诊断肾炎问题

（3）中，r 为原来变量 与 的相关系数，其计算公 式为 ix jx ( )( ) ( ) ( ) ( )4 1 1 22 1 ∑ ∑ ∑ = = = −− −− = n k n k jkjiki n k jkjiki ij xxxx xxxx r 因为 R是实对称矩阵（即 jiij rr = ），所以只需计算其上三角元素或下三角元 素即可。 2） 计算特征值与特征向量 首先解特征方程 0=− RIλ 求出特征值 ( )pii ,,2,1 L=λ ，并使其按大小顺序排 列 ， 即 0,21 ≥≥≥≥ pλλλ LL ； 然 后 分 别 求 出 特 征 值 iλ 的 特 征 向 量 。 ( )piei ,,2,1 L= 3） 计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分 贡献率：iz ( )pirp k k i ,,2,1 1 L= ∑ = γ ， 累计贡献率： ∑ ∑ = = p k k m k k 1 1 γ γ 一般取累计贡献率达 85%-95%的特征值 mλλλ ,,, 21 L 所对应的第一，第 二，……，第 个主成分。 ( pmm ≤ ) ( ) 4)计算主成分载荷 ( ) ( )5,,2,1,, pkiexzp kikik L== γ ( )6 21 22221 11211 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = nmnn m m zzz zzz zzz Z L MOMM L L 由此可以进一步计算主成分得分： 以上步骤我们可以用MATLAB 求解： [ ] )cov(,, xpcaexlapc = 其中 比，表示每个主成分的百分表示特征值，表示主成分， exlapc x 表示为 协方差矩阵。 五、模型的建立与求解 5.1 问题一与问题二模型的建立与求解 5.1.1 距离判别法 sMahalanobi Zn Cu 提取特征，就诊人员的化验结果的每种元素为一特征 特征 Fe Ca Mg K Na 编号 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 计算各个总体的样本均值向量 ( )ix ，确诊为肾炎患者样本的均值向量： ( ) ( ) 10.143178193185166 30 11 1 =++++= Lx ( ) ( ) 33.128.2880.97.158.15 30 11 2 =++++= Lx ( ) ( ) 07.234.329.255.315.24 30 11 3 =++++= Lx ( ) ( ) 17.698992541701700 30 11 4 =++++= Lx ( ) ( ) 39.113112163125112 30 11 5 =++++= Lx - 7 - ( ) ( ) 13.2012.70128184179 30 11 6 =++++= Lx ( ) ( ) 83.526169642427513 30 11 7 =++++= Lx 确诊为非肾炎患者的样本均值向量： ( ) ( ) 6.186179162170213 30 12 1 =++++= Lx ( ) ( ) 92.210.212.139.131.19 30 12 2 =++++= Lx ( ) ( ) 01.620.358.198.292.36 30 12 3 =++++= Lx - 8 - ( ) ( ) 13.25111560152112852220 30 12 4 =++++= Lx ( ) ( ) 14.295226166226249 30 12 5 =++++= Lx ( ) ( ) 37.909.472.369.470.40 30 12 6 =++++= Lx ( ) ( ) 21.367330133330168 30 12 7 =++++= Lx 21, s TT s ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − ++ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − = 83.526169 13.2012.70 39.113112 17.698992 07.234.32 33.128.28 10.143178 83.526169 13.2012.70 39.113112 17.698992 07.234.32 33.128.28 10.143178 83.526513 13.201179 39.113112 17.698700 07.235.24 33.128.15 10.143166 83.526513 13.201179 39.113112 17.698700 07.235.24 33.128.15 10.143166 1 L 计算肾炎患者和非肾炎患者样本的离差矩阵 s 