经济数学-微积分

函数 函数 函数是数学中最重要的基本概念之一，是现实世界中量与量之间的依存关系在数学中的反映，也是经济数学的主要研究对象。在这一章中，我们将在中学已有的知识的基础上，进一步阐明函数的一般定义，总结在中学已学过的一些函数，并介绍一些经济学中的常用函数。 集合 集合的概念 集合是一个只能描述而难以精确定义的概念，我们只给出集合的一种描述：集合指所考察的具有确定性质的对象的全体，集合简称集。组成集合的每一个对象称为该集合的元素。 下面举几个集合的例子： 例1 2003年元月1日在中国出生的人。 例2 平面上所有直角三角形。 例3 的根。 例4 直线 上所有的点。 由有限个元素构成的集合，称为有限集，如例1,3；由无限多个元素构成的集合，称为无限集合，如例2,4。 通常用大写字母A,B,X,Y……等表示集合，用小写字母a,b,x,y……等表示集合元素，若x是集合A的元素，则说x属于A，记作 ；若x不是集合A的预算，则说x不属于A，记作 或 。 不含有任何元素的集合称为空集，极为 ，空集在研究集合运算和集合之间的关系时，有其逻辑上的意义。如由方程 的实根构成的集合，即为空集。 集合一般有两种表示方法： 一是列举法，把它的所有元素一一列举在一个花括号内。例如，集合A由元素 组成，表示为A={ }；自然数集N表示N={0,1,2，…，n}。这种表示法一般适用于有限集和可数无限集。二是描述法，指明集合中一是所具有的确定性质。一般形式为 A={x|x具有性质p} 例如，方程 的解集，记为 B={x| } 又如，平面上以原点为中心的单位园内的点的全体组成的集合，记为 B={（x，y）| } 元素为数的集合称为数集，通常用N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集合C表示复数集。有时我们在表示数集的字母右上角添“+”、“-”等上标，来表示该数集的几个特定子集，以实数为例， 表示全体正实数之集； 表示全体负实数之集，其他数集的情况类似，不再赘述。 只有一个元素的集合，称为单元素集，记为{x}。 若集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，或者称A包含于B获B包含于A，记作 或 。 若集合A与集合B互为子集，则称 且 。就称A与B相等，记为A=B。 若A是B的子集，而B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作 ，例如 。 空集 是任何集合的子集。 集合的运算 集合有三种基本运算，即并、交、差。 设A、B是两个集合，则集合 分别称为A和B的并集、交集、差集。 有时，我们把研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集，并用I表示，把差集I\A特别称为A的余集或补集，记作 。例如在实数集R中，集合A={x| |x|<1}的余集为 ={x| x| 或 }。 集合的并、交、余运算满足如下运算律： 交换律 ； 结合律 分配律 ， ； 对偶律 . 以上这些运算律都很容易根据集合相等的定义验证。 在两个集合之间还可以定义直积或笛卡儿（Desvartes）乘积，设A，B是任意的两个集合，则A与B的直积，记作 ，定义为如下的由有序对（a，b）组成的集合： 例如， 即为xOy平面上全体点的集合， 常记作 . 区间和邻域 区间和一点的邻域是常用的一些实数集。 实数集 称为开区间； 称为闭区间； ， ，称为半开半闭区间，a，b，称为区间的端点。这些区间统称为有限区间，它们都可以用数轴上长度有限的线段来表示，如图1-1（a）、（b）分别表示闭区间[a,b]与开区间（a，b），此外还有无限区间，引进记号 （读作正无穷大）及 （读作负无穷大）后，则可用类似的记号表示无限区间，例如 ， ， . 前两个无限区间在数轴上的表示如图1-1（c）、（d）所示. 图1-1 实数集 ，称为点a的 邻域，记为U（a， ）.点a叫做邻域的中心， 叫做邻域的半径，它在数轴上表示以a为中心，长度为2 的对称开区间，如图1-2所示. 图1-2 实数集 称为点a的去心 邻域，记作 .为了方便，有时把开区间（a- ，a）称为a的左 邻域，把开区间（a，a+ ）称为a的右 邻域. 两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域，例如 即为xOy平面上的一个矩形区域，这个区域在x轴与y轴上的投影分别为闭区间[a,b]和开区间（c，d）. 习题1-1 按下列要求举例： 一个有限集合 （2）一个无限集合 （3）一个空集 （4）一个集合是另一个集合的子集 用集合的描述法表示下列集合： （1）大于5的所有实数集合； （2）园 内部（不包含圆周）一切点的集合； （3）抛物线 与直线 交点的集合. 用列举法表示下列集合： 方程 的根的集合； 抛物线 与直线 交点的集合； 集合 . 下列哪些集合是空集： ， ， ， ， . 写出A={0,1,2}的一切子集. 如果集A有n个元素，问A共有多少个子集？A的真子集有几个？ 如果A={0,1,2}，B={1,2}下列各种写法，哪些是对的？哪些不对？ ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； . 设A={1,2,3}，B={1,3,5}，C={2,4,6}，求： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 如果I={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,3}，B={2,4,6}，求： （1）； （2）； （3）； （4）； 如果A是非空集合，下列各个等式哪些是对的？哪些不对？ ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； . 如果A={a,b,c,d}，B={a,b,c}，求 设集合 ，求 . 用区间表示满足下列不等式的所有x的集合： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） . 用区间表示下列点集，并在数轴上表示出来： ； （2） . 映射与函数 映射的概念 定义1 设X，Y是两个非空集合，若对集合X中的每一个元素x，均可找到集合Y中唯一确定的元素y与之对应，则称这个对应是集合X到集合Y的一个映射，记为f，或者更详细地写为 将x的对应元y记作 .