微积分_数学模型及其它

� � � 年 第 � 期 !∀ 月 # 八勺∃ � 月夕妙 ∃ � � � 合肥教育学院学报 %& “∋ () &∗ + ,−, .翔忍忿如/, &∗ 0 12 3 (/ .& 4 5 卷 � 期 !总第 ∀ 6 期# 7& 8 5, 八乞∃ � 微积分 、模型及其它 孙宝法 ’ 王圣东 汪峻萍 � ! 、电子学院数学 教研室 , 合肥 � 9 � � 9 :# !� 、合肥工业大学 理学院 ∃ 合肥 � 9 � � � ;# <摘 要 = 本文简要 、总结了微积分中的一 些数学模型 , 并且讨论 了这些模型之间的相 互关系。 一方面 , 说 明数学模型普遍存在于课程之 中, 使大家对数学模型有更加深入和正确的 认识 > 另一方面 , 用模型的观点重新审视微积分 , 突出说明微积分是一个以定积分为核心 的有 机整体 。 【关键词 =微积分 >数学模型 > 数学建模 <中图分类号 = � 6 ∃ 6 文献标识码 =? <文章编号 = � � ; 一 � ; : !� � � #� � 一 � � � 6 一 � ∀ 微积分中的数学模型 为了让学习过高等数学的大学生对微积分有一个全面的了解 , 同时也使他们对数学模型有更清楚 的认识 , 我们用数学模型的观点来回顾一下微积分的 。 ∃ 极限模型 战国时代哲学家庄周所著的《庄子 · 天下篇》中引用过一句话 ≅ “一尺捶 , 日取其半 , 万世不竭 。 ”也 就是说 , 一根长为一尺的木棒 , 每天截去一半 , 这样的过程可以无限制地进行下去 。 把每天截后剩下部 分的长度记 录下来!单位为尺 # , 就得到一个数列 合,奋, ⋯ ,奋, ⋯或Α封 数列偿Β的通项随着 。 的无限增大而无限的接近于 。。 即随着截棒过程无限地进行下去 , 截后所剩部Χ “ 8Δ” 」 ” , Χ Χ ’Χ 目 “ ”“ “ ’卜一 曰 Ε 、 ’∃ , ‘“ ’价 ”切 一 Χ 礴 一 。 一Φ ’Χ 目 Χ ’丫 Χ “ Ε “ ’一协 Χ Χ ’ % ’ 公 ’ 酬 %曰 ’Ε ’平“ “ 尸 分的长度无限地短 。 在这个例子中 , 所剩部分的长度兴随截棒次 。 的变化而变化 , 当 。乙 趋于(& 时 ,条趋‘ 于 Γ。 这就得到数列极限的一个感性实例 。 一般地 , 在一个变化过程中 ,有两个变量 Η 和 Ι , Ι是 Η 的函数 Ι Η 。 士 & , (& 或 士 (& #时 , 考虑 Ι 的变化趋势 , 这个过程就是极限的过程 题都可以归结为极限。 勿 ∗!Η # ϑ ∗! Η# 。 当 Η 有一个变化趋势 !Η 、Η� 。 现实生活和科学实践中 , 有很多问 ! # 可见极限是一个从实际问题中抽象出来 , 又可以广泛地应用于多种实际问题的数学模型 。 ∃ � 导数模型 一质点作直线运动 , 其运动方程为 Κ ϑ 州/# 。 /。为某一确定的时刻 , / 为邻近/� 的时刻 , 段时间内 , 质点的平均速度为 Λ Μ 甲!/ #一 甲!/。# 。 若 ).∋ 甲!/ # 一甲!/。#/ 一 /� / 一 /& 存在且等于 Λ , 则称 Λ , 则在 /。到 /这 为质点在时刻 /� 的瞬时速度 。 这样 , 求质点在这一点的瞬时速度 , 在计算上归结为形如 ).∋ ∗! Η # 一 ∗!Η 。# Ν 一 Ν Γ !� # 的极限问题 。其中 ∗! Η # 一 ∗!Η 。# ∗!Η 。 Ο △ Η # 一 ∗!Η 。# Ν 一 Ν Γ △ Η Μ 鱼工且二二 , Μ ≅ ‘∃ , 、Π Μ Φ 二 , Μ , , 二 Π 赤 , 卜 , , , Π一 △ Η 儿训队 Ι 一 且、人 , 忧人 � 划 Χ , 一阅又 山于。们又小 精确的变化率 , 则要计算 !�# 型的极限 。 而这类问题在生产过程和科学实践中是经常出现的 , 如加速度 、 比热 、线密度 、概率密度 、利率 、经济与人 口随时间的增长率等 。 ∃ 9 微分模型 考虑曲边梯形 Α!Η , Ι# )( ‘ Η ‘Θ , � ‘ Ι‘ ∗!Η #Β的面积 , 其中 ∗!Η #为 < ( , Θ =上的连续函数 。 设变上限Η 。 曲边梯形 Ρ !Η , Ι# )( ‘ Η ‘ Η 。, & ‘ Ι‘ ∗!Η #, ( ‘ Η 。‘ Θ Β的面积是 Κ !Η 。# , 则在点 Η 。 Ο △ Η , 所对 应的面积是 Κ !Η 。 Ο △ Η # ,从 Η 。到 Η 。 Ο △ Η , 面积增量为△ Κ ϑ Κ !Η 。 Ο △ Η # 一 Κ !Η & #。 当 )△ Η )很小时 , △。二 ∗!Η 。# · △ Η , 而且 )△ Η) 越小 , 近似程度越高 。 一般地 , 设 Ι ϑ ∗!Η #在 < ( , Θ =上有意义 , Η 。 。 < ( , Θ = , Η 。 Ο △ Η 。 < ( , Θ = 。 若 ∗!Η #在 Η 。处的增量△ Ι满足△ Ι ϑ ∗!Η 。 Ο △ Η # 一 ∗!Η 。# ϑ ? · △ Η Ο & !△ Η # , 则称 ? · △ Η 为 ∗!Η #在 Η 。处的微分 , 记为 1Ι ϑ ? · △ Η !9 # 上面曲边梯形的例子明 , 【Η� , Η 。 Ο △Η= 上所对应的曲边梯形的面积可以近似表示成 △ Η 的线性函 数 ∗! Η 。# · △ Η 。 如果把 【( , Θ= 上的曲边梯形顺次无限细分成无数多个小曲边梯形 , 而每个小曲边梯形面 积都可以近似表示成的△ Η 线性函数 ∗!Η# · △Η , 那么 , 所考虑的总量 ≅ 曲边梯形的面积 Κ 就被无限细分 成多个小曲边梯形的面积△ Κ , 而每个小面积都可以近似地简单表示成△ Κ二 1 Κ 。 这就得到微分意义的另 一种几何解释 ≅ 微分就是把一个总量无限细分 , 并把其中的部分量表示成 △ Η 的线性函数 。 这种解释更 加切题 , 更加直观 。 从导数与微分的关系知 , Κ !Η #在 Η 处的微分 ≅ 1 Κ ϑ Κ ’ !Η # · △ Η , 可见 , 微分在计算上是 很简单的 。 总之 , 微分是这样的一种数学模型 , 它把所考虑的总量 Σ 无限细分 , 得到无数个分量△ Κ , 在 Η 处的 分量近似为 1 Κ , 称为 Κ 在 Η 处的微分 。这个模型具有广泛的应用背景 , 同时又有很强的可操作性 , 而且它 还是下面介绍的定积分模型的基础与组成部分 。 , 6 定积分模型 求曲边梯形 !Η , Ι# )( ‘ Η 兰 Θ , � ‘ Ι‘ ∗!Η # Β的面积 , 可分为下列 6 步 ≅ ) #分割 ≅把 < ( , Θ )任意分成 4 个小区间 < Η 。一 , , Η Π= , � #近似代替 ≅ △ Κ。“∗!七.# · △ Η ., 7 七> 。 < Η 。一 , , Η >= , . 二 9 #求和 ≅ Κ 二 艺△ Κ >。 艺∗! 动 · △ Η Π 。 6 ,取极限 ≅一物 ‘客“。, · △一 Ρ介!·#、。 二 )、� 、 ·⋯ 4 , 入 ϑ 理怒 Α△ Η .Β。 、� 、⋯ 、 4 。 在这个过程 中 , 关键的是两步 ≅ !)# 无限分割 ≅设想把 【( , Θ= 无限细分 , 得到无数多个小区间。 取其中一个典型团旬【Η , Η Ο 1Η = ,对应 地 , 得到 【Η , Η Ο 1Η ) 上的小曲边梯形 。 根据盯 ∃ 9 微分模型的几何意义 ,得面积微元 1 Κ ϑ ∗!Κ #1Η 。 !� ,无限相加 ≅把 〔一 Θ , 上的无数多个小曲边梯形的面积微元无限相加 , 得 ; ϑ Ρ介!·#1Η 。 一般地 , 如果某一实际问题 中所示量 Τ 符合下列条件 ≅ )#Τ 与一个变量 Η 的变化区间【( , Θ= 有关 > � #Τ 对于区间具有可加性 。 