第三章解析函数的幂级数展开

第三章解析函数的幂级数展开¤ 第三章解析函数的幂级数展开¤ 目录 x1 复常数项级数2 一基本概念与基本判敛法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 二*判敛法的进一步讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 x2 复函数项级数5 一普通函数项级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 二一致收敛的函数项级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 三解析函数项级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 四*Riemann ³ 函数、Riemann 假设与千禧数学难题. . . . . . . . . . . . . . . 12 x3 幂级数14 一幂级数的敛散性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 二收敛半径的求法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 三和函数的解析性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 x4 解析函数的Taylor 展开16 一Taylor 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 二展开式的收敛半径. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 三初等单值函数的Taylor 展开式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 四初等多值函数的Taylor 展开式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 x5 解析开拓的基本概念21 ¤ c° 1992{2004 林琼桂 本讲义是中山大学物理系学生学习“数学物理方法”课程的参考，由林琼桂编写制作．欢迎任何个人 复制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售． 1 x1 复常数项级数2 本章先介绍复数级数、尤其是幂级数的性质，然后利用Cauchy 积分导出解析函数 的Taylor 展开式． x1 复常数项级数 一基本概念与基本判敛法 复常数项级数具有形式 1 Xk=1 ®k = ®1 + ®2 + ¢ ¢ ¢ + ®k + ¢ ¢ ¢ ; (1) 其中每一项都是复数，sn = Pn k=1 ®k 称为其部分和，如果limn!1 sn = s 是有限复数，则称 级数(1) 收敛于s，s 称为其和，记作P1k=1 ®k = s，否则称级数(1) 发散． 注发散包括两种情况：1° limn!1 sn = 1；2° 数列fsng1n=1 没有极限． 设®k = ak + ibk（其中ak 2 R; bk 2 R; k 2 N），则不难证明，级数(1) 收敛的充要条件是级 数P1k=1 ak 和P1k=1 bk 均收敛．这使得我们原则上可以用实级数的判敛方法来对复级数进行判敛，但 在实用上这并不是很有效．比如级数P1k =1(p + iq)k（其中p 2 R; q 2 R），其通项的实部和虚部都比 较复杂，难以用上述方法来判敛． 根据上述充要条件，如果级数(1) 发散，则级数P1k=1 ak 和P1k=1 bk 不可能都收敛，但其中有一 个收敛显然是可能的．比如当所有的ak = 0，则P1k=1 ak 显然收敛，不过这是平庸的情况．非平庸一点 的例子如级数P1k=1(1=k2 + i=k)，它显然发散，但其实部所构成的级数是收敛的． 对于数列fsng1n=1 是否收敛、即其极限是否存在的问题，类似于实数列，我们有Cauchy 收敛原理：数列fsng1n=1 收敛的充要条件是，8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N， 均有jsn+p ¡ snj < "．（这一精确描述的大意是：当数列的下标足够大以后，任取两项，其 距离都可以任意小．更形象地说，越往后，数列的各项就越是挤在一起．这样自然就有极限 了．）据此，立得关于级数(1) 的Cauchy 收敛原理： 定理（Cauchy 收敛原理） 级数(1) 收敛的充要条件是，8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N，均有¯¯¯¯¯ p Xk=1 ®n+k¯¯¯¯¯ < ": (2) 作为上式的特例，取p = 1，即得®n+1 < "，所以级数(1) 收敛的必要条件是 lim k!1 ®k = 0: (3) 如果这一条件得不到满足，我们马上可以断定级数是发散的． Cauchy 收敛原理无疑是一个最基本的判别法，但是使用这一判别法需要计算式(2) 中 的求和，或至少要估计其上限（更准确地说，是估计其模的上限），这只有在少数简单情况 下可以做得到，比如几何级数P1k =1 ®k． x1 复常数项级数3 根据Cauchy 收敛原理，在级数(1) 中添加或去掉有限项，并不改变级数的收敛或发散 性质． 如果级数 1 Xk=1 j®kj (4) 收敛，则称级数(1) 绝对收敛．收敛但不绝对收敛的级数称为条件收敛． 定理绝对收敛的级数必定收敛． 这是因为¯¯¯¯¯ p Xk=1 ®n+k¯¯¯¯¯ · p Xk=1 j®n+kj: 设®k = ak + ibk（其中ak 2 R; bk 2 R; k 2 N），显然jakj · j®kj，jbkj · j®kj，而j®kj · jakj+jbkj，由正项级数收敛的比较判别法，易知级数(1) 绝对收敛的充要条件是级数P1k =1 ak 和P1k=1 bk 均绝对收敛．