incomplete spiral curve ———deflection angle , tangent and apex distance1 Finally this paper deduces the formula of coordinates of the incomplete spiral curve1 Key words : Incomplete spiral cure ; Deflection angle ; Tangent ; Apex distance ; Coordinate 　　目前我国高速公路建设发展越来越快 , 在高速公 路互通立交的匝道设计中经常使用不完全缓和曲线 , 另外 , 在公路设计中 , 由于受到地形条件限制也会使 用不完全缓和曲线。由于完全缓和曲线在计算时比较 复杂 , 在过去的讨论中 , 往往把缓和曲线和圆曲线连 在一起讨论和计算 , 而不完全缓和曲线具有一定的特 殊性 , 使得不完全缓和曲线在计算时就更加复杂和困 难。本文把缓和曲线与圆曲线脱离开来 , 主要阐述不 完全缓和曲线的一些特性、曲线要素以及中桩坐标计 算的原理。 1 　不完全缓和曲线特性 对于回旋参数为 A 的缓和曲线 , 完全缓和曲线 是半径从无穷大到 R 或从 R 到无穷大 , 而不完全缓 和曲线是完全缓和曲线中的一部分 , 即曲率半径从 R1 到 R2 , 下面讨论它的一些特性。 如图 1 , 设不完全缓和曲线回旋参数为 A , 起点 曲率半径为 R1 , 终点曲率半径为 R2 , R1 > R2 , 不完 全缓和曲线长为 ls。把不完全缓和曲线的一端 O1 (曲率半径为 R1) 顺延至曲率半径为 ∞的 O 处 , 形 成完全缓和曲线 , 这样就可用完全缓和曲线计算公式 推导不完全缓和曲线计算公式。 图 1 　 　　O 至 O1 的曲线长为 　　ls1 = A2·R - 11 　　O 至 O2 的曲线长为 　　ls2 = A2·R - 12 　　ls2 - ls1 = ls 　　ls = A2 1R2 - 1 R1 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 　　A2 = ls·R1·R2R1 - R2 (1) 即对于不完全缓和曲线参数 : A 、 ls、R1、R2 , 只要知道其中任意 3 个参数就能确定另外一个。 设不完全缓和曲线上任意点 P 距起点 O1 曲线长 为 l , 曲率半径为 R。下面确定不完全缓和曲线上任 意点切线与起点切线夹角βP (这里称之为不完全缓 和曲线转角) 。如图 1 所示。 ls1 + l = A2 R βO1 = ls21 2A2 　　βO2 = ls22 2A2 βOP = ( ls1 + l) 2 2A2 βP =βOP - βO1 = ( ls1 + l) 2 2A2 - ls21 2A2 βP = lR1 + l2 2A2 (2) 若 R1 < R2 ,则 βP = 1R1 - l2 2A2 (3) 即只要知道不完全缓和曲线回旋参数为 A , 起点曲率 半径为 R1 , 就能计算出不完全缓和曲线起点切线与 不完全缓和曲线上任意一点的切线的夹角β, 也即只 要知道不完全缓和曲线起点切线方位角 , 就能计算出 不完全缓和曲线上任意一点的切线的方位角。 图 2 　 2 　不完全缓和曲线的要素计算 (1) 切线长计算 如图 2 , JD 为不完全缓和曲线两端切线相交点 ———称为不完全缓和曲线交点 , SJDΟO1、SJDΟO2为切线 长 , 设 R1 > R2 , 把不完全缓和曲线的一端 O1 (曲率 半径为 R1) 顺延至曲率半径为 ∞的 O 处 , 形成完全 缓和曲线 , 假设在 O1 和 O2 处分别接上半径为 R1 和 R2 的圆曲线 , 统一在 O 处建立切线坐标系 , 则 在 O1 处的曲线的内移值 p1 和切线增长值 q1 为 p1 = yO1 - R1 (1 - cosβO1) 　　q1 = xO1 - R1·sinβO1 ( xO1 , yO1) 为 O1 点在 O 点处切线坐标系中的坐 标。 xO1 = ls1 - ls31/ 40 R21 + ⋯⋯ yO1 = ls21/ 6 R1 + ⋯⋯ 从图中可看出 SOΟJD1 = q1 + ( R1 + P1) ·tg(βO1/ 2) - p1/ sinβO1 SO1ΟJD1 = ( R1 + P1) ·tg(βO1/ 2) + p1·ctgβO1 同理 ,在 O2处 p2 = yO2 - R2 (1 - cosβO2) q2 = xO2 - R2·sinβO2 SOΟJD2 = q2 + ( R2 + P2) ·tg (βO2/ 2) - p2/ sinβO2 SO2ΟJD2 = ( R2 + P2) ·tg(βO2/ 2) + p2·ctgβO2 则 　SJD1ΟJD2 = SOΟJD2 - SOΟJD1 在三角形 JDΟJD1ΟJD2 中 ,按正弦定理 SJDΟJD1 = SJD1ΟJD2sinβ ·sin (180°- β2) SJDΟJD2 = SJD1ΟJD2sinβ ·sinβ1 故不完全缓和曲线的切线长为 TO1 = SJD2O1 = SJD2JD1 - SO12JD1 TO2 = SJD2O2 = SO22JD2 - SJD2JD2 (2) 外矢距计算 图 3 　 在路线中 , 曲线的外矢距起到控制曲线的作用 , 这里定义不完全缓和曲线外矢距就是交点 JD 到曲线 的最短距离 , 由于道路设计中采用的都是凹曲线或凸 曲线 , 所以 JD 一定在曲线上某点 Q 的法线上。 