类似的计算出非肾炎患者样本的离差矩阵 ，则 2s ( )21 21 2 1ˆ ss nn v +−+= 判别函数为： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )21121 ˆ 2 1 xxvxxxxw T −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−= − 7064.40.00360.0008-0.0115-0.0036-0.0195-0.20040.004 7654321 +++−= xxxxxxx 根据已知确诊病例样品的样本值代入 ( )xw 中值的符号，可知回代效果准确率 达到 以上，因此回代效果明显，对于待判对象表二中的 30 位就诊人员，将 其化验元素结果代入 中，得到 %95 ( )xw ( )xw 的值依次为 61-70 3.934 1.271 -0.581 4.655 1.820 0.593 -3.367 0.620 1.978 -4.413 71-80 2.056 3.747 3.221 -2.252 0.500 2.597 -0.617 -1.351 2.287 -3.932 81-90 -5.964 -3.650 4.481 -1.499 2.947 -3.667 -0.175 -6.881 -13.616 -1.353 ( )xw 为正表示该就诊人员是肾炎患者， ( )xw 为负表示该就诊人员是非肾炎 患者。因此根据上表可得病例号 为肾炎 患者，病例号 ， 为非肾炎患者。 85,83,7679,75,73,72,71,69,68,66,65,64,62,61 67,63 90,89,88,87,86,84,82,81,80,78,77,74,70 5.1.2 判别法 Fisher 样本空间为 2，故可取判别函数为 ( ) ( ) ( )( ) 76432121 62.15976.11096.181294.3859.95.43 xxxxxxxxxxy T −−+++=−= 记 ( )( ) ( )( )2211 , xyCxyC == 取判别阀值为 621 0 1087.22 ×=+= CCy 对确诊病例进行回代回代效果准确率达到 ，回代效果显著，且根据其数 据特征知判别函数值大于阀值的为非肾炎患者，小于阀值为肾炎患者。将待确诊 的就诊人员的化验结果代入判别函数中得到 为非 肾炎病人，其余的为肾炎病人。 %90 90,89,88,86,84,82,81,80,75,74,70 5.2 问题三的模型建立与求解 以附表前 60 行 列为总体主成分矩阵，根据模型建立和问题分析，利用7 MATLAB 求解可得： 各样本主成分的贡献率分别为 %0050441.0%091462.0%11637.0%34322.0%82247.0%6847.5%937.92 、、、、、、 76543211 015.0026.0103.0994.0019.0010.0015.0 xxxxxxx + 前两个主成分的累计贡献率达到 ，故在实际中只取前两主成分。 %6217.98 即：Y + − − ++−= 76543212 861.0501.0066.0019.0023.0013.0048.0 xxxxxxx − Y + − − +−−= 1 54 , xx 6x 765411 015009.0025867.010324.099409.0015225.0 xxxxxY 由此可知，第一主成分Y 与 有较大的负相关，第二主成分 与 有 较大的负相关，与 有较大的正相关，故可认为 是影响人 们患肾炎的关键或主要因素，进而可以只考虑 的影响关 系。 2Y 17 xx ， ZnMgKNaCa 、、、、 ZnMgKNaCa 、、、、 根据此前的步骤，以前 60 行特定 5 列为总体主成分，同理可得： 第一主成分的贡献率达到 ，符合其标准，所以在实际中只取第一主成分 为： %079.93 − + +−−= ]'015009.0025867.010324.099409.0015225.0[ 5.3 问题四的求解 −−−=B 设 则附表前 30 行特定 5 列（即肾炎患者的 的系数）与 B 相乘，所得结果大都是 3 位数，见附表，附表第 31 行到 60 行特定 5 列（即非肾 炎患者的 的系数）与 B 相乘，所得结果大都是 4 位数，所 以用附表后 30 行特定 5 列（需要判别的 的系数）相乘得 到一系列数据，因此可判定 为肾炎患者。 