当然，级数(1) 条件收敛甚至发散，并不排除级数P1k=1 ak 和P1k=1 bk 当中可以有一个 绝对收敛．比如当所有的ak = 0，则P1k=1 ak 显然绝对收敛，不过这是平庸的情况．非平庸一点的例 子如级数P1k=1(cos kµ=k2 + i=k) 和P1k=1[cos kµ=k2 + i(¡)k¡1=k] （其中0 · µ < 2¼），前者显然发 散，而后者条件收敛，但它们的实部所构成的级数是绝对收敛的． 在实际操作上，给定一个级数，我们先看看式(3) 是否满足，若不满足，我们马上可以 断定级数发散．若式(3) 得到满足，再看相应的级数(4) 是否收敛，若收敛，则原级数绝对 收敛．由于级数(4) 是正项级数，我们可以用正项级数的种种判别法来判敛，比如比较判别 法、Cauchy 判别法、d' Alembert 判别法、Cauchy 积分判别法等．如果式(3) 得到满足，而 相应的级数(4) 又不收敛，则需要进一步判断原级数是发散还是条件收敛．不过，如果是由 Cauchy 判别法或d' Alembert 判别法得到级数(4) 发散，则原级数必定也发散，因为这时 式(3) 必不满足．其它情况下要进一步判断原级数是否条件收敛就比较困难．这时可以尝试 计算式(2) 中的求和，或估计其上限，如果成功，就可以用Cauchy 收敛原理来判断，如果 式(2) 中的和式无法计算或估计上限，则可以尝试下面介绍的方法．就我们所知，并没有什 么方法能够百分之百地解决任何级数的判敛问题． 例1 几何级数P1k=1 ®k．当j®j < 1 时，由于正项级数P1k =1 j®jk 收敛，故原级数绝 对收敛．当j®j ¸ 1 时，式(3) 不能成立，故原级数发散． 二*判敛法的进一步讨论 下面介绍一些更细致的判别法．对于和式Pn k=1 ak®k，其中ak 2 R，®k 2 C，令 Ak = k Xi=1 ®i; (5) 则®k = Ak ¡ Ak¡1，其中A0 ´ 0．于是Pn k=1 ak®k = Pn k=1 ak(Ak ¡ Ak¡1) = Pn k=1 akAk ¡ Pn k=1 akAk¡1 = Pn k=1 akAk ¡Pn¡1 k=1 ak+1Ak = anAn +Pn¡1 k=1(ak ¡ ak+1)Ak，即 n Xk=1 ak®k = anAn + n¡1 Xk=1 (ak ¡ ak+1)Ak: (6) x1 复常数项级数4 上式称为Abel 变换，它把一个求和变成另一个求和，这对于和式的计算未必有帮助，但在估计和式的上 限时会很有用，下面马上就可以看到．如果ak 2 C，上式仍然成立，但下面用到的都是ak 2 R 的情况． 引理（Abel） 若fakgn k=1 单调（增加或减少），而fAkgn k=1 有界，即9 M > 0，使得jAkj · M， 则¯¯¯¯¯ n Xk=1 ak®k¯¯¯¯¯ · M(ja1j + 2janj): (7) 注“fakgn k =1 单调”就意味着ak 2 R，因为虚部不为0 的复数是没有大小可言的． 证明由Abel 变换式(6)，有 ¯¯¯¯¯ n Xk=1 ak®k¯¯¯¯¯ · janjjAnj + n¡1 Xk=1 jak ¡ ak+1jjAkj · Mjanj + n¡1 Xk=1 Mjak ¡ ak+1j: 若fakgn k=1 单调减少，则ak ¡ ak+1 为正数，这时jak ¡ ak+1j = ak ¡ ak+1，故 ¯¯¯¯¯ n Xk=1 ak®k¯¯¯¯¯ · Mjanj + n¡1 Xk=1 M(ak ¡ ak+1) = Mjanj +M(a1 ¡ an) · M(ja1j + 2janj): (8a) fakgn k=1 单调减少的一种特殊情况是a1 ¸ a2 ¸ ¢ ¢ ¢ ¸ an ¸ 0，这时容易看出 ¯¯¯¯¯ n Xk=1 ak®k¯¯¯¯¯ · Mjanj + n¡1 Xk=1 M(ak ¡ ak+1) = Man +M(a1 ¡ an) · Ma1: (8b) 这是一个更强的结果．若fakgn k =1 单调增加，则ak ¡ ak+1 为负数，这时jak ¡ ak+1j = ak+1 ¡ ak，故 ¯¯¯¯¯ n Xk=1 ak®k¯¯¯¯¯ · Mjanj + n¡1 Xk=1 M(ak+1 ¡ ak) = Mjanj +M(an ¡ a1) · M(ja1j + 2janj): (8c) 综合式(8a) 和式(8c)，即得式(7)，证毕． 有了Abel 引理，马上可以得到以下两个判别法． 定理（Abel 判别法） 若数列fakg1k=1 单调有界，而级数P1k=1 ®k 收敛，则级数P1k=1 ak®k 收 敛． 注°1 如果P1k =1 ®k 是正项级数且收敛，则只要数列fakg1k =1 有界，级数P1k =1 ak®k 就收敛，而 且是绝对收敛．在直观上，这是很容易理解的．证明也很容易．事实上，数列fakg1k=1 有界意味着9 K > 0，使得jakj · K，8 k．今¯¯¯Pn+p k=n+1 jak®kj¯¯¯ = Pn+p k=n+1 jakj®k · KPn+p k=n+1 ®k = K¯¯¯Pn+p k=n+1 ®k¯¯¯， 故由正项级数P1k=1 ®k 收敛，立得级数P1k =1 ak®k 绝对收敛．°2 但是，现在®k 可正可负，也可能是 复数，这时，数列fakg1k=1 不仅要有界，而且必须单调，才能保证级数P1k=1 ak®k 收敛．这一单调的 要求虽然不是很直观，但很容易举例说明这一要求是无法取消的．比如ak = (¡)k¡1 显然有界，但不单 调，若®k = (¡)k¡1=k，则P1k=1 ®k = P1k=1(¡)k¡1=k 收敛，但P1k =1 ak®k = P1k=1 1=k 发散．