null5模糊
方法 5模糊数学方法 模糊子集与隶属函数 设U是论域,称映射
A(x):U→[0,1]
确定了一个U上的模糊子集A,映射A(x)称为A的隶属函数,它表示x对A的隶属程度.
使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点,此点最具模糊性.
当映射A(x)只取0或1时,模糊子集A就是经典子集,而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.null 例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位:cm)表示人的身高,那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为也可用Zadeh表示法:null还可用向量表示法:A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外,还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊子集.
从上例可看出:
(1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的;
(2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的.
隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一,模糊数学方法是在客观的基础上,特别强调主观的方法.模糊线性
模糊线性规划 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的,但在一些实际问题中,约束条件可能带有弹性,目标函数可能不是单一的,必须借助模糊集的方法来处理.
模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化,引入隶属函数,从而导出一个新的线性规划问题,它的最优解称为原问题的模糊最优解. null设普通线性规划的标准形式为 若约束条件带有弹性,即右端常数bi可能取
(bi – di , bi + di )
内的某一个值,这里的di>0,它是决策人根据实际问题选择的伸缩指标. 这样的规划称为模糊线性规划.null把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为null下面将约束条件和目标函数模糊化. 将(2)中带有弹性的约束条件(di>0)的隶属函数定义为而将(2)中普通约束条件(di = 0)的隶属函数定义为
Ai (x) = 1, ti (x) = bi .由Ai (x)定义可知,∈[0, 1], 由Ai (x)定义可知,∈[0, 1], 设普通线性规划(1)和(3)的最优值分别为 f0, f1 , 记
d0 = f 0 - f 1 ,
则d0>0, 它为模糊线性规划(2)中目标函数的伸缩指标,d0也可由决策人确定.null由Gi (x)定义可知,∈[0, 1],Gi (x)≥ t0 (x) + d0≤ f0, 要求模糊线性规划(2)的模糊最优解x*,则要求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能达到最大,即求x* 满足
Ai (x)≥及G(x)≥,
且使达到最大值,相当于求解普通线性规划问题 null 设普通线性规划(4)的最优解为x*, , 则模糊线性规划(2)的模糊最优解为x*, 最优值为t0 (x*). 所以,求解模糊线性规划(2)相当于求解普通线性规划(1), (3), (4).
此外,再补充两点说明:
① 若要使某个模糊约束条件尽可能满足,只需将其伸缩指标降低直至为0;
② 若模糊线性规划(2)中的目标函数为求最大值,或模糊约束条件为近似大(小)于等于,其相应的隶属函数可类似地写出. null例1 解模糊线性规划问题(P129): 多目标线性规划 多目标线性规划 在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划. 若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划. 一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解. null例2 解多目标线性规划问题(P131): null⑴解普通线性规划问题: 得最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2,此时 f 2 = 8. null⑵解普通线性规划问题: 得最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20,此时f 1 = 10. null 线性规划问题⑴的最优解为
x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2,
最优值为2,此时 f 2 = 8.
线性规划问题⑵的最优解为
x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0,
最优值为20,此时f 1 = 10. 同时考虑两个目标,合理的
是使
f 1∈[ 2, 10 ], f 2∈[ 8, 20 ],
可取伸缩指标分别为
d1 = 10 - 2 = 8, d2 = 20 - 8 = 12.
如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小d1; 如果认为目标 f 2更重要,可单独缩小d2. null ⑶再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通线性规划问题: 得最优解为
x1 = 6.29, x2 = 0.29, x3 = 1.43, = 0.57.此时f 1 = 5.43, f 2 = 14.86.