由于计算的复杂性 , 这里采用迭代法确定 Q 点 并计算外矢距 E。如图 3 建立以 O1为原点的切线坐 公路交通科技 　2002 年 　第 1 期 38　　　 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 标系 , 则 : ( xJD , yJD) = ( TO1 , 0) , 在曲线上取一 点 P , 距 O1 点曲线长为 l , 则 P 点坐标 ( xp , yp) 由第 3 部分中的 (4) 式计算。 αPΟJD = arctg yJD - yP xJD - xP 　　γ=βP - αPΟJD 这里αPΟJD为 PΟJD 的方位角 , βP 为 P 点处切线与 x 轴的夹角 , 即 P 点处切线的方位角。当γ< 90 时 , 在 O1～ P 之间重取另外一点 P (若γ> 90 时 , 在 P ～O2 之间重取另外一点 P) , 重复上述过程 , 直到相 邻的两个 P 点间距小于允许值 (以实际需要精度而 定) , 则 P 点即为 Q 点 (迭代法时一般采用二分法) 。 E = ( xJD - xQ) 2 + ( yJD - yQ) 2 图 4 　 3 　不完全缓和曲线的测设 　　如图 4 , 建立以不完全缓和曲线起点 O1为原点的 切线坐标系 , 下面按完全缓和曲线坐标公式推导方 式 , 导出不完全缓和曲线上任意点 P 在此坐标系中 的坐标。设 P 点到 O1 的曲线长为 l。 d x = d l·cosβ d y = d l·sinβ 由 (2) 式知 β= lR1 + l2 2A2 β2 = l 2 R21 + l3 R1 A2 + l4 4A4 β3 = l 3 R31 + 3 l4 2 R21 A2 + 3 l5 4 R1 A4 + l6 8A6 β4 = l 4 R41 + 2 l5 R31 A2 + 3 l6 2 R21 A4 + l7 2 R1 A6 + l8 16A8 β5 = l 5 R51 + 5 l6 2 R41 A2 + 5 l7 2 R31 A4 + 5 l8 4 R2 A6 + 5 l9 16A8 R1 + l10 32A10 　　⋯⋯ 将 sinβ和 cosβ按级数展开 d x = 1 - β 2 2 ! + β4 4 ! + ⋯⋯ ·d l d y = β- β 3 3 ! + β5 5 ! + ⋯⋯ ·d l 把β、β2 等代入上式得 　　 d x = 1 - l2 2R21 - l3 2R1A2 - l4 8A4 + l4 24R41 + l5 12R31A2 + l6 16R21A4 + l7 48R1A6 + l8 384A8 + ⋯⋯ ·d l d y = l R1 + l2 2A2 - l3 6R31 - l4 4R21A2 - l5 8R1A4 - l6 48A6 + l5 120R51 + l6 48R41A2 + l7 48R3A4 + l8 96R21A6 + l9 384R1A8 + l10 3 840A10 + ⋯⋯ ·d l 将上式积分并略去高次项 (略去项不影响测设精度)后 ,得 x = l - l3 6 R21 - l4 8 R1A2 - l5 40A4 + l5 120 R41 + l6 72 R31A2 + l7 112 R21A4 + l8 384A6 R1 + l9 3 456A8 + ⋯⋯ y = l 2 2 R1 + l3 6A2 - l4 24 R31 + l5 20 R21A2 - l6 48 R1A4 - l7 336A6 + l6 720 R51 + l7 336 R41A2 + l8 384 R31A4 + l9 864 R21A6 + l10 3 840 R1A8 　　- l 11 42 240A10 + ⋯⋯ 如以 R2 小半径建立切线支距坐标系( l 为 P 点到 O2 的曲线长) ,则 β= lR2 - l2 2A2 　　 x = l - l3 6A22 + l4 8 R2A2 - l5 40A4 + l5 120 R42 - l6 72 R32A2 + l7 112 R22A4 - l8 384 R2A6 + ⋯⋯ y = l 2 2 R2 - l3 6A2 - l4 24 R32 + l5 20 R2A2 - l6 48 R2A4 + l7 336A6 + l6 720 R52 - l7 336 R42A2 + l8 