高考概率与统计模块分析

  的概 重复 拓展 列组 变量 现概 题)和 分值 重要 考点 在它 显然 常此 试验 n 1 .如 计算 组合 试验 多少 考点 A+B 事件 （A 知 模 概率与统计 概率加法公式 复试验种恰好 展加工的基础 组合知识和化 量分布列和数 概率统计试 概率与统计解 和一道解答题 值的 12%，且 要性。 点 1  随机事件 事件 A 的概 它附近摆动,这 然必然事件的 等可能性事 此试验中的某 验由 n 个基本 如果某个事件 算时,确定 m、 合知识中的分 求解等可能 验的可能性结 少,即求出 m. 点 2 互斥事件 事件 A、B的 是由“A 发 件 A+B的概率 ）+P（ A）= 知识点睛 模块透析   计问题是每年 式，对立事件 好发生 k 次的 础题或中档题 化归转化思想 数学期望、方 试题在中 解答题的有 17 题，有 2 份试 本部分题多为   件的概率 概率：在大量 这时就把这个 的概率是 1,不 事件的概率： 某一事件 A由 本事件组成,而 件 A包含的结 n 的数值是关 分类计数原理 能性事件 A 的 结果有多少， （3）应用等 件有一个发生 的和记作 A+ 生而 B 不发 率满足加法公 =1.   睛  析  上海高考 高考网 年高考必考内 件的概率减法 的概率计算公 题.只要我们理 想方法,就能顺 方差等内容。 的题型逐年 7 套，占 89. 试卷中只出现 为中低档题。 量重复进行同 个常数叫做事 不可能事件的 一次试验连 由几个基本事 而且所有结果 结果有 m个,那 关键所在,其 理和分步计数 的概率一般遵 即求出 A.（2 等可能性事件 生的概率 B，表示事件 生”以及“B 公式：P（A+B 考网 www.sh.ga ‐‐‐‐‐概率 内容.文科考查 公式,相互独 公式等五个基 理解和掌握五 顺利解答高考   发生变化，2 4%，其中有 现客观题。最 。从而可以看 同一试验时,事 事件 A的概率 概率是 0.   连同其中可能 件组成.如果 果出现的可能 那么事件 A的 计算方法灵活 原理,必须做 遵循如下步骤 2）再确定所 概率公式 P= 件 A、B至少有 B 发生而 A 不 B）=P（A）+ aokao.com  统计模块 查等可能事件 独立事件的概 基本公式的应 五个概率公式 考概率与统计 2009 年高考数 有 9 份试卷中 最多的概率与 看出近几年高 事件 A 发生的 率,记作 P（A） 出现的每一个 果一次试验中 能性都相等,那 的概率 P（A 活多变,没有 做到不重复不 骤：（1）先确 研究的事件 = n m 计算. 有一个发生.当 不发生”构成 +P（B）（A、 块分析  件的概率计算 率乘法公式, 用‘试题多为 式及其应用,夯 计试题.  理科 数学的 19 份 有一道客观题 与统计问题的 高考中概率与 的频率 n m 总接 ）.由定义可知 个结果称为一 可能出现的结 那么每一基本 ）= n m .使用 固定的模式, 遗漏.   定一次试验是 A是什么,事 当 A、B为互 成的，因此当 B互斥），且 算公式,互斥 ,事件在 n 次 为课本例题, 夯实基础,借 科考查离散型 份理科试卷中 题(选择题或 的分值占整个 与统计所占地 接近于某个常 知 0≤P（A） 一个基本事件 结果有 n个, 本事件的概率 公式 P（A） ,可充分利用 是什么,此时 事件 A包括结 互斥事件时， 当 A 和 B 互斥 且有 P（A+ A 1  事件 次独立 习题 助排 随机 中，出 或填空 个卷面 地位的 常数, ≤1, 件,通 即此 率都是 = n m 排列 时一次 果有 事件 斥时， ）=P   为此 +…+ 公式 少， 培养 互斥 考点 要弄 同时 但 A （A 立事 A和 若 A 法一 法三 正确 －p） 　 考点 如果 ξ、 当计算事件 此有 P（A）= 对于 n 个互 +P（An）.   .概率加法公 式不能使用.   如果某事件 利用公式 P 养思维的灵活 求某些稍复 斥的事件的概 点 3  相互独立 事件 A与 B 当 A 和 B 是 弄清 A·B， 时不发生，也 A· B = BA + 应用公式时 ·B）=P（A） 事件的积，或 .首先要搞清 和事件 B互相 A、B 互斥： 一：P（A+B） 三：P（A+B） 某些事件若 确率.要注意“ n 次独立重 ）+p］n的展 点 4  离散型随 1.随机变量 果随机试验的 η等表示.   （1）离散型 件 A的概率 P =1－P（ A） 互斥事件 A1， 公式仅适用于 件 A 发生包含 P（A）=1－P 活性是非常有 复杂的事件的 概率的和；二 立事件同时发 B的积记作 A 是相互独立事 BA ⋅ 的区别 等价于 A与 B .   