高等数学一-微积分

中设定需求量与产量为理想状态的关系，即D=Q 一、需求函数：D=D(P) 二、总收益函数： 三、总成本函数：C=变动成本+固定成本 四、总利润函数：L=R-C 例：已知需求函数 ，求R(P), R(D). 解： R=P×D=P×(20-2P)=-2P2+20P ∴R(P)= -2P2+20P R(D)= 第二章 函数的极限、连续性 2.1 函数的极限 一、数列的极限 1、数列：按自然数的顺序排列的一列数， . 首项， 通项公式。 2、数列的极限：对于 ，当n→(趋向于)∞时，if →A, 则A叫 当n→∞时的极限。 记作： 二、函数的极限 1、对于y=f(x), 当x→∞时，if f(x) →A, 则A叫f(x)当x→∞时的极限， 的充分必要条件： ，即左右极限存在且相等。 例：判断 是否存在。 解：由arctanx的图象可知 当x→-∞时， 当x→+∞时， 所以 不存在。 2、对于y=f(x), 当x→xo时, if f(x) →B, 则B叫做f(x)当x→xo时的极限， 的充分必要条件： ，即左右极限存在且相等。 例1 已知 ，判断 是否存在。 解： ∴ 存在 例2 判断 是否存在。 解： ∴ 不存在 三、函数的极限的计算 1、运算法则：已知 (K是常数) 2、判别法则 (1)夹逼准则：在xo的邻域存在f(x), g(x), w(x)，且g(x)≤f(x)≤w(x) if , 则 (2)单调有界函数必有极限 三、一般初等函数求极限 1、当x→xo时，if f(x)在xo有意义，则极限等于f(xo). f(x)在xo无意义，则对f(x)进行恒等变换，将f(x)变换为在xo有意义或公式的形式。 2、当x→∞时，利用公式或利用 来求极限。 四、分段函数求极限(以x→xo为例) 1、如果xo不是分段点，则按初等函数定。 2、如果xo是分段点，则利用充分必要条件。 例1 已知 ，求 解：(1) (2) (3) 当x→1时，1为分段点，利用左右极限存在且相等的充分必要条件： 例2 已知 ，求 解： 2.2 无穷大量、无穷小量 一、定义：对于y=f(x), 当x→xo(x→∞)时 if f(x)→∞, 则称f(x)是当x→xo(x→∞)时的无穷大量。 if f(x)→0, 则称f(x)是当x→xo(x→∞)时的无穷小量。 注：当x→0时， 既不是无穷大量，也不是无穷小量，是一个有界函数。 当x→∞时， 是无穷小量。 二、两者间的关系：当x在同一变化趋势下时，两者互为倒数。 已知当x→xo时，如果f(x)→∞(0)，则 三、无穷小量的性质 1、有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。 2、无穷小量与有界函数的积，仍为无穷小量。 三角函数的角度 →0时，用公式来求极限。 →∞时，把三角函数当成有界函数，配无穷小量来求极限。 3、如果 , 则在xo的邻域内f(x)-A=ω(x)(无穷小量)，即f(x)与A之间相差一个无穷小量。 四、无穷小量的阶次的比较 已知x→xo(x→∞)时，f(x)→0, g(x)→0, 取 例1 当x→0时，比较 与x的阶次。 解： ∴ 两者同阶 例2 当x→0时，比较ln(1+x)与x的阶次。 2.3 函数的连续性 一、定义：对于y=f(x)在xo的邻域内有定义，当x取xo+Δx时，y=f(xo+Δx)， 则 Δy=f(xo+Δx)-f(xo). if Δx→0, 则Δy→0, 即 , 则称y=f(x)在xo连续。 if , 则y=f(x)在xo处是连续函数。 由定义可得出函数连续的三个必要条件： (1) y=f(x)在xo有意义 (2)当x→xo时，极限存在 (3)极限等于f(xo) 1、初等函数的连续性 在定义域内一定连续。 2、分段函数的连续性 (1)如果xo不是分段点，则当初等函数看待。 (2)如果xo是分段点，则利用由定义得出的三个必要条件来判断。 例1 求 的连续区间。 例2 已知 ，讨论y=f(x)在x=1处的连续性。 解：(1)当x=1时，f(1)=2 (2) 例3 已知 ，求a的值，使f(x)在(-∞,+∞)内连续。 a=1时，f(x)在(-∞,+∞)内连续 二、在闭区间连续函数的性质 1、如果y=f(x)在[a, b]连续，则在[a, b]内能取到最大值max和最小值min。 2、零点存在的原理 y=f(x)在[a, b]连续，且f(a)×f(b)<0，则至少存在xo (a, b)，使f(xo)=0，xo叫零点。 例：求证方程x5-5x-1=0在(1, 2)内至少存在一个实数根。 ：令f(x)= x5-5x-1在[1, 2]连续 f(1)-5 f(2)=21 ∴ 根据零点存在的原理，至少存在xo (1, 2)，使f(xo)=0 ∴ 方程在(1, 2)内至少存在一个实数根。