有的 读者可能会认为这是由于ak 可正可负造成的，那么如果ak 非负且有界，是否就可以不必单调呢？答案 还是不可以．比如ak = 1 + (¡)k¡1=pk 显然有界而且是恒正的，但不单调，如果®k = (¡)k¡1=pk， 则P1k=1 ®k = P1k=1(¡)k¡1=pk 收敛，但这时P1k=1 ak®k = P1k =1[1=k + (¡)k¡1=pk] 是发散的．由 此可见，数列fakg1k=1 单调的要求是很重要的． 证明已知数列fakg1k =1 有界，则9 K > 0，使得jakj · K，8 k．而级数P1k=1 ®k 收敛，故 8 " > 0，9 n0 2 N，使得当n > n0 时，有 ¯¯¯¯¯ n+m X k=n+1 ®k¯¯¯¯¯ · "; 8 m 2 N: x2 复函数项级数5 又数列fakg1k=1 单调，由Abel 引理，当n > n0， ¯¯¯¯¯ n+p X k=n+1 ak®k¯¯¯¯¯ · "(jan+1j + 2jan+pj) · 3K"; 8 p 2 N: 由Cauchy 收敛原理，级数P1k =1 ak®k 收敛．证毕． 定理（Dirichlet 判别法） 若数列fakg1k=1 单调趋于0，而级数P1k =1 ®k 的部分和有界，则级数 P1k =1 ak®k 收敛． 证明已知数列fakg1k=1 趋于0，则8 " > 0，9 n0 2 N，使得当k > n0 时，有jakj < "．而级数 P1k =1 ®k 的部分和有界，故9 M > 0，使得jskj · M，8 k 2 N，于是， ¯¯¯¯¯ n+m X k=n+1 ®k¯¯¯¯¯ = jsn+m ¡ snj · jsn+mj + jsnj · 2M; 8 n;m 2 N: 又数列fakg1k=1 单调，由Abel 引理，当n > n0， ¯¯¯¯¯ n+p X k=n+1 ak®k¯¯¯¯¯ · 2M(jan+1j + 2jan+pj) < 6M"; 8 p 2 N: 由Cauchy 收敛原理，级数P1k =1 ak®k 收敛．证毕． 例2 研究级数P1k=1 eikµ=ks 的敛散性，其中0 · µ < 2¼，s > 0． 解由于s > 0，收敛的必要条件总是满足的． (1) 如果s > 1，由于其模构成的级数P1k =1 1=ks 收敛，故原级数绝对收敛．由此可知，级数 P1k =1 cos kµ=ks 和P1k=1 sin kµ=ks 当s > 1 时绝对收敛． (2) 如果0 < s · 1，由于其模构成的级数P1k=1 1=ks 发散，故原级数不能绝对收敛．若µ = 0， 原级数亦成为P1k=1 1=ks，显然发散．若µ 6= 0，我们就有 ¯¯¯¯¯ n Xk=1 eikµ¯¯¯¯¯ =¯¯¯¯ eiµ(1 ¡ einµ) 1 ¡ eiµ ¯¯¯¯ = j sin(nµ=2)j sin(µ=2) · 1 sin(µ=2); (9) 亦即级数P1k=1 eikµ 的部分和数列有界，而数列f1=ksg1k=1 单调趋于0，根据上面的Dirichlet 判别法， 原级数收敛，亦即条件收敛．由此可知，级数P1k =1 cos kµ=ks 和P1k=1 sin kµ=ks 当0 < s · 1 且µ 6= 0 时收敛，不过对于后一级数，µ 6= 0 的限制是不必要的，因为这时它的通项为0，是一个平庸的级数．这 两个级数之所以能够收敛，主要是因为三角函数的出现使得各项有正有负，互相抵消． 前面指出，当原级数条件收敛时，级数P1k=1 cos kµ=ks 和P1k=1 sin kµ=ks 当中有一个绝对收敛是 可能的．不过，实际上这两个级数都不能绝对收敛．事实上，j cos kµj ¸ cos2 kµ = (1+cos 2kµ)=2，由于 P1k =1 1=ks 发散而P1k=1 cos 2kµ=ks 收敛，故正项级数P1k=1(1+cos 2kµ)=2ks 发散，由正项级数的比 较判别法，P1k=1 j cos kµj=ks 发散．类似可证P1k=1 j sin kµj=ks 发散． x2 复函数项级数 一普通函数项级数 设级数 1 Xk=1 fk(z) (10) x2 复函数项级数6 的每一项都是定义在点集E 上的复变函数，则该级数称为复函数项级数，sn(z) = Pn k=1 fk(z) 称为其部分和．如果对E 中的一点z0，常数项级数P1k=1 fk(z0) 收敛，则称级数(10) 在z0 收敛；如果8 z 2 E，级数(10) 都收敛，则称它在点集E 上收敛，这时级数在E 上每点有 和，记作f(z)，称为其和函数，即 1 Xk=1 fk(z) = f(z): 从上述定义可以看出，这是一个逐点收敛的概念．取定一点，则级数(10) 成为一个常 数项级数，其判敛方法与上节所述无异． 二一致收敛的函数项级数 对于函数项级数的研究，不能只是满足于逐点收敛的概念．因为即使级数(10) 在E 上 处处收敛，我们也看不出它在E 上各点的行为有何共性．既然是函数项级数，我们自然更关 心这种共性．更重要的是，即使级数(10) 在E 上处处收敛，我们也无法由级数中各项均具 有某种性质（比如连续、可导）而推断其和函数具有同种性质．为了研究和函数的性质，一 个关键的概念是一致收敛，即级数在各点的收敛速度大致相同．这一概念的精确描述如下． 定义（一致收敛） 设在点集E 上存在函数f(z)，如果8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时， jsn(z) ¡ f(z)j < " 在E 上处处成立，则称级数(10) 在E 上一致收敛于f(z)． 按这一定义，一致收敛当然就收敛，但反之则不然．让我们看看收敛与一致收敛的区别 在于何处．