并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像（或称为逆像）.集合X称为映射f的定义域，记作 ，而X的所有元素的像 的集合 称为映射f的值域，记为 （或 ）. 例1 设X是平面上所有三角形的全体，Y是平面上所有园的全体，因每个三角形都有唯一确定的外接圆，若定义对应法则 （y是三角形x的外接圆） 则f显然是一个映射，其定义域与值域分别为 和 . 例2 设 ，Y={a,b,c,d}，下面所规定的对应关系f显然也是一个映射： F的定义域与值域分别为 在这个例子中， 是Y的真子集. 概括起来，构成一个映射必须具备下列上哪个基本要素： 集合X，即定义域 ； 集合Y，即限制值域的范围： ； 对应规则f，使每个 ，有惟一确定的 与之对应. 需要指出两点： 映射要求元素的像必须是惟一的 例如，设 ，Y=R，而对应规则要求对每一个 ，它的像 且满足关系 ，这样的f是不是映射呢？回答是否定的，因为对每个 ，都可以有两个实数 与 与之对应，即f不满足像的惟一性要求. 对不满足像的惟一性要求的对应法则，一般只要对值域范围稍加限制，就能使它成为映射. 例3 设 ， ，则对应关系 是一个映射. 例4 设X=Y=R. 虽然Y中与x=2和x=-2对应的元素都是y=4，但这并不影响f成为一个映射. 定义2 设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆像也具有惟一性，即对X中的任意两个不同元素 ，它们的像 也满足 ，则称f为单射；如果映射f满足 ，则称f为满射；如果映射f即使单射，又是满射，则称f为双射（又称一一对应）. 例2与例3中的映射是单射，例1与例3中映射是满射，因此例3中的映射是双射. 逆映射与复合映射 设 是单射，则由定义2，对任一 ，它的逆像 （即满足方程 的x）是惟一确定的，由定义1，对应关系 构成了 到X上的一个映射，我们把它称为f的逆映射，记为 ，其定义域为 ，值域为 . 显然，只要逆映射 存在，它就一定是 到X上的双射. 现设有如下两个映射 和 如果 ，那就可以构造出一个新的对应关系 由定义1可知，这还是一个映射，我们将之称为f和g的复合映射. 可以看出，复合映射 的构成，实质上是引入了中间变量u，因此关键在于 是否成立.如果这一条件得不到满足，就不能构成复合映射. 例5 设 ，映射g与f为 和 显然 ，因此可以构成复合映射 例6 设映射g与f为 和 则 ，因此不能构成复合映射 . 但若将映射g的定义域缩小，就有可能构成复合映射.比如令 和 则 ，于是可以构成复合映射 要注意，映射f与g的复合是有顺序的，这就是说， 有意义并不意味 也一定有意义，即使都有意义，即 与 都满足，复合映射 与 一般来讲也是不同的. 特别地，若将映射f与它的逆映射 进行复合，则得到下述两恒等式： 例7 是双射，它的逆映射是 通过复合运算，可得到恒等式 函数的概念 定义 设数集 ，则称映射 为定义在D上的函数，通常简记为 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作 ，即 =D. 这里f为一种对应规则，对每一个 ，有惟一的实数 与之对应。由映射的定义可知，当定义域与对应规则确定后，函数就完全确定了，可见，定义域与对应规则是确定函数的两个要素，因此，对于两函数f，g，如果它们有相同的定义域X，且对X中的每个x有相同的函数值，即 则称f与g相等，并记为f=g，例如， 与 是两个相等的函数，而 则是不相同的函数，因为 ，而 . 设f为给定的函数， ，函数值的全体所构成的数集称为函数f的值域，记作 ，即 表示函数的主要方法有三种：法、图形法、解析法（公式法），这在中学大家已经熟悉，其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集 称为函数 的图形（图1-3）.图中的 表示函数 的值域. 图1-3 下面举出几个例子. 例8 函数 y=2 的定义域 ，值域 ，它的图形是一条平行于x轴的直线，如图1-4所示. 例9 函数 的定义域 ，值域 ，它的图形如图1-5所示，这函数称为绝对值函数. 图1-4 图1-5 例10 函数 称为符号函数，它的定义域 ，值域 ，它的图形如图1-6所示，对于任何实数x，下列关系成立 图1-6 例11 设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如， .把x看作变量，则函数y=[x]的定义域 ，值域 .它的图形如图1-7所示，这图形称为阶梯曲线，在x为整数值处，图形发生跳跃，跃度为1，这函数称为取整函数. 在例9和例10中看到，有的函数在定义域的 不同部分用不同的公式表达，这种函数被称为分段函数. 例12 某商店对一种商品的售价规定如下：购买量不超过5千克时，每千克0.8元；购买量大于5千克而不超过10千克时，其中超过5千克的部分优惠价每千克0.6元；购买量大于10千克时，超过10千克部分每千克0.4元，若购买x千克的费用记为f(x)，则 即 这是定义在 上的一个分段函数，它的图形如图1-8所示. 图1-7 图1-8 用几个式子来表示一个（不是几个！）函数，不仅与函数定义并无矛盾，而且有现实意义。在自然科学、工程技术和经济学中，经常会遇到分段函数的情形。 函数的基本状态 函数的奇偶性 设函数y=f(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任一个x，都有f（x）=f（-x），则称y=（x）为偶函数；如果对于定义域中的任一个x有f（-x）= -f（x），则称f（x）为奇函数。不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数。 由定义显然有：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称，如图1-9（a）、（b）所示. 图1-9 例13 证明 是偶函数（其中 ）. 证 因为该函数的定义域为 ，且有 所以 是偶函数. 函数的周期性 设函数f（x）的定义域为 ，如果存在一个正数 ，使得对于任一 有 ,且 恒成立，则称f（x）为周期函数， 称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。 例如函数 都是以 为周期的周期函数；函数 是以 为周期的周期函数。 图1-10表示周期为 的一个周期函数，在每个长度为 的区间上，函数图形有相同的形状。 