ZnMgKNaCa 、、、、 ZnMgKNaCa 、、、、 ZnMgKNaCa 、、、、 7673726968676665646261 ，，，，，，，，，， 5.4 问题五的求解 我们对 号病例中 进行分析，为了观测方便，我们把所有的数据作 图，如下图： 9061− Ca - 9 - 图二 由图二与问题五的分析可判定 是肾炎患者， 这完全与问题四的结果一样，用 距离判别法所求结果肾炎患者是 ，它与 的相似率为 7673726968676665646261 ，，，，，，，，，， sMahalanobi 85,83,7976,75,73,72,71,69,68,66,65,64,62,61 ， 7673726968676665646261 ，，，，，，，，，， 3 2 ，再考虑用 判别法所求的结果，它所求出的肾炎患者是 ， 它 与 第 五 问 所 求 的 相似率为 Fisher 87,85,83,79,78,77,76,73,72,71,69,68,67,66,65,64,63,62,61 7673726968676665646261 ，，，，，，，，，， 19 11。 又因为在问题三中我们可知Ca是最主要的影响因素，所以我们可以认定用 主成分分析法的结果更准确， 距离判别法其次， 判别法更差 一点。 sMahalanobi Fisher 六、结果分析 根据问题一提出的两种判别方法对待判定的就诊人员的化验结果进行判定， 根据 距离判别法知 为肾 炎 患 者 ， 其 余 的 均 为 非 肾 炎 患 者 ， 而 根 据 判 别 法 知 为非肾炎患者，其余的为肾炎患者。由于两种判 别方法的回代效果都未达到 100%因此判定结果存在偏差。 sMahalanobi 85,83,7679,75,73,72,71,69,68,66,65,64,62,61 Fisher 90,89,88,86,84,82,81,80,75,74,70 由问题三的结果可知，如果选取其中相关系数绝对值最大者作为作表，则是 ，它在决定是否患有肾炎有绝对的代表权。我们从医学上了解，影响患肾炎 的因素有 ，而在我们所求得的结果中，这三种因素都有，所有我们 Ca NaKCa 、、 - 10 - 可以认定，问题三的结果符合实际情况。 由第三问中选出的主成分来判定出来的结果，与第二问的结果相比更具有代 表性。但由于是根据其患病和非患病的特点来判定 9061− 号病例是否患病，而其 特定是由人工算得，其中会产生误差。 在问题五中我们只考虑了Ca的影响，太过于单调，会造成一定的偏差。但 在问题三中我们求出Ca对肾炎的影响最相关，因此考虑 是最简单也是误差最 小的判定方法。 Ca 七、模型的优缺点分析 （1）在运用判别分析中将确定样本回代，回代效果都较高，在对表二中的病历 号进行判别时具有科学性； （2）在 Fisher 判别方法中，将七维空间映射到一维，会因信息量的损失而产生 一定的误差； （3）主成分分析法选取了其中一些主成分进行分析，更简便也更具有代表性； （4）在问题五中只考虑了Ca的分布，造成了一些误差。 八、参考文献 【1】姜启源、谢金星、叶俊；数学模型（第三版），高等教育出版社，2003 年 8 月 【2】韩中庚；数学建模竞赛（获奖论文精选与点评），科学出版社，2007 年 5 月 九、附录 病例号 Zn Cu Fe Ca Mg K Na 1 166 15.8 24.5 700 112 179 513 2 185 15.7 31.5 701 125 184 427 3 193 9.8 25.9 541 163 128 642 4 159 14.2 39.7 896 99.2 239 726 5 226 16.2 23.8 606 152 70.3 218 6 171 9.29 9.29 307 187 45.5 257 7 201 13.3 26.6 551 101 49.4 141 8 147 14.5 30 659 102 154 680 9 172 8.85 7.86 551 75.7 98.4 318 10 156 11.5 32.5 639 107 103 552 11 132 15.9 17.7 578 92.4 1314 1372 12 182 11.3 11.3 767 111 264 672 13 186 9.26 37.1 958 233 73 347 14 162 8.23 27.1 625 108 62.4 465 15 150 6.63 21 627 140 179 639 16 159 10.7 11.7 612 190 98.5 390 - 11 - - 12 - 17 117 16.1 7.04 988 95.5 136 572 18 181 10.1 4.04 1437 184 101 542 19 146 20.7 23.8 1232 128 150 1092 20 42.3 10.3 9.7 629 93.7 439 888 21 28.2 12.4 53.1 370 44.1 454 852 22 154 13.8 53.3 621 105 160 723 23 179 12.2 17.9 1139 150 45.2 218 24 13.5 3.36 16.8 135 32.6 51.6 182 25 175 5.84 24.9 807 123 55.6 126 26 113 15.8 47.3 626 53.6 168 627 27 50.5 11.6 