如果级数(10) 在E 上收敛于f(z)，则8 " > 0，对于每一点z 2 E，9 n0 2 N， 当n > n0 时，jsn(z) ¡ f(z)j < " 在该点z 成立，由此可以看出，对于同样的"，不同的点 z 可能需要不同的n0，即n0 = n0("; z)．这样就存在一种可能性，当z 沿某一趋势变化时， 比如z ! z0 （其中z; z0 2 E）时，所需的n0 越来越大，以至于我们无法找到n0("; z) 的上 限，亦即找到一个共同的n0，使得当n > n0 时，jsn(z) ¡ f(z)j < " 在E 上一致成立．而一 致收敛的定义正是要求存在这样一个共同的n0 = n0(")，它不依赖于z，而只与" 有关． 一致收敛的基本判别法是Cauchy 一致收敛原理： 定理（Cauchy 一致收敛原理） 级数(10) 在E 上一致收敛的充要条件是，8 " > 0，9 n0 2 N， 当n > n0 时，8 p 2 N 和z 2 E，均有 ¯¯¯¯¯ pX k=1 fn+k(z)¯¯¯¯¯ < ": (11) 证明必要性．按定义，若级数(10) 一致收敛，则存在函数f(z)，8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N 和z 2 E，有 jsn(z) ¡ f(z)j < "=2; jsn+p(z) ¡ f(z)j < "=2; x2 复函数项级数7 于是，当n > n0 时，8 p 2 N 和z 2 E，有 ¯¯¯¯¯ pX k=1 fn+k(z)¯¯¯¯¯ = jsn+p(z) ¡ sn(z)j = j[sn+p(z) ¡ f(z)] ¡ [sn(z) ¡ f(z)]j · jsn+p(z) ¡ f(z)j + jsn(z) ¡ f(z)j < ": 充分性．按已知条件，级数(10) 在E 上收敛，故在每点有和，记和函数为f(z)，即limn!1 sn(z) = f(z)．又按已知条件，8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N 和z 2 E，式(11) 成立，将它改写为 jsn(z) ¡ sn+p(z)j < "; 令p ! 1，得到 jsn(z) ¡ f(z)j · "; 由于该式在E 上一致成立，故原级数一致收敛．证毕． 例1 级数 1Xk=1 (¡)k¡1 k + x2 在x 2 (¡1;+1) 上一致收敛．事实上，当p = 2q，q 2 N，有 ¯¯¯¯¯ n+2q X k=n+1 (¡)k¡1 k + x2¯¯¯¯¯ = 1 (n + 1) + x2 ¡ · 1 (n + 2) + x2 ¡ 1 (n + 3) + x2 ¸¡ ¢ ¢ ¢ ¡ · 1 (n + 2q ¡ 2) + x2 ¡ 1 (n + 2q ¡ 1) + x2 ¸¡ 1 (n + 2q) + x2 < 1 (n + 1) + x2 < 1 n ; 当p = 2q ¡ 1，q 2 N，有（第三行· 号中的等号当q = 1，亦即p = 1 时成立） ¯¯¯¯¯ n+2q¡1 X k=n+1 (¡)k¡1 k + x2¯¯¯¯¯ = 1 (n + 1) + x2 ¡ · 1 (n + 2) + x2 ¡ 1 (n + 3) + x2 ¸¡ ¢ ¢ ¢ ¡ · 1 (n + 2q ¡ 2) + x2 ¡ 1 (n + 2q ¡ 1) + x2 ¸ · 1 (n + 1) + x2 < 1 n ; 因此，只要取n0 > 1="，则当n > n0 时， ¯¯¯¯¯ n+p X k=n+1 (¡)k¡1 k + x2¯¯¯¯¯ < "; 对一切x 2 (¡1;+1) 和p 2 N 成立． 但对于任何x 2 (¡1;+1)，该级数不能绝对收敛．事实上， 1Xk=1¯¯¯¯ (¡)k¡1 k + x2¯¯¯¯ = 1Xk=1 1 k + x2 ; 而右边的正项级数发散，这是因为正项级数P1k=1 1=k 发散，而 lim k!1 1=(k + x2) 1=k = lim k!1 k k + x2 = lim k!1 1 1 + x2=k = 1: x2 复函数项级数8 例2 级数P1k =1 zk 当jzj < 1 时绝对收敛，因为正项级数P1k=1 jzjk 当jzj < 1 时收敛．但该级 数在单位圆jzj < 1 上不能一致收敛，事实上，易得和函数f(z) 与部分和sn(z) 为 f(z) = z 1 ¡ z ; sn(z) = z(1 ¡ zn) 1 ¡ z ; 故 jsn(z) ¡ f(z)j =¯¯¯¯ zn+1 1 ¡ z¯¯¯¯ = jzjn+1 j1 ¡ zj ; 只要取 n0 = ·ln("j1 ¡ zj) ln jzj ¸; 则当n > n0 时，有 jsn(z) ¡ f(z)j < ": 然而，上述n0 不仅依赖于"，而且依赖于z，当jzj ! 1 时，n0 会越来越大，以至于无法找到一个共同 的n0，使上式在jzj < 1 上一致成立，因此原级数不能一致收敛． 由以上二例可以看到，一致收敛与绝对收敛之间没有因果关系． 下面给出的一致收敛的Weierstrass 判别法是一个充分条件，它是一个非常有用的判别法，但象上 面的例1 是无法用它来判断的． 下面给出一个一致收敛的充分条件，它是一个常用的判别法． 定理（Weierstrass M{判别法） 如果存在正数列fMkg1k=1，使得 jfk(z)j · Mk; 8 z 2 E; k 2 N; 且正项级数P1k=1Mk 收敛，则级数(10) 在E 上绝对收敛且一致收敛． 证明由正项级数P1k=1Mk 收敛和比较判别法，级数P1k =1 jfk(z)j 在E 上收敛，亦即级数(10) 在E 上绝对收敛． 又正项级数P1k=1Mk 收敛意味着8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N，有 pX k=1 Mn+k < ": 由已知条件， ¯¯¯¯¯ pXk = 1 fn+k(z)¯¯¯¯¯ · pX k=1 jfn+k(z)j · pX k=1 Mn+k < " 在E 上一致成立，由Cauchy 一致收敛原理，级数(10) 在E 上一致收敛．