图1-10 例14 设函数y=f（x）是以 为周期的周期函数，试证函数y=f（ax）（a>0）是以 为周期的周期函数。 证 要证的是 因为f（x）以 为周期，所以 即 所以f（ax）是以 为周期的周期函数. 函数的单调性 设 为区间（a,b）内的任意两个数，若当 时函数值 满足 则称该函数在区间（a,b）内单调增加或称递增；若当 时有 则称该函数在区间（a,b）内单调减少，或称递减，例如 在 内递增， 在 内递减. 函数的递增、递减统称函数是单调的，从几何直观来看，递增就是当x自左向右变化时，函数的图像上升；递减就是当x自左向右变化时，函数的图像下降（图1-11）. 图1-11 函数的有界性 设函数f（x）在区间I上有定义，若存在一个正数M，当 时，恒有 成立，则称函数f（x）为在I上的有界函数；如果不存在这样的正数M，则称函数f（x）为在I上的无界函数.(图1-12) 图1-12 例如，因为当 时，恒有 ，所以函数 在 内是有界函数，而 在 内是无界函数。 有的函数可能在定义域的某一部分有界，而在另一部分无界。例如 在 上是有界的，而在 内是无界的。因此，我们说一个函数是有界的或者无界的，应同时指出其自变量的相应范围。 习题1-2 下面对应关系是否为映射？X={平面上一切三角形}，Y={平面上全体点}，X，Y之间的对应是：每个三角形与其重心对应。 求下列函数的自然定义域： （2） （4） （6） （7） （8） 下列各题中，函数f（x）和g（x）是否相同？为什么？ 确定函数 的定义域并作出函数图形。 判断下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？ （2） （4） （6） （8） （9） （10） 判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 下列各函数中哪些是周期函数？对周期函数指出其周期 （1） （2） （3） 设f（x）为定义在 内的奇函数，若f（x）在 内单调增加，证明f（x）在 内也单调增加。 设下面所考虑的函数都是定义在区间 上的， 证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 证明：函数 是有界函数。 复合函数和反函数 复合函数 实际问题中经常出现这样的情形：在某过程中，第一个量依赖于第二个量，而第二个量又依赖于第三个量。因此，实际上第一个量可以由第三个量确定。 例1 某社区的环境研究表明：如果该社区人口为p万，则大气中一氧化碳的含量为百万分之C（p），这里C（p）= 5p+1；又根据统计分析，从现在起的t年后，社区人口为 万，试问几年后一氧化碳含量将达到百万分之6.8？ 要解决这个问题，首先得把大气中一氧化碳的含量表示为t的函数，因为 所以 根据题意，所求的t应满足C[p(t)]=6.8，即 由此 所以 这就是说，从现在起的4年后，大气中的一氧化碳含量将达到百万分之6.8，这个问题中出现的C[p(t)]就是由p（t）和C（p）构造出来的“复合函数”的值。 例2 设某企业经营者每年收入S与该年利润L有关，其函数关系为 S = 0.05L 而利润L则与该企业产品的产量Q有关，其关系为 把 代人S = 0.05L中去得到 .我们把 称为由S = 0.05L 和 构成的复合函数。 由上面的例题可知复合函数实际是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述： 定义 设有函数f和g， ，则称定义在 上的函数 为f和g的复合函数，其中 对复合函数 ，称u = g(x)为中间变量，其中 为自变量. 复合函数的作用见下面的示意图.（图1-13） 图1-13 例3 设函数f和g分别是 于是 而 的定义域为 同样地，可以讨论三个或三个以上函数的复合函数. 例4 设 则有 在微积分中，我们经常要对复杂的函数进行分解，也就是要考虑某个函数是由哪些简单的函数复合而成的。 例5 试把 分成为几个简单函数的复合，取 则显然有 反函数 作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念： 设函数 是单射，则它存在逆映射 ，称此于是 为函数f的反函数. 按此定义，对每个 ，有惟一的 ，使得f（x）= y，于是有 ，这就是说，反函数 的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的。 习惯上常以x记为自变量，y记为函数，故反函数又记为 显然 . 可见，若A[x,f（x）]是函数f（x）的图形上的点，则B[f（x）,x]是反函数 的图形上的点；反之也一样，因此，f的图形与 的图形关于直线y=x是对称的.（如图1-14） 现在要问函数f在什么条件下一定存在反函数，结论是： 定理 （反函数存在定理）单调函数f必存在单调的反函数，且具有与f相同的单调性。 证明 不妨设函数 是单调递增的， ，若 ，则有 ，于是 都存在惟一的一个 ，使得f（x）= y，所以函数f存在反函数 ；再证 也是单调递增的. ，则必有 ，使得 ，所以， ；又因函数f是单调递增的，所以，有 ，即 ，说明反函数 也是单调递增的. 对于函数f是单调递减的情形类似可证，证毕. 例6 求函数 的反函数. 解 由 可解得 ，变换x、y的位置，即得所求的反函数 其定义域为（0,1）. 函数的运算 设函数f（x），g（x）的定义域依次为 ，则我们可以定义这两个函数的下列运算 函数的和（差） ： 函数的积 ： 函数的商 ： 例7 设函数f（x）的定义域为 ，证明必存在 上的偶函数g（x）及奇函数h（x），使得 f（x）= g（x）+ h（x） 证 先分析如下：假若这样的g（x）、h（x）存在，使得 f（x）= g（x）+ h（x） 且 （1） 于是有 （2） 利用（1）、（2）式，就可以作出g（x）、h（x）这就启发我们作如下证明： 作 则 证毕 习题1-3 求下列函数的反函数： （1） （2） （3） （4） 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值 的函数值： 指出下列函数的复合过程： ； （2） ； （3） ； （4） . （1）设 ，求 . （2）设 ，求f（x）. 已知 设f（x）的定义域D = [0,1]，求下列函数的定义域： ； （2） ； （3） . 基本初等函数与初等函数 一、幂函数 函数 叫做幂函数. 幂函数 的定义域，要看 是什么数而定。例如：当 =3时， 的定义域是 ；当 时， 的定义域是 ；当 ， 的定义域是 。