6.3 608 58.9 58.9 139 28 78.6 14.6 9.7 421 70.8 133 464 29 90 3.27 8.17 622 52.3 770 852 30 178 28.8 32.4 992 112 70.2 169 31 213 19.1 36.2 2220 249 40 168 32 170 13.9 29.8 1285 226 47.9 330 33 162 13.2 19.8 1521 166 36.2 133 34 203 13 90.8 1544 162 98.9 394 35 167 13.1 14.1 2278 212 46.3 134 36 164 12.9 18.6 2993 197 36.3 94.5 37 167 15 27 2056 260 64.6 237 38 158 14.4 37 1025 101 44.6 72.5 39 133 22.8 31 1633 401 180 899 40 156 135 322 6747 1090 228 810 41 169 8 308 1068 99.1 53 289 42 247 17.3 8.65 2554 241 77.9 373 43 166 8.1 62.8 1233 252 134 649 44 209 6.43 86.9 2157 288 74 219 45 182 6.49 61.7 3870 432 143 367 46 235 15.6 23.4 1806 166 68.8 188 47 173 19.1 17 2497 295 65.8 287 48 151 19.7 64.2 2031 403 182 874 49 191 65.4 35 5361 392 137 688 50 223 24.4 86 3603 353 97.7 479 51 221 20.1 155 3172 368 150 739 52 217 25 28.2 2343 373 110 494 53 164 22.2 35.5 2212 281 153 549 54 173 8.99 36 1624 216 103 257 55 202 18.6 17.7 3785 225 31 67.3 56 182 17.3 24.8 3073 246 50.7 109 57 211 24 17 3836 428 73.5 351 58 246 21.5 93.2 2112 354 71.7 195 59 164 16.1 38 2135 152 64.3 240 - 13 - 60 179 21 35 1560 226 47.9 330 61 58.2 5.42 29.7 323 138 179 513 62 106 1.87 40.5 542 177 184 427 63 152 0.8 12.5 1332 176 128 646 64 85.5 1.7 3.99 503 62.3 238 762.6 65 144 0.7 15.1 547 79.7 71 218.5 66 85.7 1.09 4.2 790 170 45.8 257.9 67 144 0.3 9.11 417 552 49.5 141.5 68 170 4.16 9.32 943 260 155 680.8 69 176 0.57 27.3 318 133 99.4 318.8 70 192 7.06 32.9 1969 343 103 553 71 188 8.28 22.6 1208 231 1314 1372 72 153 5.87 34.8 328 163 264 672.5 73 143 2.84 15.7 265 123 73 347.5 74 213 19.1 36.2 2220 249 62 465.8 75 192 20.1 23.8 1606 156 40 168 76 171 10.5 30.5 672 145 47 330.5 77 162 13.2 19.8 1521 166 36.2 133 78 203 13 90.8 1544 162 98.9 394.5 79 164 20.1 28.9 1062 161 47.3 134.5 80 167 13.1 14.1 2278 212 36.5 96.5 81 164 12.9 18.6 2993 197 65.5 237.8 82 167 15 27 2056 260 44.8 72 83 158 14.4 37 1025 101 180 899.5 84 133 22.8 31.3 1633 401 228 289 85 169 8 30.8 1068 99.1 53 817 86 247 17.3 8.65 2554 241 77.5 373.5 87 185 3.9 31.3 1211 190 134 649.8 88 209 6.43 86.9 2157 288 74 219.8 89 182 