证毕． 例3 级数P1k =1 zk 在闭圆jzj · r < 1 上绝对收敛且一致收敛．事实上，存在正项级 数P1k =1 rk 满足上述定理的要求．但该级数在单位圆jzj < 1 上不能一致收敛，参看上面的 例2． 例4 级数P1k=1 eikµ=ks 当s > 1 时在0 · µ < 2¼ 上绝对收敛且一致收敛．事实上， 存在正项级数P1k=1 1=ks 满足上述定理的要求．等价地说，级数P1k=1 zk=ks 当s > 1 时在 单位圆周jzj = 1 上绝对收敛且一致收敛． x2 复函数项级数9 例5 由上节例2 已经知道，级数P1k=1 eikµ=ks 当0 < s · 1 且µ 6= 0 时条件收敛．下面进一步 证明，它在± · µ · 2¼ ¡ ± 上一致收敛，其中0 < ± < ¼． 事实上，当µ 6= 0 时，由式(9)， ¯¯¯¯¯ n+m X k=n+1 eikµ¯¯¯¯¯ =¯¯¯¯¯ m Xk=1 eikµ¯¯¯¯¯ · 1 sin(µ=2); 当± · µ · 2¼ ¡ ± 时，±=2 · µ=2 · ¼ ¡ ±=2，从而sin(±=2) · sin(µ=2) · 1，故 ¯¯¯¯¯ n+m X k=n+1 eikµ¯¯¯¯¯ · 1 sin(±=2): 由于数列f1=ksg1k=1 单调减少且恒正，故由式(8b) 可得 ¯¯¯¯¯ n+p X k=n+1 eikµ ks¯¯¯¯¯ · 1 sin(±=2) 1 (n + 1)s < 1 ns sin(±=2): 只要取n0 > 1=[" sin(±=2)]1=s，则当n > n0 时，8 p 2 N， ¯¯¯¯¯ n+p X k=n+1 eikµ ks¯¯¯¯¯ < " 在± · µ · 2¼ ¡ ± 上一致成立，由Cauchy 一致收敛原理，原级数在± · µ · 2¼ ¡ ± 上一致收敛．注 意本题无法用Weierstrass M{判别法来判断． 一致收敛的重要性体现在下面的定理上． 定理（和函数连续） 若级数(10) 的各项均在点集E 上连续，且级数在E 上一致收 敛于函数f(z)，则f(z) 亦在E 上连续． 证明已知级数在E 上一致收敛于函数f(z)，故8 " > 0，9 n 2 N，使 jsn(z) ¡ f(z)j < "=3 在E 上一致成立．另一方面，由于级数的各项均在点集E 上连续，故sn(z) 亦在点集E 上连续，于 是，8 " > 0，9 ± > 0，使得当jz ¡ z0j < ± 时，有 jsn(z) ¡ sn(z0)j < "=3: 于是，当jz ¡ z0j < ± 时， jf(z) ¡ f(z0)j = jf(z) ¡ sn(z) + sn(z) ¡ sn(z0) + sn(z0) ¡ f(z0)j · jf(z) ¡ sn(z)j + jsn(z) ¡ sn(z0)j + jsn(z0) ¡ f(z0)j < "=3 + "=3 + "=3 = "; 亦即和函数在E 上连续．证毕． x2 复函数项级数10 例6 考虑级数(10)，其中f1(z) = z，fk(z) = zk ¡zk¡1（k = 2; 3; ¢ ¢ ¢ ），显然sn(z) = zn，故级数在单位圆jzj < 1 和点z = 1 处收敛，特别地，它在z = x 2 [0; 1] 上收敛，在该 区间上，其和函数为 f(x) = ( 0; 0 · x < 1; 1; x = 1: 显然和函数在x = 1 处不连续，这是由于级数在z = x 2 [0; 1] 上不能一致收敛．事实上 jsn(x) ¡ f(x)j = ( xn; 0 · x < 1; 0; x = 1: 为使n > n0 时，jsn(x) ¡ f(x)j < "，需取n0 ¸ ln "= ln x，当x ! 1，n0 越来越大，因此无 法找到共同的n0，使jsn(x) ¡ f(x)j < " 一致成立． 由上例可以看出，尽管级数的各项都具有良好的解析性质，并且级数在点集E 上处处 收敛，但其和函数仍然可能在E 上不连续，由此可见一致收敛的重要性． 和函数在点z0 2 E 连续就是limz!z0 f(z) = f(z0)，也就是 lim z!z0 1 Xk=1 fk(z) = 1 Xk=1 fk(z0) = 1 Xk=1 lim z!z0 fk(z): 所以，可以等价地说，取极限与求和可以交换次序，其前提是级数要一致收敛． 定理（逐项积分） 若级数(10) 的各项均在曲线C 上连续，且级数在C 上一致收敛于 函数f(z)，则可以沿C 逐项积分，即 ZC f(z) dz = 1 Xk=1 ZC fk(z) dz: (12) 证明记曲线C 的长度为L．已知级数在C 上一致收敛于函数f(z)，故8 " > 0，9 n0 2 N，当 n > n0 时， jsn(z) ¡ f(z)j < "=L 在C 上一致成立，于是，当n > n0 时， ¯¯¯¯¯ n Xk=1 ZC fk(z) dz ¡ ZC f(z) dz¯¯¯¯¯ =¯¯¯¯ZC [sn(z) ¡ f(z)] dz¯¯¯¯ · ZC jsn(z) ¡ f(z)j jdzj < " L ZC jdzj = ": 证毕． 式(12) 可以写作 1 Xk=1 ZC fk(z) dz = ZC 1 Xk=1 fk(z) dz: (120) 亦即积分与求和可以交换次序，其前提是级数要一致收敛． 很容易想到的一个问题是，什么情况下求导与求和可以交换次序？当然，只有在级数各 项均可导、或者说各项均解析的条件下，这一问题才有意义．所以这是一个关于解析函数项 级数的问题，下一小节就会给出答案． x2 复函数项级数11 三解析函数项级数 若级数(10) 的各项均为解析函数，就称为解析函数项级数．关于解析函数项级数，有 下面的重要定理． 