即若把 【( , Θ 分成许多部分区间 , 则 Τ 相应地分成许多部分量△Τ 。, 且 Τ 二 乏△Τ. > 9 #△Τ >“ ∗!七># · △ Η , , !吞。 < Η −一 ) , Η &) , . 二 , � , ⋯ , 4 # , 那么 ,就可以用定积分求出 2 ϑϑ Α≅“·, 1Η !6 # 这样 , 我们就得到了可用定积分解决实际问题的数学模型—微元法 。 不难看出 , 微元法的第一步就是把 Τ 无限细分成无数多个部分量△Τ , 且△ Τ 二 1Τ , 得到 Τ 的微元 1Τ , 这一步实际上就是把 Τ 微 分 > 第二妊愧些 △2 无限树口, “Υ在 〔· , Θ , 上把 12 累积龄 , 得 Ρ≅12 , 这一摊砒报黔一 累积微分。 因此 ,定积分或微元法包含微分与积分这两个过程 , 是微分与积分这两个步骤的统一 。 有的 人把微分与积分割裂开来 ,认为定积分只有积分这一步 , 这种观点显然是错误的 。 ∃ ∀ 不定积分模型 若 ς ‘!Η # ϑ ∗!Η # , 则称 ς!Η #为 ∗!Η #的一个原函数 , 而 ∗!Η #是 ς!Η #的导函数 。称 ς!Η # Ο 。为 ∗!Η #的不定 积分 , 记为 ∗!Η #1Η 二 ς!Η # Ο , !∀ # 因为 · 是任意常数 , 所以 ς!·# Ο ·就表示 ∗!·#的任一个原函数。”。不定积分 Α∗!·#1·实际上是 ∗!·# 的所有原函数的通式 。 在物理应用中 , 已知加速度 ( !/# , 求速度 Λ !/#> 已知速度 Λ! /# , 求位移 Κ !/# , 就是分别求的 (! /# 与 Λ !/# 的原函数 , 从而都转化为求不定积分问题 。 在概率论应用中 , 已知概率密度函数 ∗!Η# , 求概率分布函 数 ς!Η# , 是不定积分的问题 。 常微分方程中的一阶可分离变量方程的求解也是不定积分问题 。 总之 ,不 定积分模型的应用是十分广泛的 。 � 模型间的相互关系 � ∃ 极限是基础与工具 高等数学的许多概念与计算都建立在极限基础之上 , 极限思想是高等数学的基本思想 。 例如 , 函数 Ι 二 ∗! Η# 在 Η 。 的导数就是极限 ≅ ∗, !Η 。# 二 。 ∗! Η # 一 ∗!Η 。# Ν 一 Ν Γ , ∗!Η 。 Ο △ Η # 一 ∗!Η� # ϑ ))Ω—Γ ≅ Χ 诵Γ 艺盛 ΝΙ 二 ∗! Η# 的导函数就是极限 ≅ ∗‘!Η# ϑ 心 Ο △劝 一 ∗!动 —△ 沉一咬】 艺公 Ν, ϑ ∗!Η#Ξ 。· , Θ= 上的积分也是极限 ≅ Β介!Η#1Η ϑ 物 艺∗!七.# · △ Η Π∃� ∃ � 导数与不定积分互为逆运算对于可导函数 Ι 二 ∗! Η # , 可以求出其导函数 Ι‘ 二 ∗’!Η # 二 Ψ !Η #。 一方面 , 若 ∗, !Η # 二 Ψ !Η # , 则称 ∗!Η #为 Ψ!Η #的原函数 。 可见 , 原函数与导函数是两个密切相关的概念 。 另一方面 ,若 Ψ !Η #有原函数 ∗! Η # , 则 Ψ !Η # 有无穷多个原函数 , 而且任一个原函数都可以写成 ∗!Η# Ο , !其中 Ζ 是某常数 # 。这表明 ,求原函数时解是 不唯一的 。 即 ∗, !Η #% 堰旦生争∗!Η # Ο 3进星,Κ 争∗, !Η # ![# ∗!Η #一主遏叶∗, !Η #∴ 主堕鱼邀一∗!Η # Π 。 !:# !:# 式表明 , 求导与求原函数并不是可逆运算 。 但是 , 若把 !:# 式改写成 ∗!Η # Ο Ζ二色是一卜∗, !Η #一玉匾到拉一斗∗!Η # Ο 。 !: , # 则![ #与!: ‘#就表明 1 1 # 1 Η 一 1Ν 其中 , !: ‘#式前后的两个 Α二 ] , !]单位运算# 3 都是任意常数 , 我们不加区别 。 