罗立锋的毕业论文

学科分类号 0701 本科学生毕业论文（设计） 题目（中文）： 凸函数的性质及其应用 （英文）：Nature and Application of Convex Function 姓 名 罗立锋 学 号 200516051116 院 系 数学与计算科学系 专业年级 信息与计算科学2005级 指导教师 周雪刚 2009年 4 月20日 凸函数的性质及其应用 摘 要 凸函数是一类重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，本文给出了凸函数的三种等价定义，并讨论了凸函数的有关性质，以及它在不等式方面的相关应用。 [关键词] 凸函数 等价定义 性质 应用 最优化 Nature and Application of Convex Function Abstract Convex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality [Key wards] Convex function The definition of equivalence nature application Optimization 目 录 绪论 …………………………………………………（1） 1​ 凸函数的概念与等价定义 ………………………… （1） 1.1​ 凸函数的概念 ………………………………… （1） 1.2​ 凸函数的等价定义……………………………… （2） 2​ 凸函数的简单性质 ……………………………………（3） 3​ 凸函数的判定定理 ……………………………………（5） 4​ 关于凸函数的几个重要不等式…………………………（7） 4.1​ Jensen不等式………………………………………（7） 4.2​ Hadamard不等式……………………………………（10） 5 凸函数的应用 …………………………………………（11） 5.1 凸函数在证明不等式中的应用……………………（11） 5.2.一般凸函数和凸集…………………………………（13） 5.3 广义凸函数求极小的问题…………………………（14） 5.4广义凸函数求极大的问题…………………………（16） 结束语 ………………………………………………………（19） 致谢 …………………………………………………………（19） 参考文献……………………………………………………（20） 绪论 凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学的创始人定义运筹学是：“管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法。”它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大效益。随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。 本世纪初建立了凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用。现行高等数学教材中,也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用；研究凸函数在最优化中的应用，研究比凸函数更一般的各类凸函数，给出它们的定义及以及其之间的关系；以及广义凸函数求极小的问题（即广义凸规划）和广义凸函数求最大的问题。 1 凸函数的概念与等价定义 1.1​ 凸函数的概念 人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。这种从几何直观给出的关于曲线凸（凹）的概念反映在数学上就是达该曲线的凸（凹）性概念。 定义1 设 是定义在区间 上的函数，若对 上的任意两点 , ,常有 则称 为 上的凸函数。 定义2 若在定义 上成立不等式（ ≠ ） < 则称 是 上严格的凸函数。 例1 .1.1 指数函数 ( >0, ≠1)是（-∞，+∞）上的严格凸函数。 不难验证，恒正的函数 ( >0, ≠1)满足关系式 由指数函数的单调性可知，当 时，必有 ，再由不相等正数的几何平均值小于它们的算术平均值，则有 < 综上所述可得： < 因此， ( >0, ≠1)是（-∞，∞）上的严格凸函数。 1.2 凸函数的等价定义 定义 1 设 在区间 上有定义， 在 上成为凸函数当且仅当对任意 , ∈ ,任意 ∈(0,1)有 若不等号反向，则称 为 上的凹函数。 若“≤”改为“<”，则称 为 上的严格凸函数。 