定理（Weierstrass） 若级数(10) 的各项均在区域D 内解析，且级数在D 内的任一有 界闭集上一致收敛（称为在D 上内闭一致收敛）于函数f(z)，则 (1) 和函数f(z) 在D 内解析； (2) 级数P1k=1 f(p) k (z) 在D 上内闭一致收敛到f(p)(z)，其中p 2 N． 注1° 这是一个非常重要的定理，它是级数理论的基石，所以复变函数论中的级数理 论也称为Weierstrass 级数理论．2° 这个定理是微积分中所没有的．在微积分中，要求级 数P1k=1 fk(x) 在区间[a; b] 上收敛，各项都具有连续导数，且P1k=1 f0k (x) 在[a; b] 上一致 收敛，才能逐项求导一次，并且不能保证可以进一步逐项求导．而这里只要求原级数一致收 敛，且各项解析，那么就可以不断地逐项求导，且求导后的级数也一致收敛到和函数的同阶 导数．3° 总的来说，这一结果很容易理解，但需注意其前提仍然是级数要一致收敛．4° 这 里要求级数在D 上内闭一致收敛，这比要求级数在D 内一致收敛要弱．比如级数P1k=1 zk 虽然在单位圆jzj < 1 上不能一致收敛，但内闭一致收敛（因为它在闭圆jzj · r < 1 上一致 收敛，参看上面的例3），所以其和函数f(z) 在单位圆jzj < 1 内解析，且可以逐项求导． 我们知道，其和函数是z=(1 ¡ z)，它确实在单位圆jzj < 1 内解析． 为了证明这一定理，需要引用Morera 定理，后者是Cauchy 积分定理的逆定理．这一定理本来应 该放在第二章介绍，但因为是选读内容，而且以后也不需要用到，所以放在此处，作为证明Weierstrass 定理的预备． 定理（Morera） 设函数f(z) 在单通区域D 内连续，且对D 内任一围线C，满足RC f(z) dz = 0， 则f(z) 在D 内解析． 证明取固定点z0 2 D，由于对D 内任一围线C 有RC f(z) dz = 0，故积分Rz z0 f(³) d³ （其中 z 2 D）只与上限z 有关，而与z0 到z 的路径无关．定义F(z) = Rz z0 f(³) d³，它是z 的单值函数．我 们在第二章已经证明，只要f(z) 在D 内连续，就有F0(z) = f(z)，亦即F(z) 解析．由于解析函数的 导数也是解析函数，故f(z) 在D 内解析．证毕． 下面就给出Weierstrass 定理的 证明(1) 8 z 2 D，总可以找到邻域N(z; r) ½ D，按已知条件，级数(10) 在N(z; r) 内的任一 围线C 上一致收敛，故 ZC f(z) dz = 1Xk=1 ZC fk(z) dz = 0; 其中最后一个等号用了Cauchy 积分定理，因为级数各项在N(z; r) 内解析，而N(z; r) 为单通区域． 由上式和Morera 定理，易知f(z) 在N(z; r) 内解析，特别地，f(z) 在点z 解析，由z 的任意性，可 知f(z) 在D 内解析． (2) 8 z0 2 D，总可以找到邻域N(z0; 2r)，使得N(z0; 2r) ½ D，按已知条件，级数(10) 在 N(z0; 2r) 上一致收敛，故8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时， ¯¯¯¯¯ n Xk=1 fk(³) ¡ f(³)¯¯¯¯¯ < " x2 复函数项级数12 在圆周C：j³ ¡ z0j = 2r 上一致成立．今8 z 2 N(z0; r)，³ 2 C，有j³ ¡ z0j = 2r，jz ¡ z0j < r，故 j³ ¡ zj = j(³ ¡ z0) ¡ (z ¡ z0)j ¸ j³ ¡ z0j ¡ jz ¡ z0j > 2r ¡ r = r; 故¯¯¯¯¯ n Xk=1 fk(³) (³ ¡ z)p+1 ¡ f(³) (³ ¡ z)p+1¯¯¯¯¯ = jPn k=1 fk(³) ¡ f(³)j j³ ¡ zjp+1 < " rp+1 ; p 2 N; 对³ 2 C 和z 2 N(z0; r) 一致成立．由于f(z) 和fk(z) 均在N(z0; 2r) 上解析，由Cauchy 高阶导数 公式，当z 2 N(z0; 2r)，有 f(p) k (z) = p! 2¼i ZC fk(³) (³ ¡ z)p+1 d³; f(p)(z) = p! 2¼i ZC f(³) (³ ¡ z)p+1 d³: 当z 2 N(z0; r)，上式当然也成立，于是当n > n0 时，有 ¯¯¯¯¯ n Xk=1 f(p) k (z) ¡ f(p)(z)¯¯¯¯¯ = p! 2¼¯¯¯¯¯ n Xk=1 ZC fk(³) (³ ¡ z)p+1 d³ ¡ ZC f(³) (³ ¡ z)p+1 d³¯¯¯¯¯ · p! 2¼ ZC¯¯¯¯¯ n Xk=1 fk(³) (³ ¡ z)p+1 ¡ f(³) (³ ¡ z)p+1¯¯¯¯¯ jd³j < p! 2¼ " rp+1 ZC jd³j = p! 2¼ " rp+1 4¼r = 2p! rp ": 上式在z 2 N(z0; r) 时一致成立，换句话说，级数P1k=1 f(p) k (z) 在N(z0; r) 上一致收敛到f(p)(z)， 而z0 2 D 是任意的，所以对D 内任一闭集G 上的任一点，都存在该点的一个邻域，使P1k=1 f(p) k (z) 在该邻域上一致收敛到f(p)(z)．这些邻域构成了闭集G 的一个开覆盖（就是说这些邻域（开集）覆盖 了闭集G），我们总可以从中选出有限个覆盖闭集G（这里用到了一个定理，称为有限覆盖定理，又称 Heine{Borel 定理，不过，这一结论是比较直观的），由于P1k=1 f(p) k (z) 在其中的每一个上都一致收敛 到f(p)(z)，故在闭集G 上亦然．证毕． 四*Riemann ³ 函数、Riemann 假设与千禧数学难题 下面用Weierstrass 定理来研究一个实例． 