高二数学竞赛真题

22 数学竞赛题 姓名： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 一、选择题： 1. 函数 是（ ） A．以 为周期的偶函数                    B．以 为周期的奇函数 C．以 为周期的偶函数                    D．以 为周期的奇函数 2. 已知函数f(x)= 则不等式f(x)≥x2的解集为(    ) A.［-1,1］           B.［-2,2］           C.［-2,1］            D.［-1,2］ 3. 若动点 在曲线 上变化，则 的最大值为    （    ）     A.              B.     C.                                        D. 4. 已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是     （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） 5. 已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A．              B．              C．           D． 6. 如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ① ② ③ ④ 其中正确式子的序号是   A.①③               B.②③              C.①④           D.②④ 7. 如图，AB是平面 的斜线段，A为斜足，若点P在平面 内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 （A）圆           （B）椭圆         （C）一条直线     （D）两条平行直线 8. 已知数列 满足 ，则 =（    ）   A.0        B.         C.         D. 9. 设A（x1,y1）,B(4, ),C(x2,y2)是右焦点为F的椭圆 上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“x1+x2=8”的 （A）充要条件                            （B）必要而不充分条件 （C）充分而不必要条件                    （D）既不充分也不必要条件 10. 在各项均不为零的等差数列{an}中，若an+1-an2+an-1=0(n≥2)，则S2n-1-4n= A.-2      B.0       C.1      D.2 11. 已知f(x)为R上的减函数，则满足f(| |)＜f(1)的实数x的取值范围是 A （－1，1）  B（0，1）  C （－1，0） （0，1）    D（－ ，－1） （1，＋ ） 12. 在数列 中， ， ，则 A．       B．          C．       D． 二、填空题： 13. 中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件： (1)自反性：对于任意a∈A,都有a～a; (2)对称性：对于a,b∈A，若a～b,则有b～a; (3)传递性：对于a,b,c∈A,若a～b,b～c,则有a～c. 则称“～”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立).请你再列出两个等价关系：              . 14. .2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于__________. 15. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间 对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标 变成 ，原来的坐标 变成1，等等）.     那么原闭区间 上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是           ；原闭区间 上（除两个端点外）的点，在第 次操作完成后（ ），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为                       . 16. 设a＞1,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈［a,2a］,都有y∈［a,a2］满足方程logax+logay=c,这时a的取值的集合为_______________. 三、解答题： 17. 下表给出一个“等差数阵”： 4 7 （　） （　） （　） … a1j … 7 12 （　） （　） （　） … a2j … （　） （　） （　） （　） （　） … a3j … （　） （　） （　） （　） （　） … a4j … … … … … … … … … ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij … … … … … … … … … 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第 i 行第 j 列的数. （Ⅰ）写出a45的值； （Ⅱ）写出aij的; （Ⅲ）证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积. 18. 已知数列 的前 项和为 ， ，且 （ 为正整数）. （1）求数列 的通项公式； （2）记 .若对任意正整数 ， 恒成立，求实数 的最大值. 19. 已知a∈R,若关于x的方程x2+x+|a- |+|a|=0有实根,则a的取值范围是什么？ 20. 在△ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a,b,c.已知c=2,C= . (1)若△ABC的面积等于 ,求a,b; (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积. 21. 设函数 . .设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （Ⅰ）若 ，求 的值； （Ⅱ）求四边形 面积的最大值．