定义2 设 在区间 上有定义, 在 上成为凸函数当且仅当对任意 , ∈ ,有 定义3 设 在区间 上有定义， 在 上成为凸函数当仅当对任意 , …, ∈ ,有 推论：若 在区间 上成为凸函数，则对任意 < < ,有 注：若 在 上连续，则上述定义1,2,3等价。 2 凸函数的简单性质 在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质。 定理2.1 设 在区间I上为凸函数，对任意 ，则: 时， 在区间上为凸函数 时， 在区间上为凹函数 定理2.2 设 ， 是间I上的凸函数，则其和 也是I上的凸函数。 由定理2.1和定理2.2可知下面的推论 推论：设 ， 是间I上的凸函数，则线性组合的函数 为I上的凸函数 为I上的凹函数 定理2.3 若设 ， 是间I上的凸函数，则 为I上的凸函数 定理2.4 设 是单调递增的凸函数，u = f (x)是凸函数，则复合函数 也是凸函数 定理2.5 设 为区间I上的凹函数， ，则 为区间I上的凸函数，反之不真。 证明：要证 为区间I上的凸函数，即证任意 有 因为 ，为凹函数。故有 所以： 只需证明： 由于 ，故 成立，结论得证。 另：设 为R上的凸函数，但 仍为凸函数。 定理2.6 若 在区间I上为凸函数，对任意 ，则 为I的内点。则单侧导数 皆存在，且 。 推论：若 为I上的凸函数，则 在I上的内点连续。 定理2.7 为区间 上的凸函数，对任意 对任意 有 证明：（必要性） 已知 为区间 上的凸函数，则由定理2.5可知对任 ， 存在， 且 单调于 。 故对 当 时有 同理，当 时，当 时有 因为 故对 ， 对 ，总有 （充分性）对 ，由题设，对 ，存在 使得 在上式中分别令 得 证毕。 3 凸函数的判定定理 利用凸函数的定义判别函数 是否为凸函数，常常并不方便。因此需要建立一系列的便于应用的判别法。 定理3.1 若函数 是区间 上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数 是 上的一个凸函数。 证明：设 ，则 由于 是递增的，故 从而得 这样，由定义1可知， 是凸函数。 定理3.2若 在间 上存在，则 在 上成为凸函数的充分必要条件是： 在 上 证明：（1）必要性，已知 为凸函数，令 ，并设 因而 ，这样就有 即 用反证法，假定 ，由 可知，存在 ，使得 另外，从 知 是 的减函数。但这函数当 时等于 。 因此， 这与结论矛盾，因而 （2充分性，两次应用 中值定理有 ， 及 ， 从而 再由 得 在上式中，令 及 得 两式相加得 故 是凸函数。 证毕 例3.1 函数 在 内是凸函数，因为 。 定理3.3 若在区间 上存在 ， ，则 在区间 是严格凸函数。 4 关于凸函数的几个重要不等式 4.1 不等式 定理4.1.1（凸函数的基本不等式）设 是间 上的凸函数，则对 中任意 个数 成立不等式 当仅当 时等号。 定理4.1.2（ 总和不等式）若 是 上的连续凸函数， 是一组不为零的非负数，则成立不等式： 当仅当 都相等时等式成立。 证明：（1）特别地，设 都是非负有理数， 为自然数； 为非负数，这样 分子，分母同乘以 ，上面分式就成了凸函数的基本不等式的样子，此时 因而得证。 （2一般地，设 都是非负实数，记 则可 具有公分母的有理数列 ，使 ） 这样由（1）有 考虑到 具有连续性，因而对上面不等式的两边极限，立得 证毕 定理4.1.3（ 积分不等式）若 是 上的连续凸函数，而 与 是 上的连续函数， ，则成立 证明：令 由 总和不等式有 从而 当令 时，即得 证毕 例4.1.1 若 为 上的正连续函数，则 证明：考虑到函数 是凹函数， 为 上的正连续函数，当设 ，根据 积分不等式立得 整理可得 例4.1.2 若 ，则 证明：设 ，因 故 是凸函数。由 总和不等式有 两边同乘以 立得 证毕。 4.2 不等式 定理4.2.1（ 不等式）设 是 上的连续凸函数，则 证明：由于 是 上的连续凸函数，由凸函数的基本定理可知 两边积分可得 因而 ..................................（A） 又 若令 ，得 所以 又 是 上的连续凸函数，即 故 即 ........................................................（B） 由A，B两式可得 证毕 5 凸函数的应用 5.1 凸函数在证明不等式中的应用 在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙。证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数。 例5.1.1 证明不等式 证明：设 ，因 ，所以 是严格凸函数。 