但不论 取什么值，幂函数在 内总有定义. 中， 时是最常见的幂函数。它们的图形如图1-15所示. 图1-15 指数函数与对数函数 指数函数 叫做指数函数，它的定义域是区间 . 因为对于任何实数值x，总有 ，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点（0,1）. 若 ，指数函数 是单调增加的. 若 ，指数函数 是单调减少的. 由于 ，所以 的图形与 的图形是关于y轴对称的（图1-16）. 图1-16 图1-17 以常数 为底的指数函数 是科技中常用的指数函数.关于常数e的意义将在第二章第五节中说明. 对数函数 指数函数 的反函数，记作 叫做对数函数。它的定义域是区间 . 对数函数的图形，可以从它所对应的指数函数 的图形按反函数作图法的一般规则作出，这就是：关于直线y = x作对称于曲线 的图形，就得 的图形（图1-17）. 的图形总在y轴右方，且通过点（1,0）. 若 ，对数函数 是单调增加的，在开区间（0,1）内函数值为负，而在区间 内函数值为正。 若 ，对数函数 是单调减少的，在开区间（0,1）内函数值为正，而在区间 内函数值为负。 科技中常用以常数e为底的对数函数 叫做自然对数函数，简记作 . 三角函数与反三角函数 三角函数 常用的三角函数有 正弦函数 （图1-18） 余弦函数 （图1-19） 正切函数 （图1-20） 余切函数 （图1-21） 图1-18 图1-19 图1-20 图1-21 其中自变量以弧度作为单位来表示。 正弦函数和余弦函数都是以 为周期的周期函数，它们的定义域都是区间 ，值域都是闭区间[-1,1]. 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 由于 ，所以，把正弦函数 沿x轴向左移动一段距离 ，就获得余弦函数 。 正切函数 的定义域 余切函数 的定义域 这两个函数的值域都是区间 。 正切函数和余切函数都是以 为周期的周期函数，它们都是奇函数。 此外，尚有另外两个三角函数，它们是 正割函数 它是余弦函数的倒数，即 余割函数 它是正弦函数的倒数，即 它们都是以 为周期的周期函数，并且在开区间 内都是无界函数。 反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数。三角函数 ， ， 和 的反函数依次为 反正弦函数 （图1-22） 反余弦函数 （图1-23） 反正切函数 （图1-23） 反余切函数 （图1-23） 反三角函数的图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。 这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。例如把 的值限制在闭区间 上，称为反正弦函数的主值，并记作 .这样，函数 就是定义在闭区间 [-1,1]上的单值函数，且有 通常我们也称 为反正弦函数，它在闭区间 上是单调增加的，它的图形如图1-22中实线部分所示。 图1-22 图1-23 图1-24 图1-25 类似地，其他三个反三角函数的主值也简称为反余弦函数、反正切函数和反余切函数，它们都是单值函数，它们的定义域、值域、单调性等如下： 反余弦函数 的定义域为闭区间[-1,1]，值域为闭区间 ，它在[-1,1]上单调减少，图形如图1-23中实线部分所示. 反正切函数 的定义域为 ，值域为开区间 ，它在 内单调增加，图形如图1-24中实线部分所示. 反余切函数 的定义域为 ，值域为开区间 ，它在 内单调减少，图形如图1-25中实线部分所示. 初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例如 等等都是初等函数，在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数。 习题1-4 求下列个函数的定义域： ； （2） ； （3） ； （4） . 下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？ ； （2） ； （3） ； （4） . 函数 能用一个解析式表示吗？为什么？ 由 的图形作下列函数的图形： ； （2） ； （3） ； （4） . 由 的图形作下列函数的图形： ； （2） ； （3） ； （4） . 由 的图形作下列函数的图形： （1） ； （2） ； （3） . 若f（x）是以2为周期的周期函数，且 作出f（x）在 上的图形. 设f（x）是在 上有定义的偶函数，且对 ，当 时， 求f（x）在 上的表达式，并作出在 上的图形。 函数关系的建立 为了解决应用问题，先要给问题建立数学模型，即建立函数关系。为此需明确问题中的因变量和自变量，再根据题意建立等式，从而得出函数关系，然后确定函数定义域。应用问题中的函数的定义域，除函数的解析式外还要考虑变量在实际问题中的含义。 下面，我们通过几个实例来介绍如何建立函数关系，为以后运用微积分方法解决实际问题打一些基础。 例1 设有一边长为a的正方形薄板，将它的四角剪去边长相等小正方形制作一只无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数（图1-26）. 图1-26 解 设剪去的小正方形的边长为x，盒子的体积为V，则盒子的底面积为 ，高为x，因此所求的函数关系为 例2 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。它的日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。 解 设日总成本为C，平均单位成本为 .由于日总成本为固定成本与可变成本之和。根据题意，日总成本函数为 平均单位成本函数为 例3 某工厂生产某型号机床，年产量为a台，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费为c元。显然，生产批量大则库存费高；生产批量少则批数增多，因而生产准备费高。为了选择最优批量，试求出一年内库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。 解 设批量为x，库存费与生产准备费的和为P（x） 因年产量为a，所以每年生产的批数 （设其为整数），则生产准备费为 因库存量为 ，故库存费为 因此可得 定义域为(0，a]，因本题中的x为车床的台数，批数 为整数，所以x只应取(0，a]中a的正整数因子。 