例7 研究级数P1k=1 1=kz = P1k=1 e¡z ln k． 显然，该级数的每一项都是复平面上的解析函数．只要找到级数的收敛区域，应用Weierstrass 定 理，其和函数的解析性也就清楚了．从级数的形式来看，我们猜想级数的敛散性主要取决于z 的实部． 又已经知道，当z = x > 1 时级数收敛，而z = x · 1 时级数发散，所以估计级数的收敛区域应该是 Re z > 1． 首先证明，如果级数在z0 收敛，则当Re z > Re z0 时亦收敛．事实上，由于级数在z0 收敛，故 9 M > 0，使得8 n 2 N，均有jsn(z0)j < M．显然 e¡z ln k = e¡(z¡z0) ln ke¡z0 ln k = e¡(z¡z0) ln k[sk(z0) ¡ sk¡1(z0)]; k 2 N; 其中s0(z0) ´ 0，故有 n+p X k=n+1 e¡z ln k = e¡(z¡z0) ln(n+p)sn+p(z0) ¡ e¡(z¡z0) ln(n+1)sn(z0) + n+p¡1 X k=n+1 (z ¡ z0)sk(z0) Z k+1 k e¡(z¡z0) ln t t dt; x2 复函数项级数13 于是 ¯¯¯¯¯ n+p X k=n+1 e¡z ln k¯¯¯¯¯ · M[e¡(x¡x0) ln(n+p) + e¡(x¡x0) ln(n+1)] +Mjz ¡ z0j n+p¡1 X k=n+1 Z k+1 k e¡(x¡x0) ln t t dt < 2Me¡(x¡x0) ln n +Mjz ¡ z0j n+p¡1 X k=n+1 Z k+1 k e¡(x¡x0) ln t t dt; 其中x = Re z，x0 = Re z0．但 n+p¡1 X k=n+1 Z k+1 k e¡(x¡x0) ln t t dt = Z n+p n+1 e¡(x¡x0) ln t t dt = e¡(x¡x0) ln(n+1) ¡ e¡(x¡x0) ln(n+p) x ¡ x0 < e¡(x¡x0) ln n x ¡ x0 ; 于是¯¯¯¯¯ n+p X k=n+1 e¡z ln k¯¯¯¯¯ < M µjz ¡ z0j x ¡ x0 + 2¶e¡(x¡x0) ln n = M µjz ¡ z0j x ¡ x0 + 2¶ 1 nx¡x0 : 由于x > x0，容易看出，只要n 充分大，上式就可以任意小．事实上，8 " > 0，只要取 n0 > ·M " µjz ¡ z0j x ¡ x0 + 2¶¸1=(x¡x0) ; 则当n > n0 时，就有¯¯¯¯¯ n+p X k=n+1 e¡z ln k¯¯¯¯¯ < "; 8 p 2 N; 由Cauchy 收敛原理，级数当Re z > Re z0 时收敛．但注意以上的n0 不仅依赖于"，而且也依赖于z． 我们已经知道，当z = 1 时级数发散，由上述结论容易推知，级数当Re z < 1 时必然发散． 另一方面，我们也知道，当s > 1 时，正项级数P1k=1 1=ks 收敛，而当Re z ¸ s 时，有j1=kzj = 1=kx · 1=ks，由Weierstrass M{判别法，级数当Re z ¸ s 时绝对且一致收敛．由此容易推知，级数在 区域Re z > 1 内的任一有界闭集上一致收敛，亦即在区域Re z > 1 上内闭一致收敛，由Weierstrass 定理，和函数在区域Re z > 1 内解析，并且逐项求导后的级数也在区域Re z > 1 上内闭一致收敛到和 函数的同阶导数． 但是用上面的方法无法判断级数在z = 1 + iy 而y 6= 0 时的敛散性． 由上面的级数定义的函数可以解析开拓到整个复平面上，所得的函数称为Riemann ³ 函数，记作 ³(z)，z = 1 是它的唯一一个奇点，z = ¡2n（n 2 N）是它的简单零点（即一阶零点），其它的零点都位 于带形区域0 · Re z · 1 内． Riemann 假设（Riemann's hypothesis）：³(z) 在带形区域0 · Re z · 1 内的所有零点都位于直 线Re z = 1=2 上． 已经知道有一个不可数的零点集合位于该直线上．但Riemann 假设的严格证明目前尚未完成． 1900 年，著名的数学家D. Hilbert 在巴黎的世界数学家大会上提出了23 个数学问题，认为对这 些问题的研究会极大地影响二十世纪数学的发展，Riemann 假设就是这些问题之一．这些问题有的很快 就得到解决，有的则直到目前尚未解决，Riemann 假设就是尚未解决的问题之一．关于Hilbert 问题， 参看 http://babbage.clarku.edu/~djoyce/hilbert/． x3 幂级数14 2000 年，美国的Clay 数学研究所在尚未解决的著名数学问题中选出七大难题，并设立了每题100 万美元的奖金，Riemann 假设就在其中，参看 http://www.claymath.org/Millennium Prize Problems/． x3 幂级数 一幂级数的敛散性 形如 1 Xn=0 cn(z ¡ a)n (a 2 C; cn 2 C) (13) 的级数称为幂级数． 注从本节开始，我们改用n 来表示求和指标．并请注意现在求和多了n = 0 一项， 不过这对于级数的性质没有什么影响． 显然，级数(13) 的每一项都是解析函数，事实上，幂级数是最简单的解析函数项级数． 根据Weierstrass 定理，只要把级数的收敛区域研究清楚，那么和函数的解析性质也就清楚 了．关于这一级数的敛散性，Abel 给出了下述的重要定理． 定理（Abel） 如果级数(13) 在某点z0 6= a 收敛，则(1) 它在圆K：jz ¡ aj < jz0 ¡ aj 内绝对收敛；(2) 它在闭圆K½：jz ¡aj · ½ < jz0 ¡aj 内一致收敛（即在圆K 上内闭一致收 敛）． 