观察法58

观察法 观察法 一、提要 数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确. 观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础. 观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证. 敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握. 例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n次方程有n个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式. 对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法. 选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势. 二、例题 例1. 解方程：x+ =a+ . 解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根. 根据方程解的定义，易知 x=a；或x= . 观察本题的特点是：左边x , 右边a .　（常数1相同）. 可推广到：若方程f(x)+ （am≠0），　 则f(x)=a； 　f(x)= . 如：方程x2+ , x2+3x－ (∵8=10－ ). 都可以用上述方法解. 例2. 分解因式 a3+b3+c3－3abc. 分析：观察题目的特点，它是a,　b,　c的齐三次对称式. 若有一次因式，最可能的是a+b+c；若有因式a+b－c,必有b+c－a, c+a－b； 若有因式a+b, 必有b+c, c+a； 若有因式b－c,必有c－a, a－b. 解：∵用a=－b－c 代入原式的值为零， ∴有因式a+b+c. 故可设　a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)]. 比较左右两边a3的系数，得m=1, 　 比较abc的系数， 得 n=－1. ∴a3+b3+c3－3abc=(a+b+c) (a2+b2+c2－ab－bc－ca) 例3. 解方程 .　 分析：观察题目的特点猜想 用自身迭代验证：　x= . 解：∵x= ， 可化为x－2－x－3=0, ∴ x= . 经检验 是增根.　 ∴原方程只有一个实数根x= . 例4. 求证： . 证明：把等式看作是关于x的二次方程，最多只有两个实数根； 但x=a, x=b, x=c，都能使等式成立，且知a≠b≠c，这样，方程 就有三个解； ∵方程的解的个数，超过了方程的次数. ∴原等式是恒等式. 证毕. 例5. 选择题 (只有一个正确的答案) 　 1. 四边形ABCD内接于圆，边长依次为25，39，52，60，那么这个圆的直径长等于（　　） 　 （A）66.　　（B）65.　　（C）63.　　（D）62. 2. 直角梯形ABCD的垂腰AB=7，两底AD=2，BC=3，如果边AB上的一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似. 这样的点P有几个？答：( ) (A) 1个. (B) 2个 . (C) 3个. (D) 4个. 解：1. 选 (B)； 　2. 选 ( C). 1. 观察数字的特征: ∵25∶60∶65=5∶12∶13 ； 39∶52∶65=3∶4∶5 都是勾股数. ∴直径等于65，故选( B ) 2. 观察 相似比可以是 或 .　设AP为x, 则 ；或 . 解得：x=2.8 ， x=1， 或 x=6 . 共有三解. 故选(C). 　　　　　　　　　　　　　 三、练习 1.​ 填空题 1.​ 三角形的三边长分别为192，256，320.则最大角等于____度. 2.​ 化简 48(72+1)(74+1)(78+1)……(7 +1)+1=______. 3.​ 方程x2－(4+ )x+3+ =0 的两个解是______. 4.​ 方程x3+2x2+3x+2=0的实数根是__________. 5.​ 方程 的实数解是_______. 6.​ 若x,y为实数且x+y=a, xy=b,则x2+y2=_________. 7.​ 方程 的解是__________. 8. 写出因式分解的结果： ①x3－7x2+36=______________. ②(a+b－c)3－(a3+b3+c3)=_______________. 9. 方程(a－x)3+(b－x)3=(a+b－2x)3的三个解是_____，_____，______.. 10.​ 方程组 的实数解是： 11.​ 有一个五位正奇数x，将x的所有2都换成5，所有5都换成2，其他的数字不变，得到一个新五位数记作y，若x,y满足等式y=2(x+1),那么x是___________ (1987年全国初中数学联赛题 ) 12.​ 　　　 如左图试问至少要用几种颜色，才能给图中的各边正常着色. (正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上 不同的颜色) (1983年福建省初中数学竞赛题) 2.​ 选择题(只有一个正确的答案) 1. 四边形的边 a, b, c, d, 满足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd,那么这个四边形一定是 ( ) (A)​ 矩形. (B) 菱形. (C) 等腰梯形. (D)不等边的四边形. 2. 当k>0时，函数y=kx+k与y= 图象在同一直角坐标系内是( ) 3.实数a和b，ab<0, a+b<0, a－b<0,则a, b的大体位置是( 　 ) 4. a=1+ , b=1+ , a, b都不等于0，那么 b= ( ). (A) a. (B) –a.　　 (C) a－1. 　 (D) 1－a. 5.　a,b,c中至少有一个是零，可示为( ) (A) a+b+c≠0 (B) abc≠0. (C) a2+b2+c2≠0. (D) ab+ca+bc≠0. 三. 解方程： 1.x2+2x+ ； 2. ； 3. . 四. 求证： . 五. 已知：x4+x3+x2+x+1=0.　　求：x1989+x1988+x1987+x1986的值. 练习题参考答案 一.1.　90 　　　2.　 7 　　3.　1，3＋ 　　　　4.　－1　5.　－2 6. a2－2b,当a2－2b＜0时无解　　　7.　2，－2　　　　8.②3（a+b）(b+c)(c+a) 9.​ a,b, 　　　　　　 10. x=y=z=w=± 二.①B　②C　③C　④A　⑤C 三.①　－3，1， 　　②－ ，－1，－5　　③2（增根－1） 四.（仿例4） 五.已知两边乘以x-1得x5=1,　 原式=x1985(x4+x3+x2+x)=1×(-1)=-1