例4 某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加元时币面数值增加 ，回国后他发现把加元兑换成美元时，币面数值减少 ，把两次兑换的方式用函数表示出来，这样一来一回的兑换产生的两个函数是否互为反函数？ 解 设f（x）为将x美元兑换成的加元数，g（x）为将x加元兑换成的美元数则 ，故f（x）与g（x）不互为反函数。 习题1 - 5 某运输公司规定货物的吨公里运价为：在a公里以内，每公里k元；超过a公里，超过部分每公里为 元.求运价m与里程s之间的函数关系. 拟建一个容积为v的长方体水池，设它的底为正方形，如果池底所用单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍，试将总造价表示成底边长的函数，并确定此函数的定义域. 设一矩形面积为A，试将周长s表示为宽x的函数，并求其定义域. 在半径为r的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并确定此函数的定义域. 用铁皮做一个容积为v的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域. 按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2%，半年期存款的年利率为4.0%，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款能有较多的收益，多多少？ 某工厂生产某种产品，年产量为x，每台售价250元，当年产量为600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系. 经济学中的常用函数 对各种不同的量的假设与推测，是许多科学理论的中心问题。在经济分析中，对成本、价格、收益等经济量的关系研究，越来越受到人们的关注。对于实际问题而言，往往有多个变数同时出现，其间的相关性异常复杂，作为讨论的第一步，我们先限于考察两个变数间的相依关系。 需求函数 某一商品的需求量是指关于一定的价格水平，在一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量。 所有经济活动的目的在于满足人们的需求，因此经济理论的重要任务是分析消费及由此产生的需求。需求量并不等同于实际购买量，因为后者不牵涉到商品的供给情况。消费者对某种商品的需求是由多种因素决定的，例如人口、收入、季节、该商品的价格、其他商品的价格等等，甚至还有一些无法定量描述的因素，如“嗜好”等。 如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求暂无影响，则需求量Q便是价格P的函数，记 称f为需求函数，同时， 的反函数， 也称为需求函数。 一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少，因此，需求函数是单调减少的。 人们根据统计数据，常用下面这些简单的初等函数来近似表示需求函数： 线性函数 ； 幂函数 ； 指数函数 ； 例1 设某商品需求函数为 讨论P = 0时的需求量和Q = 0时的价格. 解 当P = 0时，Q = b它表示当价格为零时，消费者对商品的需求量为b，b也就是市场对该商品的饱和需求量。当Q = 0时， ，它表示价格上涨到 时，没有人愿意购买该产品。 供给函数 某一商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定时期内生产者愿意生产并可提供出售的商品量。供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量Q便是价格P的函数，设 称 为供给函数. 一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多，因此一般的供给函数都是单调递增的. 人们根据统计数据，常用下面这些简单的初等函数来近似表示供给函数： 线性函数 ； 幂函数 ； 指数函数 . 例2 舍某工厂生产一种产品，经市场统计预测，得该产品的需求函数为 供给函数为 在同一个坐标系中作出需求函数曲线D与供给曲线S（见图1-27）曲线D和曲线S的交点 就是供需平衡点， 称之为均衡价格. 图1 - 27 生产函数 任何一种产品的生产，都是各种生产要素投入后的结果，生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系。一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素。为说明方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投入皆为常量的情况。 例3 在电力输送过程中，如用x表示能量输入，则能量输出为 ，其中 这里 为容量参数（见图1-28）. 对于产品的投入与产出，人们关心的是所谓规模报酬问题：当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？设投入x与产出g（x）的关系为 由于 可见，当a = 1时，规模报酬不变；当 时，如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；当 时，如果投入增加一倍，则产出增加超过一倍，即规模报酬递增. 成本函数 成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入到价格或费用总额，它由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用，包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支出以及生产工人的工资，它随着产量的变动而变动. 例4 设某厂的生产函数 ，其中L表示劳动力数量。求当劳动力价格为1152时的可变成本函数 解 由 ，得 ，这样 即可变成本函数为 . 收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，用Q表示出售的产品数量，R表示总收益， 表示平均收益，则 如果产品的价格P保持不变，则 利润函数 利润是生产中获得的总收益和投入的总成本之差，即 例6 已知某产品价格为P，需求函数为Q = 50 - 5P，成本函数为C = 50 + 2Q，求产量Q为多少时利润L最大？