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nullnull 期权市场是世界上最具有活力和变化的市场之一，盈利和避 险的需要不断推动新工具的产生。 通过在常规期权的基础上加入了条件约束或者增加新的变量 等方式，形成比先前所学习的常规期权更复杂的衍生证券，统称 为奇异期权。奇异期权是世界上最具生命力的金融工具之一，其 内涵和外延无时不处在变化和拓展中。由于奇异期权的多样性， 要对它们进行完全的描述是不可能的。本章我们将介绍其中一些 常见的新型期权，分析其定价和保值机制。这些思路和方法将有 助于我们理解市场中不断创新的期权工具。 null标题 认知度 null知识点标题 认知度 null知识点标题 认知度 null 奇异期权：比常规期权(的欧式或美式期权 )更复杂的衍生证券。 比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期 权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作 废 。null分拆和组合是金融工程的核心之一。 最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。 通过对奇异期权到期时回报的数学整理，常常可以把期权分 成常规期权、简单期权和其他金融资产的组合，从而大大简化期权定价过程。null 如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的 偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的 独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。null 强路径依赖性质表明： 期权的损益除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征。期权价值是原先的期权价格、时间和至少再多一个独立变量的函数，相应的在期权价值偏微分方程中也将增加期权价值对这些独立变量的导数。 null 奇异期权的一种变化形式是在以上所述的所有特征中加入时间 依赖（Time Dependence）的特性 比如说美式期权只能在特定的一段时间之内提前执行，如百慕 大期权； 敲出期权的障碍位置也可以随着时间而不同，每个月都可以设 定一个比上个月更高的水平。这些合约都可以称作是时间上非均匀的（Time-inhomogeneous）。 这些变化使得期权合约更加丰富，也更符合客户和市场的特殊需求。 null2.弱式路径依赖期权合约和那些除了不是路径依赖之外其他条件都与之完全相同的期权合约的维数相同。维数（Dimensions）指的是基本的独立变量的个数。二维的形式：1.常规期权有两个独立变量 S 和 t ，因此是二维的。 对于这些合约来说，资产价格这个变量的作用和时间变量的作用是彼此不同的，因为在布莱克－舒尔斯方程中，包含了对资产价格的二阶偏导而只有对时间的一阶偏导。null1.有其他随机源的时候， 多维的形式：2.强式路径依赖的合约。 比如一种新的独立变量是路径依赖量（比如亚式期权中的价格平均数）的一个衡量，期权价值是依赖于这个量的。这样，期权价格方程中需要再增加新的变量，但这时期权价格对这个新变量的导数只是一阶的。这样这个新的变量看起来更像是一个象时间一样的变量，这与多标的资产的情况显然是不同的。nullnull 障碍期权（Barrier Options）是指期权的回报（Payoff）依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水平。通常有许多种不同的障碍期权在场外市场进行交易。null1.敲出障碍期权（Knock-out Options）：当标的资产 价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被 “敲出”）；如果在规定时间内资产价格并未触及障碍水 平，则仍然是一个常规期权。null2.敲入障碍期权（Knock-in Options）：正好与敲出期权相反， 只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在 （即“敲入”），其回报与相应的常规期权相同；反之该期权作 废。在此基础之上，我们可以通过考察障碍水平与标的资产初始 价格的相对位置，进一步为障碍期权分类： 1.如果障碍水平高于初始价格，则我们把它叫做向上期权。 2.如果障碍水平低于初始价格，则我们把它叫做向下期权。 将以上分类进行组合，我们可以得到诸如向下敲出看涨期权 （Down-and-out Call）、向下敲入看跌期权（Down-and-in Put）等组合形式。