第三讲函数的微积分

nullnull第三节 函数的微积分一. 函数的示在Matlab中有些初等函数用有关的数学符号表示：null1. sym定义函数：进行符号运算的函数步骤如下：(1)建立函数：y=sym('f(x)') (2)化简函数：u=simplify(y)，u1=simple(u)例1. 已知 求y+f解： y=sym ('(sin(x)+cos(x))^2') f=sym('cos(2*x)'); u=simplify(y+f); 结果为：2*cos(x)*(sin(x)+cos(x))u1=simple(u), 结果为： sin(2*x)+cos(2*x)+1null2. inline 定义的函数：用于曲线拟合、数值计算注意：这种函数有时必须在M文件内定义才有效！例2. 建立函数： a,b,c为待定的参数方法1： y='a*(1-b*exp(-c*x))'方法2:fun=inline('b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*x))','b','x');步骤：(1)建立M文件； (2)fun=inline(‘f(x)’, ‘参变量’，‘x’)此处，将b看成参变量，b(1),b(2),b(3)为其分量.若计算函数在x=0:0.1:1上的函数值，由于此时x为矩阵，只需将函数表达式中的某些量表示成向量有些*改成.*即可.null二. 计算函数的导数1.一元函数的导数：计算y = f(x) 导数的命令为:diff(y)例3.计算下列函数的导数y=sym((1+x)*log(1+x+sqrt(2*x+x^2))-sqrt(2*x+x^2)); dy=diff(y); b=simplify(dy); y=sym(asin(x)/sqrt(1-x^2)+0.5*log((1-x)/(1+x)));dy=diff(y);b=simple(dy);解:syms x结果为：null例4. 计算下列函数的二阶导数 解：1) y=sym(3*x^3*asin(x)+(x^2+2)*sqrt(1-x^2));dy=diff(y); u=simple(dy)u1=diff(u)2) y=sym(x/2*sqrt(a^2+x^2)+(a^2/2)*log(x+sqrt(a^2+x^2)));dy=diff(y);u=simplify(dy)， u1=diff(u);u2=simplify(u1)高阶导数可直接计算：diff(S,‘v’,n) 求S对v的n阶导数， null2. 偏导数的计算计算 z=f(x,y) 的偏导数的方法为： 首先定义自变量： syms x y; 然后建立函数：z=sym(f(x,y)) 用diff求导：dzdx=diff(z,'x') ，dzdy=diff(z,'y')例5. 求 的一阶偏导数 解：syms x y; z=sym(exp(x/y)); dzdx=diff(z,'x') ,dzdy=diff(z,'y')null三. 求函数的极大值与极小值 在Matlab中有求函数极小值的命令：计算F在a,b之间取极小值时的x与y(即fval). 命令：[x,fval] = fminbnd(F,a,b)解：f=inline('2*x.^3-6*x.^2-18*x+7') [x,fval] = fminbnd(f, -2, 4) 故 函数在x=3时，有极小值-47输出结果为：x = 3.0000 fval =-47.0000null注意：如果计算极大值，可将f(x)前面添负号， 则-f(x)的极小值点，即f(x)的极大值点.极大值为-fval解：f='-2*x.^3+6*x.^2+18*x-7' ;[x,fval] = fminbnd(f, -2, 4) x = -1.0000 fval =-17.0000故f(x)在x=-1时有极大值17注意：计算函数极值时，不能用sym(f(x))表示法 但是可以用：y=‘f(x)’注意符号！！！null四. 计算函数的极限格式：limit(F,x,a) 计算当x→a时,F(x)的极限值， limit(F,x,a,‘right’) 计算当x→a+时, F的右极限， limit(F,x,a,‘left’) 计算当x→a-时, F的左极限，特别地，当a=0时有：解： syms x %定义变量limit((1-cos(x))*x^(-2))注意：求极限与求导数时，函数的表示有所不同：求极限先要定义自变量，然后直接将函数放入limit的括号内，不用引号.ans =1/2省略了自变量的变化过程null解：syms x ,L1=limit(x*sin(1/x)+sin(x)/x)L2=limit(x*sin(1/x)+sin(x)/x,inf)解：syms x ,L=limit((sin(x)-tan(x))/sin(x^3))解：syms x ,a=limit((1+log(1+x))^(2/x))L1=1,L2=1L=-1/2a=null五. 不定积分、定积分与广义积分的计算Matlab中计算[a,b]定积分格式 : int(s,v,a,b)其中，s—积分表达式； v—积分变量； a—积分下限，b—积分上限如果求不定积分，无穷积分请大家猜想格式如何？ 例12. 计算解：s='x*exp(-x)'g=int(s,x)ans =-x*exp(-x)-exp(-x) 注意：计算结果只给出一个原函数，没有任意常数Cnull例13. 计算解：syms x; g= int((1+sin(x))*exp(x)/(1+cos(x)),x)例14. 计算解： g= int(sin(x)*exp(-x),x,0,inf) 结果为：1/2例15. 计算解：syms x y围成的第一卦限部分体积vdy=int(4-(x)^2,y,0,4-2*x); v=int(vdy,x,0,2) null六 . 函数的级数展开式格式：taylor(F,a) 功能：F在x=a处的泰勒级数前5项 格式：taylor(F,v) 功能：F对变量v的泰勒展式前5项 格式：taylor(F,v,n) 功能：求F的n 阶泰勒展式,且 (n缺省时默认为 5）解：syms x, y=x*exp(-x), taylor(y,9)ans=x-x^2+1/2*x^3+1/6*x^4+1/24*x^5+1/120*x^6 +1/720*x^7+1/5040*x^8null