因此 , 引入不定积分概念 , 就可以克服原函数概念的不足 , 使得在求不定积分时解是唯一的 , 从而 , 求导与求不定积分互为逆运算 。 � ∃ 9 积分与微分的逆过程 微分与积分两个过程统一于定积分模型之中 , 正是这两个过程的统一揭示了微积分的本质 。 这一 点已在夸 ∃ 6 中说明过了 , 不再赘述 。 需要指出的是 ,定积分模型是先微分再积分 , 而不能反过来 。 因此 , 积分是微分的逆过程 , 而微分不是积分的逆过程 。 故不能把微分与积分看成互为逆运算 。 � ∃ 6 不定积分与定积分 积分的本意就是累积微分 , 而不定积分是求一个函数的任一个原函数 , 根本没有累积微分 。 从这个 意义上说 , 不定积分不是积分 。 那么为什么又叫它“积分 ”呢 ⊥ 不妨设 ∗! Η# 在区间 【( , Θ 区间上连续 ,且 ∗!Η #之 Γ。 一方面 ,变上限的定积分 , !·卜 Β少!/#1/! 一 「· , Θ=# 就是 ∗!Η #在区 间〔· , Θ= 上的一个原函数 。 另一方面 , 把 ∗!·#连续延拓到 !一 , Ο (Γ # , 得 ς!· # , 满足 Φ !· #_ & , ΒΑ二 ς!/#1 / ϑ Ο ΓΓ , Α≅ ∃ Φ !/#(/ ϑ 一 , 让下限变动至。。 , 得变动上限和变动下限的定积分 Ρ≅ς!/#1 /, ; 。 !一 , Ο 。 #∃ 贝。 ς!/#1 / ϑ Ρ ς!/#1 / Ο Β ∗!/#1 / 二 小!Η # Ο ]ς!/#1 /∃ % 9 % 9 % Σ % 因为厂ς!/#1 /是 · 的连续函数 , 且 ΒΑ∃ ς!/#‘/ ϑ Ο (Γ 定理 , 存在 Σ , , 使 Ρ≅ς!/#1 / ϑ 。。 ς! /# 1/ 二 一 && , 所以 , 对于任意常数 。 , 根据介值 综合以上两方面 , 我们可以断言 ≅ 令活动上限 · 为自变量 , 活动下限 ; 为参数 , 则形式定积分Β(Λ!/ # 1/ 就是 ∗! Η# 的不定积分 。 换句话 , 不定积分是一种特殊形式的定积分 , 是上限与下限都不定的定积分 。 因此 ,称之为“积分”是合情合理的 。 9 主要结论 9 ∃ 数学模型是普遍存在的 如 列举了一元 函数微积分中主要的数学模型 。 当然 , 一元函数微积分中还有很多模型 , 如极值 、 最 值 、拐点 、泰勒公式 、广义积分等 。 在多元函数微积分中 , 相应地也有类似于一元函数的数学模型 , 而且 形式更多 , 如积分模型中有二重积分 、 三重积分 、第一型和第二型曲线积分 、第一型和第二型曲面积分 , 它们之间又有复杂的关系 。 在级数中 , 有数项级数 、 函数项级数模型 。 因此 , 仅就微积分这一 门课程而 言 , 就有许多数学模型 。 同样 ,在数学的其它分支以及理 、工 、农 、经等课程 中 , 数学模型也俯拾即是 。 一 句话 ,数学模型是普遍存在的。 谈到数学模型 , 我们有必要分析一下大学生对数学模型的认识 。 所有的大学生都学过数学 , 而且成 绩不错 。 但是提到数学模型 , 仍然有很多人感到高不可攀 。 他们会说 , 难 Ρ那是聪明人的游戏 , 与我们没 有多大关系 。 有相当一部分学生没有能够把数学模型与相关课程结合起来 ,他们只是按部就班地听课 、 做作业 、 参加考试 , 成 了被动学习的机器 。 他们很少去考虑课程中包含的数学模 型 , 更谈不上 自己去建 立数学模型了 。 到他们学习完数学课程之后 , 除了极少数人有机会参加数学建模训练与比赛之外 , 大多 数人都缺乏数学模型与数学建模 的意识 。 这对于他们将来的学习与工作是十分不利的 。 “数学模型是普遍存在的”这一结论说明了目前大学生对数学模型的认识是片面性的 , 他们的学习 方法也不是很好 。 为了纠正这种片面的认识 , 克服那些不 良的学习方法 , 这就要求教师和学生注意到这 一点。 