null根据市场需求而变形的特殊交易条款 null 障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受 到资产到期前遵循的路径的影响。 障碍期权是属于弱式路径依赖。我们只需要知道这个障碍是否 被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息。关于路径的信息不 会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被 触发，障碍期权到期时的回报仍然和常规期权是相同的。 障碍期权通常比常规期权便宜。障碍距离资产价格现价越近， 期权被敲出的可能性越大，合约就越便宜。相反，一个敲入期权将 会被某个相信障碍水平将会实现的人购买，这时期权同样也会比相 应的普通期权便宜。购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有 类似性质的现金流保值。 nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull尽可能地用交易活跃的常规看涨和看跌期权来复制障碍期权价值。障碍期权的静态套期保值 比如为向上敲出看涨期权空头保值的一个常用方法是买进同样价格和到期日的看涨期权多头，若期权敲出，则还有一个看涨期权多头可以弥补。null 但是只有在障碍水平和执行价格以正确的顺序排列 的时候才有效。反射保值 很简单但 效果相当不错， 这个方法建立在反射原理和看涨看跌对称的基础上，null亚式期权（Asian Options）是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。 它最重要的特点在于：其到期回报依赖于标的资产在 一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的平均 价格。它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格将成为定价 公式中的一个独立状态变量。 nullnullnullnullnullnullnullnull二阶矩近似法 控制方差法相似变量代换法null能在价格最高点卖出，或在最低点买进，是市场交易者梦寐以求的情形。回溯期权（Lookback Options）就提供了这样一种可能。 回溯期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称 为回溯时段）中达到的最大或最小价格（又称为回溯价 ），根据是资产价还是执行价采用这个回溯价格，回溯 期权可以分为： 固定执行价期权 浮动执行价期权 null回溯期权定价模型中包含路径依赖变量，属于强式路径依赖期权。 可依前述的强式路径依赖定价的思路，根据连续观测和离散观测的不同，将回溯期权定价纳入到布莱克-舒尔斯模型框架中。但回溯期权的定价和亚式期权有所不同： 亚式期权中平均价必然会随着观测值的增加而改变， 取最值的回溯价则不一定会改变 null Goldman, Sosin和Gatto（1979）推导出这个 方程的边界条件是 当 时， 。 最后由回报推出的边界条件是 （固定执行价看涨期权） （浮动执行价看跌期权） 连续观测条件下的回溯期权的定价模型 当 时，最大值不会改变， 。这时我们使用以 作为参数的方程 B. Goldman, H. Sosin, H & M. A. Gatto, “Path Dependent Option: Buy at the Low, Sell at the High,” Journal of Finance 34 (December 1979), 1111-1128 null离散观测条件下回溯期权的定价nullnullnullnullnullnullnullnullnull 打包期权通常是由常规的欧式期权、远期合约、现金和标的资产等构成的证券组合。 经济意义：可以利用这些金融工具之间的关系，组合成符合需要的投资工具 最常见的打包期权：具有零初始成本的期权组合 另一种可以实现零初始成本的期权是延迟支付期权（Deferred Payment Options） 原理：目前不支付期权价格，到期时支付期权价格的终值。 执行价格等于相应资产的远期价格时，这类延迟支付期权又叫做不完全远期、波士顿期权、可选退出的远期和可撤销远期。 