地球自转的动力学效应

§5-4地球自转的动力学效应 本节内容是应用非惯性系内动力学理论解决 实际问的范例. 一、质点相对地球的运动微分方程 1. 有关地球运动的几个量. 自转周期 sT 86164= 自转角速度的大小 srad /10292.7 5-´=w 自转角速度的时间变化率的大小 216 /10 srad-»w 赤道处地球半径 mR 610378.6 ´= 两极处 mR 610357.6 ´= 日地平均距离 mRSE 1110496.1 ´= . 2. 把地球视为非惯性系时质点对地球的运动 微分方程. 地球绕太阳公转, 同时又有自转, 因此以日心 惯性系为则地球是非惯性系. 在研究地球表面附近质点运动, 且当运动范围 的尺度远小于地球半径时, 一般建立坐标系Oxyz如 图所示. Oxyz即为我们选用的非惯性系, 称为地面 参考系. 设地心到 S ¢系原点O的位 置矢量为R  , 在日心系 ( S系) 中, 根据刚体运动学公式, O 点的加速度为 ( )RRaa DO  ´´+´+= www 由于 2ww <<  , 所以与w  有关的量均可略去. 设质点 P的质量为m , 对O点位置矢量为 r ¢ . 则 在地面参考系Oxyz ( S ¢系)中质点的运动微分方程为 ( )][ RamFam D  ´´+-=¢ å ww ( ) vmrm ¢´-¢´´-  www 2 式中å F  为质点所受相互作用力的合力, 包括太阳 施与的引力 SF  , 地球施与的引力记为 0gm  , 和其他 物体对它的作用力的合力F  . 于是上式可改写为 ( ) ( )[ ]{ } vmrRmgmamFFam DS ¢´-¢+´´-+-+=¢   www 20 认为 0»- DS amF  . 引入表观重力 ( )[ ] ( )RmgmrRmgmgmW  ´´-»¢+´´-== wwww 00 则质点在地面参考系中的运动微分方程为 vmgmFam ¢´-+=¢   w2 和我们把地面视为惯性系时的方程相比, 只多出一 项科氏力 vm ¢´-  w2 . 式中 tvatrv d/d,d/d ** ¢=¢¢=¢  . 略 去*号, 并简写为 rvarv ¢=¢=¢¢=¢  , . 则 rmgmFrm ¢´-+=¢    w2 二、表观重力 我们设想用弹簧秤在地球表面附近测量质量 为m的质点的重力. 设地球对质点的引力为 0gm  , 有弹簧秤拉力为 TF  , 惯性离心力为 ( )[ ]rRm ¢+´´-  ww . 由于 rR ¢>> , 故 质点的平衡方程为 ( ) 00 =´´-+ RmgmFT  ww 可知测得重力并非 0gm  , 而是 ( )RmgmFgmW T  ´´-=-== ww0 即表观重力 rlw eRmgmgmW  cos20 +== 由于 Rmmg 20 w>> , l wllw q 2sin 2 sincos 0 2 0 2 g R mg Rm =» 可估算出 lqw 2sin102,/3/103 32222 -- ´»=´» scmsmR .当 45=l 时q最大, 约 rad3102 -´ . 可见q很小, 在以后的 计算中可认为 g  和 0g  方向相同, 即竖直方向(铅垂 方向)与地球半径方向(天顶方向)一致. 在赤道处 g和 0g 相差最大, 220 /3 scmRgg »=- w , 随纬度l增大 g和 0g 相差减小. 物体于两极重量最 大( 2/832.9 smg = ), 于赤道重量最小( 2/780.9 smg = ). 但可见差别很小, 在以后的计算中可认为 g和 0g 相 同. 三、落体偏东 在地面参考系Oxyz中, 设质点由 z轴上 hz = 处 自由落下, 忽略空气阻力. 质点的运动微分方程为 rmgmrm  ¢´-=¢ w2 ki  lwlww sincos +-= 所以质点的动力学方程组为 ( ) ï î ï í ì +-= +-= = lw llw lw cos2 cossin2 sin2 ymmgzm zxmym ymxm    积分一、 三两式, 并用初始条件 0=t 时, 0== yx , hz = , 0=== zyx  定积分常数, 得 lw sin2 yx = lw cos2 ygtz +-= 代入第二式, 略去 2w 项, 则 lw cos2 gty = 积分并定积分常数, 解出 lw cos 3 1 3gty = 代入一,三式, 略去 2w 项, 即可求出 0=x 2 2 1 gthz -= 这便是精确到w一次方时的解答 . 可见当 0>t 时 0>y , 说明落体向 y轴正方向偏斜, 即发生落体偏 东现象. 由落地条件 0=z , 求出落地时间 ( ) 2/1/2 ght = , 可知落地后偏东的距离为 lw cos 2 3 1 2/3 ÷÷ ø ö çç è æ = g hgym . 纬度 l不同, my 不同. 0=l , 即在赤道处, my 最大, 若 mh 200= , 则 cmmym 6106 2 =´= - . 在本节的讨论中, 我们未考虑月球引力及其他 因素对质点运动的影响, 只是一定条件下的近似解. 也正因如此, 求保留 2w 项的更精确的解答是没有 意义的. 落体偏东现象可以在惯性系 (日心系) 中给出 定性解释. 四、科氏力对水平运动的影响 设质点质量为m , 在水平面内, 即Oxy面内运动, 其速度为 -v  , 则质点受科氏力为 -- ¢´+--=¢´- vkimvm  )sincos(22 lwlww -- ¢´-¢´= vkmvim  lwlw sin2cos2 科氏力对水平运动的影响体现于 -¢´- vkm  lw sin2 , 我 们以面向运动的前方为准, 在北半球 0sin >l , 科氏 力造成水平运动的右偏效应; 而在南半球 0sin 分析

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