最大利润是多少？ 解 已知需求函数为 故 ，于是收益函数 这样，利润函数 因此Q = 20时取得最大利润，最大利润为30. 库存函数 舍某企业在计划期T内，对某种物品总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进货是不合算的，考虑均匀地分n次进货，每次进货批量为 ，进货周期为 .假定每件物品的贮存单位时间费用为 ，每次进货费用为 ，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ，在时间T内的总费用E为 其中 是贮存费， 是进货费用. 戈珀兹（Gompertz）曲线 戈珀兹曲线是指数函数 在经济预测中，经常使用该曲线。当 时，其图形如图1-29所示。由图可见戈珀兹曲线当t > 0且无线增大时，其无限与直线y = k接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到k值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。 图1-29 从上面的讨论可见，由于实际问题的需求，我们不仅需要建立一些经济量之间的函数关系，而且需要对这些函数的性质作进一步的研究。例如，讨论规模报酬的增减和可变成本的变化，寻求产品的最大利润等等。在后面的几章中，我们将为这些问题的讨论提供一些十分有效的数学工具。 习题1-6 某厂生产录音机的成本为每台50元，预计当以每台x元的价格卖出时，消费者每月购买200 - x台，请将该厂的月利润表达为价格x的函数. 当某商品价格为P时，消费者对该商品的月需求量为D（P）=12000 – 200P. (1).画出需求函数的图形； (2).将月销售额（即消费者购买此商品的支出）标达为价格P的函数； (3).画出月销售额的图形，并解释其经济意义. 某报纸的发行量以一定的速度增加，三个月前发行量为32000份，现在为44000份. (1).写出发行量依赖于时间的函数关系，并画出图形； (2).2个月后的发行量是多少? 某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元. (1).要卖出多少台手掌机，厂家才可保本（收回投资）？ (2).卖掉100台的话，厂家盈利或亏损了多少？ (3).要获得1250元利润，需要卖出多少台？ 有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择哪一家俱乐部（根据你每月健身次数决定）？ 设某商品的需求函数与供给函数分别为 和 . (1).找出均衡价格，并求出此时的供给量与需求量； (2).在同一坐标中画出供给与需求曲线； (3).何时供给曲线过P轴，这一点的经济意义是什么？ 某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为120元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超出的部分需打9折出售，请将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出。 某饭店现有高级客房60套，目前租金每天每套200元则基本客满，若提高租金，预计每套租金每提高10元均有一套房间会空出来，试问租金定位多少时，饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？ 总习题一 下列各对函数中哪些相同？哪些不同？ (1). (2). (3). (4). . 下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？ (1). (2). (3). (4). 下列函数中哪些是周期函数？并指出其周期： (1). (2). (3). (4). 指出下列函数的复合过程： (1). (2). (3). 求下列函数的定义域： (1). (2). (3). (1)设 求f（x）； (2)设 求f（x）. 设f（x）是 上的奇函数， ，有 （1）使用a表示f（2）与f（5）； （2）问a取何值时，f（x）是以2为周期的周期函数. 设 设 10. 设 11. 利用 的图形作出下列函数的图形： （1） ； （2） ； （3） . 12. 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低价为每台75元； （1）将每台的实际售价P表示为订购量x的函数； （2）将厂方所获的利润L表示为订购量x的函数； （3）某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 13. 一种汽车出厂价45000元，使用后它的价值按年降价率 的标准贬值，试求此车的价值y（元）与使用时间t（年）的函数关系. 14. 某大楼有50间办公室出租，若定价每间每月租金120元，则可全部租出，租出的办公室每月需由房主负担维修费10元，若每月租金每提高一个5元，将空出一间办公室，试求房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系，并确定每间月租金多少时才能获得最大利润？这时利润是多少？ 15. 每印一本杂志的成本为1.22元，每售出一半仅能获得1.20元的收入，但销售额超过15000本时还能取得超过部分收入的10%作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？销售量达到多少时才能获利达1000元？ 极限与连续 在微积分中，极限是一个重要的基本概念，微积分中其他的一些重要概念如微分、积分、级数等等都是建立在极限概念的基础上的。因此，有关极限的概念、理论与方法，自然成为微积分学的理论基石，本章将讨论数列极限与函数极限的定义、性质及基本计算方法，并在此基础上讨论函数的连续性。 数列的极限 一、引例 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。 设有一圆，首先作其内接正六边形，把它的面积记为 ；再作内接正十二边形，其面积记为 ；再作内接正二十四边形，其面积记为 ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正 边形的面积记为 .这样，就得到一系列内接正多边形的面积 它们构成一列有次序的数。