null标准美式期权在有效期内任何时间都可执行且执行价格总 是相同的，非标准美式期权则对其做了一些改动： 百慕大期权（Bermudan Options）只能在事先确定的 时间内提前执行 公司发行的认股权证（Warrants）往往规定提前执行 的时间段，而且执行价格也会有所不同nullnullnullnullnullnull复合期权和选择者期权的定价模型在实际应用方面存在着同样的问题： 期权价值对资产价格服从的概率分布性质非常敏感，这些公式在实际当中都很少直接使用，交易者常常用我们在第七章中所介绍的随机波动率模型或是隐含波动率矩阵来定价。nullnullnullnullnull1.奇异期权的基本类型包括分拆与组合、弱式路径依赖、强式路径 依赖、时间依赖、维数和阶数。 2.奇异期权的变化很多，并且处在不断的衍生和变化当中。 3.障碍期权的回报依赖于标的资产的价格在特定时间内是否达到了一 个特定的水平，一般可以分 为敲出期权、敲入期权、向上期权和向下期权等。障碍期权属于弱 式路径依赖期权。 4.亚式期权的回报依赖于标的资产在一段时间内的平均价格，回溯期 权的损益则依赖于标的资产在某个确定的时段中达到的最大或最小 价格，它们都属于强式路径依赖期权。 5.其他的奇异期权还包括两值期权（现金或无价值期权、资产或无价 值期权）、打包期权（由期权和其他金融资产组成的证券组合）、 远期开始期权（现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权）、 二阶期权（复合期权和选择者期权）、多资产期权（多个标的资产 的期权）以及呐喊期权等等。null6.大多数奇异期权和路径依赖期权的定价仍然可以在布莱克－舒 尔斯模型框架中进行。例如障碍期权中的障碍条件主要反映在相 应的边界条件上，连续平均的亚式期权在原来的偏微分方程中加 进了对新的平均值变量的一阶偏导。我们也可以得到其中一些奇 异期权的定价公式。但是大部分情况下，我们无法得到精确的解 析解，或者是这些公式难以在实际中运用，大多时候人们是用数 值方法或是近似方法来为奇异期权和路径依赖期权定价。 7.蒙特卡罗模拟常用于处理路径依赖期权，但缺点是收敛缓慢， 为此，人们对树图方法进行了多种改进，使之可以用于估计许多 路径依赖型的期权价格。 8.有些奇异期权比常规期权更容易保值，如亚式期权，另一些奇 异期权则更难保值，如障碍期权，现实中人们使用静态期权复制 的方法来为之保值 。null奇异期权确实是无法尽述的。它的丰富多变就是金融工程 的核心和魅力的体现。 null 1.二阶矩近似法 这是在现实中应用得最广泛的方法之一，它适合于为离散算术 平均亚式期权定价。其主要思想是：尽管分布是未知的，但算术平均价 格的前两阶矩（即均值和方差）是可以精确计算出来的，用一个适合前 两阶矩的对数正态分布逼近算术平均价格的分布，即假定算术平均的分 布是具有相同均值和方差的对数正态分布，进而计算算术平均亚式期权 的价格。 考虑一个刚推出的亚式期权，其平均值为从发行零时刻到到期 时刻之间的算术平均： 定义一阶矩 二阶矩 这是因为欧式算术平均执行价看涨期权价格的边界条件是： ； ； ； 。null 由于使用对数正态逼近，我们可以把算术平均价格期权看作一 个波动率为 的标的资产为期货的期权，其中 ； 这样，就把算术平均亚式期权定价转化成了常规期货期权的定价问题。 以上的计算仅适合于新期权。若期权已经存在了一段时间 ，还剩下 时间。在 内，已经可以观察到构成平均值的部分价格，这段时间的平均价格为 ，对于一个平均资产价看涨期权来说，这个期权的回报为： （9.6） 其中 是剩余期限内的平均价格。式（9.6）可以写作： 其中 。null 当 时，期权仍然可以用前面的方法定价，只是用 作为执行价格，并把结果乘上 ；如果 ，期权肯定会被 执行，可以看成一个远期合约，其价值为： .null 2. 控制方差法 亚式期权中的控制方差法主要是利用价格公式计算几何平均期权的价格 ，再应用蒙特卡罗模拟得到几何平均期权的近似价格 ，将误差 作为除了采用算术平均之外其他条件都相同的（即这两种期权的标的资产价格路径是相同的）期权价格的估计值 的一个控制，即期权A价值的一个无 偏估计是 ，这个方法可以降低对 估计的方差，从而缩小算术平均亚式期权定价的蒙特卡罗模拟的置信区间。这个方法在实际中也很常用。 null 3. 相似变量代换法 亚式期权价格是三个变量的函数：标的资产价格S，时间t和一 个表示平均价格演进状态的状态变量I。在一些情况下，由于期权本身的 结构性特点，使得这个问题可以用一个相似变量将其降为二维的方程。 比如连续取样的算术平均执行价期权，其代换过程如下： 算术平均执行价看涨期权的回报为： 将 提取出来，令 ，得到回报的另一种形式为： 这样，期权价值可以写成两个变量的函数： 我们发现，欧式算术平均执行价看涨期权的W满足如下的偏微分方程：null 其边界条件为： ； ； 这个偏微分方程可以用数值方法求解，比较简单。 除此之外，为亚式期权定价的方法还包括四阶矩近似法、二叉树 模型等。