384 R32A4 - l9 864 R22A6 + l10 3 840 R2A8 - 　　- l11 42 240A10 + ⋯⋯ (下转第 44 页) 不完全缓和曲线的计算 　闻道秋等 39　　　 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 3 　结论与加固建议 　　 (1) 通过对一孔预应力混凝土 T 型刚构桥跨的 病害调查、分析和实桥试验研究 , 发现该预应力混凝 土 T型刚构桥虽然抗弯、抗剪极限承载能力和极限承 载刚度基本能满足汽Ο20、挂Ο100 的承载要求 , 但由 于悬拼箱梁块施工不当 , 混凝土间存在有较多的拼装 缝隙、箱体内预应力损失过大 , 造成预压应力不足、 斜截面抗主拉应力不够 , 刚度下降 , 实测的挠度明显 大于理论计算挠度。因而 , 该桥已不能满足桥梁正常 使用极限状态的使用要求 , 应予加固处理。 (2) 预应力混凝土 T型刚构箱梁桥跨的偏载系数 约为 111 , 剪力滞、扭转等产生的受力分布不均匀现 象并不明显。 (3) 为确保该桥的耐久性和桥梁的正常使用 , 建 议有关部门针对该桥存在的问题及 T构的特点进行必 要的加固处理。包括对腹板斜裂缝用粘贴钢板补强。 对拼装接缝用环氧砂浆灌浆、填实后 , 在贴近 T型刚 构的箱内上缘板适当补配一些体外预应力束 , 以部分 弥补先期接缝引起的预应力损失 , 提高箱梁抵抗外荷 载引起的弯拉正应力和主拉应力的能力和整体刚度。 在补配体外预应力束时 , 可对下述 2 种比较后选 用 : (a) 增设贯通整个箱梁的预应力束 , 锚固点可设 在两个悬臂端的端部 , 为便于今后调束 , 应在一头设 置可调锚具。(b) 在箱室顶板的附近 , 按需要分段在 箱的体内布置预应力束 , 并在适当的位置向上弯起 , 穿过箱梁顶板 , 用扁锚锚具锚固在桥面铺装层内。在 全桥预应力混凝土 T型刚构桥跨部分 , 凿去原铺的桥 面铺装混凝土 , 加设纵向直径较大的连续钢筋及铺装 钢筋网 , 重新浇筑 C40 的桥面混凝土 , 以加强桥梁的 整体性。加固改造好的桥梁还应注意定期观测检查桥 梁的工作状况。 参考文献 : [1 ] 　中华人民共和国交通部 1 公路旧桥承载能力鉴定方法 (试行) 1 人民交通出版社 , 19881 [2 ] 　中华人民共和国交通部 1 公路桥涵设计 1 人民交通出版社 , 19891 [3 ] 　项贻强 1 桥梁结构分析的数值方法及程序 1 人民交通出版社 , 19931 [4 ] 　项贻强等 1 斜交变截面预应力混凝土单悬臂 T梁桥设计荷载下 的试验研究 1 中国公路学报 , 1999 (2) 1 (上接 39 页) 　　如果知道了 O1 或 O2 或交点 JD 在 路线测量坐标系中的坐标和切线方位角 , 就能通过坐 标旋转公式求出任意点 P 在路线测量坐标系中的坐 标 , 采用极坐标法在测量控制点上放样出 P 点。 4 　算例 图 5 为某互通立交中一匝道内的一段不完全缓和 曲线 , 已知 : JD (9 4381701 , 4 7221546) ,αO1ΟJD = 242°01′00″6 , αJD - O2 = 305°49′48″0 , A = 60 , R1 = 400。 图 5 　 通过计算得 β= 63°48′47″4 R2 = 40 , ls = 81 ls1 = 9 , ls2 = 90 　　切线长为 TJDΟO1 = 551868 , TJDΟO2 = 331426 外矢距为 E = 111091 ,曲线 O1 Q = 511994 则主点坐标O1 (9 4641915 ,4 7711882) , O2 (9 4581268 ,4 6951445) 　　设 P点到 O1 的曲线长 l = 23119 ,则βP = 7°36′04″4 P 在 O1 切线坐标中坐标为 x1 P = 231139 y1 P = 11248 P 在 O2 切线坐标中坐标为 x2 P = 461754 y2 P = 291891 P 在路线测量坐标系中的坐标为 XP = 9 4551162 YP = 4 7501869 上面都是通过电算程序计算所得。 本文所讨论的内容对于互通立交匝道的设计和施 工放样有很大参考作用。 参考文献 : [1 ] 　张廷楷 1 道路路线设计 1 同济大学出版社 ,1990Ο091 [2 ] 　西安公路学院公路系 1 公路测量 1 人民交通出版社 , 19791 [3 ] 　闻道秋 1 复合曲线坐标计算及程序设计 1 工程勘察 ,1997 (2) 1 [4 ] 　闻道秋 1 任意点到路线中线最短距离的计算 1 公路交通科技 , 1999(2) 1 公路交通科技 　2002 年 　第 1 期 44　　　 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. 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