当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以 作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了， 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想n无限增大（记为 ，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上成为上面这列有次序的数（所谓数列） 当 时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为微积分中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明，为此我们首先引入数列的定义，再讨论数列的极限。 二、数列的有关概念 以正整数集 为定义域的函数f（n）按 排列的一列数，称为数列，通常用 表示，其中 ，简写成 。 称为数列的通项，例如： 若存在正数M，对所有的n都满足 ，则称数列 为有界数列，否则称为无界数列。 若存在实数A，对一切n都满足 ，则称数列 为下有界，A是 的一个下界。同样，若存在实数B，对一切n都满足 ，则称数列 为上有界，B是 的一个上界。显然有界数列既有上界，又有下界，反之同时具有上、下界的数列必为有界数列。 例如，数列 是有界数列；数列 是无界数列。 数列 若满足 ，称数列 为单调增数列；若满足 ，称数列 为单调减数列。单调增数列与单调减数列统称单调数列。 将数列 在保持原有顺序情况下，任取其中无穷多项所构成的新数列成为数列 的子数列，简称子列，如： 均为 的子数列，子数列一般记为 其中 ，而 的下标k是子数列的项的序号（即子列的第k项的序号）。 三、数列极限的定义 对数列 通常要研究它的变化趋势，即要讨论是否存在一个常数a，当n无限增大时， 能与这常数a无限接近，若回答是肯定的，则称a是数列 当 时的极限。例如通过观察知0是数列 和数列 的极限；1是数列 的极限。 然而，这里所说的“n无限增大时”， 与a“无限接近”，都是一种模糊的说法。“n无限增大时”的含义是什么？ 与a“无限接近”又如何来刻划呢？我们知道两个数a与b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 来度量（在数轴上 表示点a与点b之间的距离）， 越小，a与b就越接近。 考场数列 ， 是以0为极限， 与常数0的接近程度可用 小于某个正数 来表示；若令 ，要使 ，则当n >10时， 都能满足与0的距离小于 ，即对于 以后的任一项 都能满足 ；若再取一个更小的正数 ，要使 ，则当n >100时，自第100项后的任一项 都满足 ；……由此可见，对于数列 ，无论给定多么小的正数，在n无限增大的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后（即n充分大以后）， ，则当 时，数列 从第N+1项起所有的 都能满足 ，无一项例外，此时，我们说数列 以0为极限。 定义 设数列 ，若存在一个常数a，对任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，恒有 成立，则称a是数列 的极限，或者称数列 收敛于a，记为 如果这样的数a不存在，就说数列 没有极限，或者说数列 是发散的，习惯上也说 不存在。 数列极限的定义有明显的几何意义。 若 ，则对于任给的 ，无论它多么小，都存在正整数N，在 中，从第N+1项开始以后所有各项全部落在a的 邻域中，在这个邻域之外，最多只有 的有限项 (图2-1). 图2-1 为了表达方便，引入记号“ ”表示对于任意给定的或对于每一个，记号“ ”表示“存在”。于是，“对于任意给定的 ”可写成“ ”，“存在正整数N”，写成“ 正整数N”，数列极限 的定义可表达为： ， 正整数N，当 n > N 时，有 以下举例验证数列的极限，用定义验证数列 的极限是a时，关键在于设法由任意给定的 ，求出一个相应的正整数N，使得当n > N 时，不等式 成立。 例1 用数列极限的定义证明 . 证 令 ， . 任给 ，要使 ，只要 .取正整数 .则当 n > N 时，恒有 . 由定义知， 例2 设 ，证明 . 证 令 ，当q = 0 时，结论显然成立，以下设 .任给 ，要使 ，即 ，只要 .取正整数 ，则当n > N时恒有 ，故 . 对数列极限定义的理解应注意以下两点： （1）正数 是任意给定的，它表达了 与a的无限接近意思。因此，一方面 具有任意性，另一方面它一旦给定，就应看作是不变的，以便根据它来求N。 （2）正整数N与任意给定的正数 有关，它随着 的给定而给定。用n > N刻画n足够大，它是保证 成立的条件。所以，对应于一个给定的 ，N不是唯一的，假定对某一个 ， 满足要求，那么大于 的任何自然数均满足要求。 四、收敛数列的性质 性质1 （极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一. 证 （反证法）设 有两个极限a、b，且 ，由数列极限的定义，对于任意给定的 ， ；又 ，取 ，则当n > N时，有 若取 ，代入上面不等式得 这是不可能的，这就表明 不可能有两个不同的极限。 性质2 （有界性）收敛数列必为有界数列 证 设数列 收敛于a，有数列极限的定义，对于 ， 取 ， ，对 n，均有 注：本论断的逆命题不成立，即有界数列未必收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。稍后我们将给出例子。 性质 3 （保号性）若 ，且 （或 ），则必存在正整数N，当n > N时，恒有 （或 ）. 证 设 取 ， 正整数N，当n > N时，有 这定理表明：若数列的极限为正（或负），则该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）。 根据这定理，可得如下推论： 若 （或 ）且 ，则 （或 ）. 性质 4 （收敛数列与其子数列间的关系）如果数列 收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。 由性质4可知，如果数列 有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 是发散的。例如数列 的子数列 收敛于1，而子数列 收敛于-1，因此数列 是发散的，这个例子说明了一个发散的数列也可能有收敛的子数列，同时也说明了有界数列不一定收敛。 