由凸函数的定义可知 （ ） 这就是要证的不等式。 例5.1.2若 则 证明：设 ，因 故 是 上的凹函数，因而 ，这便是要证的不等式。 例5.1.3​ 证明 不等式： 均为正数， 证明：令 ，则 ， 为凹函数，从而 由 的单调增加性： 即 例5.1.4对任何正数 ，当 时有 证明：注意不等式系数之和 ， 及系数均为正数，可考虑用凸凹性来证明。 设 ，则 为凹函数，故 ，或 由 的单调增加性知： 即 ， 证毕 例5.1.5设 证明： 证明：设 ，对 故 为 上严格凸函数，因而 证毕 5.2 一般凸函数和凸集 定义5.2.1集合 ，若 ，以及任意的数 ，均有 则称 为凸集。特别地，若 为凸集，也为闭集，则称 为闭凸集。 定理1集合 为凸集的充分必要条件是 ，及任意数 有 设函数 定义在凸集 上，其中， 定义5.2.2若存在常数 ，使得 ，有 则称 为一致凸函数。 定义5.2.3若 ，及 ，有 则称 为严格凸函数。 定义5.2.4设 为可微的凸函数，若 ，满足 则称 为伪凸函数，其中 定义5.2.5若 ， ，有 则称 为严格拟凸函数。 若把上式中的“ ”改为“ ”，则称 为拟凸函数 定义5.2.6若 ，及 ，有 则称 为强拟凸函数。 5.3 广义凸函数求极小的问题 考虑 其中 为闭凸集，而 为广义凸函数，则称上述问题为广义凸规划问题。 定理5.3.1设 为凸集， 为严格拟凸函数，则规划问题 的任意局部最优解都为整体最优解。 证明：设 为 的局部最优解，即存在 ，使得 为下面问题的最优解： 若存在 有 由于 为严格拟凸函数，故 ，有 当 ，足够接近 时，有 此与 为局部最优解相矛盾. 证毕 定理5.3.2设 为凸集， 为强拟凸函数，若如下规划问题存在最优解： 则 的最优解必唯一。 证明：若 和 都为 的最优解，由于 为强拟凸函数，故 都有 此与 和 都为 的最优解矛盾，证毕。 定理5.3.3设 为凸集， 为拟凸函数，则问题 的最优解集合为凸集。 证明：若 与 为 的最优解， 有 故上式必等号，即 由 为凸集，故 因此 也为 的最优解 。 证毕 5.4 广义凸函数求极大的问题 考虑 中 为闭凸集，而 为广义凸函数。 定理5.4.1设 为闭凸集， 为连续的严格拟凸函数，则规划问题 的最优解一定在 的边界上达到，除非 在 上为常数。 证明：设 在 上不为常数， 存在最优解 ，即存在 使得 现任意 则存在 ，及 使得 （1若 由 为严格拟凸函数，故 矛盾。 （2若 由 为连续的严格拟凸函数，故有 由 为 的最优解，故必有 因此 在 上为常数，此与假设矛盾。 证毕 定理5.4.2设 为连续的严格拟凸函数，并约束集合 若规划问题 的最优解存在，则 的最优解可以在 的顶点达到。 证明：令 为 的最优解，设 为线性相关的，于是，存在 使得 记 则 考虑 其中 设存在 有 ，令 （1存在 有 ，令 ；令 可知 它们的非零向量比 至少少1个；有 若 ，由 为连续的严格拟凸函数有 此与 为 的最优解矛盾，故必有 由 为连续的严格拟凸函数有 而 为 的最优解，故有 （2若 都有 令 则 类似于（1）可证 重复上述过程，最多可通过 步找到最优解 或 或 。而 对应的非零分量是线性无关的，可知 为凸多面体的极点。 证毕 结束语 本文对凸函数这一概念作了不同形式的定义,以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出凸函数的几个简单性质，探讨了几种凸函数的判定方法，并给出有关凸函数的简单应用：应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式及凸函数在证明一般不等式中的应用,特别是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙、简练.利用凸函数的定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的；此外，本文还研究了比凸函数更为一般的各类凸函数，给出它们的定义及其之间的关系和广义凸函数在最优化中的应用：广义凸函数求极小的 （即广义凸规划，记为convex-min）和广义凸函数求最大的问题(convex-max)的性质。 致 谢 本文从命题到完成都得到了指导老师周雪刚老师和帮助我完成本文的同学们的大力帮助.在此，感谢周老师的悉心指导和同学们的帮助. 参考文献 [1] 裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京：高等教育出版社1993.5. 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