6.49 61.7 3870 432 143 367.5 90 235 15.6 23.4 1806 166 68.9 188 附表 1 第四问附表： 病例号 参数 病例号 参数 病例号 参数 是否肾炎 1 -697.62 31 -2232.3 61 -323.89 是 2 -701.41 32 -1297.1 62 -547.52 是 3 -544.62 33 -1528.7 63 -1331.6 否 4 -886.29 34 -1546.2 64 -490.16 是 5 -616.46 35 -2285.8 65 -549.07 是 6 -322.06 36 -2995.8 66 -799.13 是 7 -557.84 37 -2068 67 -470.31 是 8 -653.68 38 -1029.5 68 -952.63 是 - 14 - 9 -550.86 39 -1648.6 69 -325.18 是 10 -637.7 40 -6804 70 -1984.7 否 11 -531.55 41 -1068.8 71 -1173 否 12 -759.78 42 -2559.9 72 -328.3 是 13 -972.13 43 -1241 73 -271.21 是 14 -626.33 44 -2172 74 -2227.2 否 15 -625.81 45 -3885.3 75 -1612 否 16 -622.02 46 -1811.4 76 -679.43 是 17 -981.7 47 -2509.3 77 -1528.7 否 18 -1439.5 48 -2045.1 78 -1546.2 否 19 -1219.9 49 -5358.8 79 -1071.6 否 20 -610.92 50 -3611.8 80 -2286.6 否 21 -348.26 51 -3179.6 81 -2992.9 否 22 -615.52 52 -2360.7 82 -2071 否 23 -1146 53 -2218.2 83 -1013.6 否 24 -133.71 54 -1632.8 84 -1656.5 否 25 -814.26 55 -3787.1 85 -1060.9 否 26 -615.8 56 -3080.1 86 -2559.9 否 27 -607.65 57 -3853.6 87 -1213.1 否 28 -416.61 58 -2135 88 -2172 否 29 -592.39 59 -2135.3 89 -3885.3 否 30 -996.06 60 -1570.6 90 -1811.4 否 问题四程序数据： b=cov(x) b = 2330.5 99.033 376.39 25355 2690.6 -3342.2 -4408.5 99.033 313.29 565.53 16211 2232.8 52.499 1035 376.39 565.53 3301.1 31804 5057.9 -412.58 1816.6 25355 16211 31804 1.6663e+006 1.7243e+005 -41873 -23590 2690.6 2232.8 5057.9 1.7243e+005 24974 -3638.1 4176.1 -3342.2 52.499 -412.58 -41873 -3638.1 37585 39260 -4408.5 1035 1816.6 -23590 4176.1 39260 80209 [pc,la,ex]=pcacov(b) pc = -0.01522 0.047532 0.029361 -0.046693 -0.28255 0.95409 -0.065879 -0.0096871 -0.01347 0.026498 -0.063816 0.043602 -0.059197 -0.99476 -0.019083 -0.022964 0.10422 -0.31812 0.90575 - 15 - 0.25363 0.048289 -0.99386 -0.019357 -0.051166 0.0943 0.018246 -0.0030542 0.0035096 -0.10324 -0.065548 0.32667 -0.87074 -0.31156 -0.1391 0.061076 0.025853 -0.50148 -0.82052 -0.2705 -0.021405 0.031018 -0.00074892 0.01497 -0.86074 0.45275 0.22869 -0.0046637 0.039437 0.0063475 la = 1.6868e+006 1.0318e+005 14930 6229.5 2112.2 1660.1 91.551 ex = 92.937 5.6847 0.82257 0.34322 0.11637 0.091462 0.0050441