习题2-1 观察下列数列的变化趋势，判别那些数列有极限，如有极限，写出它们的极限. （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 设 问： n应为何值时，才能使 与其极限之差的绝对值小于0.0001？ 对于数列 ，给定（1） ，（2） ，（3） 时，分别取怎样的N，才能使当n > N时，不等式 成立，并利用极限定义证明此数列的极限为1. 用极限定义考察下列结论是否正确，为什么？ 设数列 ，当n越来越大时， 越来越小，则 ； 设数列 ，当n越来越大时， 越来越接近于零，则 ； 设数列 ，若对 ，当n > N时，有无穷多个 满足 ，则 ； 设数列 ，若对 ， 中仅有有限个 不满足 ，则 . 用极限性质判别下列结论是否正确，为什么？ 若 收敛，则 （k为正整数）； 有界数列 必收敛； 无界数列 必发散； 发散数列 必无界. 利用数列的“ ”分析定义证明下列极限： ； （2） ； （3） ； （4） . 若 ，证明 ，并举例说明，如果数列 有极限，但数列 未必有极限. 对于数列 ，若 函数极限 函数极限的定义 因为数列 可看作自变量为n的函数 ，所以数列 的极限为a，就是当自变量n取正整数且无线增大（即 ）时，对应的函数值f（n）无限接近于确定的数a，把数列极限概念中的函数为f（n）而自变量的变化过程为 等特殊性撇开，这样可以引出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数那么这个确定的数就叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式。数列极限看作函数f（n）当 时的极限，这里自变量的变化过程是 。下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数f（x）的极限，主要研究两种情形： 自变量x任意接近于有限值 ，或者说x趋于有限值 （记作 ）时，对应的函数值f(x)的变化情形； 自变量x的绝对值 无限增大即趋于无穷大（记作 ）时，对应的函数值f(x)的变化情形。 自变量趋于有限值时函数的极限 现在考虑自变量x的变化过程为 ，如果在 的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于一个确定的数值A，那么就说A是函数f（x）当 时的极限。当然这里我们首先假定函数f（x）在点 的某个去心邻域内是有定义的，下面请看两个例子. 例1 函数 ，定义于 ，如图2-2.我们考察当x趋于 时，这个函数的变化趋势。为此列成表2-1. x 0 0.1 0.3 0.4 0.49 … 0.5 … 0.51 0.6 0.9 1 1 1.2 1.6 1.8 1.98 … 2 … 2.02 2.2 2.8 3 不难看出，当x越来越接近于 时， 与2的差越来越接近于0，当x充分接近 时， 可以任意小。因此对于任意给定的 ，要使 只要取 就可以了。这就是说，当x进入 的 邻域 时， 恒成立。这时我们称当x趋于 时， 以2为极限。 例2 ，定义于 如图2-3，我们也考察当x趋于 时，这个函数的变化趋势。显然表2-1中的所有数值，除 这一对数值之外，其他数值均适用于这个函数。可见，当x充分接近于 时， 与2的差的绝对值也可以任意小。因为，对于任意给定的 ，当x进入 时， 恒成立。因此，当x趋于 时， 也以2为极限。 图2-2 图2-3 由上面的两个例子可以看出，我们研究x趋于 时函数f（x）的极限，是指x充分接近于 时f（x）的变化趋势，而不是求 时f（x）的函数值。因此，研究x趋于 时f（x）的极限问题与 时函数f（x）是否有定义无关。 通过以上分析，我们可以给出 时函数的极限的定义如下 定义1 设函数f（x）在点 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式 时，对应的函数值f（x）都满足不等式 那么常数A就叫做函数f（x）当 时的极限，记作 如果这样的常数A不存在，那么称 时，f（x）没有极限。习惯上表达成 不存在。 定义1可以简单地表述为 对函数极限的定义的理解注意以下两点： 定义中的 刻画f（x）与常数A的接近程度， 刻画x与 的接近程度； 是任意给定的， 一般是随 而确定的； 定义中的 ，表示x与 距离小于 ，而 表示 ，因此 表示 .所以当 时，f（x）有没有极限与 在点 是否有定义并无关系。 函数 当 时的极限为A的几何解释如下：任意给定正数 ，作平行于x轴的两条直线 与 ，介于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定的 ，存在着点 的一个邻域 ，当 的图形上的点的横坐标x在邻域 内，但 时，这些点的纵坐标 满足不等式 或 亦即这些点落在上面所作的横条区域内（图2-4）. 图2-4 例3 证明 ，此处C为一常数。 证 这里 ，因此 ，可任取 ，当 时，能使不等式 成立，所以 例4 证明 . 证 这里 ，因此 ，总可取 ，当 时，能使不等式 成立，所以 例5 证明 . 证 对 ，由于 为了使 ，只要 所以， ，可取 ，则当x适合不等式 时，对应的函数值 就满足不等式 从而 上述 时函数 的极限概念中，x是即从 的左侧也从 的右侧趋向于 点的，但有时只能或只需考虑x仅从 的左侧趋于 （记作 ）的情形，或x仅从 的右侧趋向于 （记作 ）的情形。在 的情形，x在 的左侧，即 ，在 的定义中，把 改为 ，那么A就叫做函数 当 时的左极限，记作 类似地，在 的定义中，把 改为 ，那么A就叫做函数 当 时的右极限，记作 左极限与右极限统称为单侧极限 。 根据 时函数 的极限的定义以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数 当 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即 因此，即使 都存在，但它们不相等，则 仍不存在。 例6 函数 当 时极限不存在. 由于 而 因为 与 不相等，所以 不存在（图2-5）. 图2-5 自变量趋于无穷大时函数的极限 如果在 的过程中，对应的函数值 无限接近于某个确定的数值A，那么A叫做函数 当 时的极限，精确地说，就是 定义2 设函数 当 大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式 时对应的函数值 都满足不等式 那么常数A就叫做函数 当 时的