在教学中 , 教师要有意识地介绍一些数学模型 , 引导学生注意课程中隐含的数学模型 。 总之 ,教师 和学生都要加强数学模型意识 , 把数学模型思想融会到 日常学习中去 , 内化为学生综合素质的一部分 , 让他们享用终生 。 9 ∃ � 定积分模型是微积分的核心 微积分由微分学与积分学两部分组成 。 微分学主要研究函数的导数与微分 , 积分学主要研究定积 分与不定积分 。 妇 ∃ 9 已说明定积分包含微分与积分这两个过程 , 可见 , 微分模型只是定积分模型的一个 子模型 。牡 ∃ 6 说明不定积分是定积分的变形 , 即不定积分也是从定积分衍生出来的模型 。 多元 函数中的 重积分 、 曲线积分 、 曲面积分都是定积分向积分区间 、 被积函数这两方面的推广 。 当对积分区域再加 以 推广 , 就可以得到⎯ “ 中、复域中、甚至是流形上的积分 。 以上这些都是黎曼积分 。 如果从另外的角度 , 我 们又可以得到 8, Θ,Κ Ψ2 , 积分 , Σ/. ,) /−,Κ 积分等。 所有这些都说明了 , 定积分模型是微积分的核心 , 而且是一个十分开放的模型 。 因此 , 我们可以毫 不夸张地说 ,定积分模型是迄今为止数学史上最大而且最漂亮的模型 。 【参考文献 = 【)= 同济大学数学教研室主编 ∃ 高等数学 , 北京 ≅ 高等教育出版社 , ;; [ 【�」刘玉琏 , 傅沛仁 ∃ 数学分析讲义 ∃ 北京 ≅高等教育出版社 , ; 5∀ 「9= 华东师范大学数学系编 ∃ 数学分析 ∃ 北京 ≅高等教育出版社 , ;5 � 【6= 李尚志主编 ∃ 数学建模竞赛教程 ∃ 南京 ≅ 江苏教育出版社 , ; α 【∀= 王树禾编著 ∃ 数学模型基础 ∃ 合肥 ≅ 中国科学技术大学出版社 , ; ; [ <贵任编辑 张永军 = Ζ ( )3 2 )2 Κ 、β ( /χ ,∋ ( /. 3 () β & 1 ,) ( 4 1 0 )Κ, ΣΤ δ ε ( 。 一 ∗( ‘ φ ?δγ Σχ, 4 Ψ 一 1& 4 Ψ ‘ φ ? δγ −2 4 一 Υ .4扩 了= ∃ 0), 3/ Φ& 瓜。 召几乎4, ,Φ. 4Ψ 加公以, , 月价 �刃毋 : � ∃ 均范. Τ4 诫ΦΚ ./, &∗ η, 3χ 4& ),盯 , 刀刁砂 �了�� 四 ? Θ Κ/Φ ( , / ≅ ]4 /χ, (Φ/ ., ), Κ& ∋ , ∋ ( /χ, ∋ ( /., () ∋ & 1 ,)Κ & ∗ 1 .∗∗, Φ, 4 /.( ) ( 4 1 .4 /, ΨΦ () ,习, 2 )2 Κ ( Φ , ( 4 ( )Ιι , 1 ( 4 1 Κ 2 ∋ ∴ ∋ (Φ. ι, 1 , (4 1 /χ , Φ, )( /.& 4 Κχ.ϕ & ∗ /χ, Κ , ∋ & 1 , )Κ ∀ 1 .Κ , 2 ΚΚ , 1 ∃ Γ 4 & 4 , χ(4 1 , /χ.Κ ϕ(Υ , Φ χ,)ϕ /χ , Φ, ( 1 , Φ Κ 2 4 1 , Φ Κ/( 4 1 ∋ ( /χ, ∋ (/ ., () ∋ & 1 ,)Κ 1 , , ϕ, Φ (4 1 ∋ & Φ, , & ΦΦ , , /)Ι ΘΙ /χ, 2 4 .Λ,ΦΚ () , Η .Κ /, 4 , , & ∗ ∋ ( /χ , ∋ (/ ., () ∋ & 1 , )≅ & 4 /χ , & /χ , Φ χ( 4 1 , ./ ∀ Κ /( /, 1 /χ ( / 1 ,∗. 4 ./, .4 /, Ψ司 ∋ & 1 , ) ∀ /χ, Ξ, ∋ , ) & ∗ , () , 2)2 Κ∃ κ ,Ι λ & Φ1 Κ ≅ , ( ), 2 )2 Κ , ∋ ( /χ, ∋ ( /., () ∋ & 1 , ), ∋ ( /χ , ∋ ( /.,() ∋ & 1 ,).4 Ψ