证明(1) 由已知条件，级数P1 n=0 cn(z0 ¡ a)n 收敛，故9 M > 0，使得 jcn(z0 ¡ a)nj < M; n = 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; 于是 jcn(z ¡ a)nj = jcn(z0 ¡ a)nj¯¯¯¯ z ¡ a z0 ¡ a¯¯¯¯ n < M¯¯¯¯ z ¡ a z0 ¡ a¯¯¯¯ n ; 当jz ¡ aj < jz0 ¡ aj，以右边为通项的级数收敛，由比较判别法，以左边为通项的级数亦收 敛，即原级数在圆K 上绝对收敛． (2) 当jz ¡ aj · ½ < jz0 ¡ aj， jcn(z ¡ a)nj < M¯¯¯¯ z ¡ a z0 ¡ a¯¯¯¯ n · M µ ½ jz0 ¡ aj¶n ; 右边是与z 无关的正数，且以此为通项的级数显然收敛，由Weierstrass M{判别法，原级数 在闭圆K½ 上一致收敛．证毕． 由Abel 定理，立得以下 推论1 如果级数(13) 在某点z0 6= a 发散，则它必在圆周jz ¡ aj = jz0 ¡ aj 外发散． 由Abel 定理和推论1 可知，级数(13) 在某点z 收敛或发散只与该点到a 的距离有 关，而与该点相对于a 的方向无关（即只与z ¡ a 的模有关，而与其辐角无关），因此收敛 点集与发散点集的分界必定是一个圆周，这就是下面的 x3 幂级数15 推论2 对于级数(13)，9 R ¸ 0，使它在圆周jz ¡aj = R 内绝对收敛而在其外处处发 散． 上面的R 称为收敛半径，jz ¡ aj < R 称为收敛圆，而jz ¡ aj = R 称为收敛圆周． 应当指出，对于级数(13) 在收敛圆周jz ¡ aj = R 上的敛散性，Abel 定理及其推论没 有给出结论． 二收敛半径的求法 上一小节的推论2 可以换一种等价的方式来表达：级数P1 n=0 jcnjrn 当0 · r < R 时收 敛，而当r > R 时发散．也就是说，R 是该正项级数的收敛区间与发散区间的分界点．由正 项级数收敛的Cauchy 判别法和d' Alembert 判别法，不难推出下面收敛半径的． 定理（收敛半径的Cauchy 计算公式） 如果limn!1 npjcnj = l，则级数(13) 的收敛半 径为 R =8>><>>: 1=l; 当0 < l < 1; 0; 当l = 1; 1; 当l = 0. (14) 实际上，即使limn!1 npjcnj 不存在，只要limn!1 npjcnj = l，式(14) 仍然成立（相应的判别法 也称为Cauchy{Hadamard 判别法）．这里lim 表示上极限．一个实数列的上极限就是它的所有收敛子 列的极限中最大的一个（虽然这不是上极限的原始定义）． 例1 级数P1n=0[2 + (¡)n]nzn，npjcnj = 2 + (¡)n，显然limn!1 npjcnj 不存在，但考虑子列 fc2kg1k=0，易得limn!1 npjcnj = 3．因此，该级数的收敛半径为R = 1=3，即收敛圆为jzj < 1=3． 例2 级数P1k=0 zk2 = 1+z +z4 +z9 +z16 +¢ ¢ ¢ ，当n = k2 （k = 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢ ），cn = 1，其它 情况下cn = 0，显然limn!1 npjcnj 不存在，但考虑子列fck2g1k=0，易得limn!1 npjcnj = 1．因此， 该级数的收敛半径为R = 1，即收敛圆为jzj < 1． 定理（收敛半径的d' Alembert 计算公式） 如果limn!1 jcn+1=cnj = l，则级数(13) 的 收敛半径由式(14) 给出． 如果极限limn!1 jcn+1=cnj 不存在，则无法使用d' Alembert 计算公式，所以它不如Cauchy{ Hadamard 计算公式来得普遍，甚至也不如Cauchy 计算公式．但是，当极限limn!1 jcn+1=cnj 存在 时，d' Alembert 计算公式通常是比较方便的． 例3 考虑级数P1n=2 cnzn，其中c2k = 2k ，c2k+1 = k （k 2 N）．易得limk!1 jc2k+1=c2kj = 1=2，而limk!1 jc2k+2=c2k+1j = 2，即limn!1 jcn+1=cnj = 2，limn!1 jcn+1=cnj = 1=2．根据d' Alem- bert 判别法，易知当jzj < 1=(limn!1 jcn+1=cnj) = 1=2 时级数收敛，而当jzj > 1=(limn!1 jcn+1=cnj) = 2 时级数发散，但是对于1=2 < jzj < 2 时级数的敛散性，我们无法由d' Alembert 判别法得到进一 步的信息．另一方面，不难求得limn!1 npjcnj = 1，故由Cauchy 计算公式立得该级数的收敛半径为 R = 1，即收敛圆为jzj < 1．可见Cauchy 计算公式更普遍一些． 三和函数的解析性 知道了幂级数的收敛范围，由前面的有关定理，就可以得到以下结论： x4 解析函数的Taylor 展开16 定理幂级数(13) 在收敛圆K：jz ¡ aj < R 上有如下性质： (1) 和函数f(z) 解析； (2) 可以逐项求导而收敛半径不变； (3) 可以逐项积分而收敛半径不变． 证明考虑闭圆K½：jz ¡ aj · ½ < R，总可找到一点z0，使得½ < jz0 ¡ aj < R．如此，z0 在收 敛圆内，故级数(13) 在z0 收敛，由Abel 定理，它必在K½ 上一致收敛．也就是说，它在收敛圆K 上 内闭一致收敛．显然，幂级数的每一项都是解析函数，由Weierstrass 定理，和函数在K 内解析． 由Weierstrass 定理，级数(13) 逐项求导后的级数在K 上内闭一致收敛到f0(z)，从而该