时，要注意前 ）·P（B）..在 或其对立事件 清事件间的关 相独立时，才有 P（A+B）=P =P（A·B） =P（A）+P 若含有较多的 “至多”“至少 复试验中某事 展开式的第 k+ 随机变量的分 的概念   的结果可以用 型随机变量.如 上海高考 （A）比较困难 .   A2，…，An 于互斥事件， 含的情况较多 P（ A）计算 有益的.   的概率时，通常 二是先去求此 发生的概率 ·B，A·B表 事件时，事件 别.  A·B表示 B至少有一个 前提条件，只 在学习过程中 件.   关系（是否彼 有 P（A·B） P（A）+P（B +P（A· B （B）－P（A 的互斥事件，可 少”等题型的 事件发生 k 次 +1 项.   分布列   一个变量表 如果对于随机 考网 www.sh.ga 难时，有时计 n，其加法公 即当 A、B互 多，而它的对 A 的概率则 常有两种方法 事件的对立事 表示这样一个 件 A·B 满足乘 示事件 A与 B 个发生的对立 只有对于相互 中，要善于将 彼此互斥、是 =P（A）·P（ B），否则不成 ）+P（ A· AB）.   可考虑其对立 的转化   次的概率 Pn 示，那么这样 机变量可能取 aokao.com  计算它的对立 式为 P（A1+ 互斥时，P（ 对立事件（即 则比较方便.这 法：一是将所 事件的概率. 个事件，即 A 乘法公式 P B同时发生， 立事件即 A + 互独立事件 A 将较复杂的事 否互相独立、 （B）.A、B中 成立.（2）若 B）；法二： 立事件的概率 （k）=C kn pk（ 样的变量叫做 取的值，可以 立事件 A的概 +A2+…+An）= A+B）=P（A A 不发生） 这不仅体现逆 所求事件的概     A与 B同时发 （A·B）=P 因此它们的 B+ ，因此有 A 与 B 来说， 事件分解为互 、是否对立） 中至少有一个 若 A、B 相互独 P（A+B）=1 率，这样可减 （1－p）n－k正 做随机变量， 以按一定次序 概率则要容易 =P（A1）+P A）+P（B）， 所包含的情 逆向思维，同 概率化成一些 发生.   （A）·P（B） 的对立事件 A A·B≠ A ⋅ 才能运用公 互斥事件的和 ），当且仅当 发生：A+B. 独立（不互斥 －P（ A· B 减少运算量， 正好是二项式 它常用希腊 序一一列出， 2  些， （A2） 否则 形较 时对 些彼此 ，还 与 B B， 公式 P 及独 事件 （1） 斥）. B）； 提高 式［（1 字母 那么   这样 取每 这个 称这 k=b 取每 应的 考点 则称 2.方 了ξ 不是 的相 考点 取一 情况 层抽 不同 样的随机变量 （2）若ξ是 2.离散型随 （1）概率分 每一个值 xi（ ξ  P  为随机变量 （2）二项分 个事件恰好发 其中 k=0， ξ  P  这样的随机变 （k；n，p） 离散型随机 求离散型随 每一个值时的 求一些离散 的排列组合数 点 5  离散型随 1.期望：若 称 Eξ=∑xi pi 方差：称 Dξ ξ的离散程度 3.性质：（1 （2）若ξ～ .对求离散型 是一些熟知的 相互关系，从 点 6  抽样方法 1.简单随机 一个样本，且 2.分层抽样 况，常将总体分 抽样的步骤： 同）；（4）汇合 量叫做离散型 是随机变量， 机变量的分布 分布（分布列 i=1，2，…） x1  p1  量ξ的概率分 分布.如果在一 发生 k 次的概 1，…，n，q 0  C 0n p 0qn  变量ξ服从二 .   机变量在某一 随机变量的分 的概率.   散型随机变量 数，所以学好 随机变量的期 离散型随机变 为ξ的数学期 ξ=∑（xi－Eξ 度.   ）E（aξ+b ～B（n，p）， 型随机变量的 的类型时，应全 从而求出各随 法、总体分布 抽样：一般地 且每次抽取时 ：当已知总体 分成几部分， （1）分层；（ 合成样本.   上海高考 型随机变量.   η=aξ+b， 布列   列）.设离散型 ）的概率 P（ x2 p2 分布，简称ξ 一次试验中某 概率是 P（ξ= q=1－p，于是 1  C 1n p 1qn－1  二项分布，记 一范围内取值 分布列必须解 量的分布列，在 好排列组合是 期望与方差 变量ξ，当 期望，反映了 ξ）2pi 为随机 ）=aEξ+b， 则 Eξ=np， 的期望和方差 全面地剖析各 随机变量相应 布的估计 地，设一个总 各个个体被抽 体由差异明显 然后按照各 （2）按比例确 考网 www.sh.ga 其中 a、b 是 型随机变量 （ξ=xi）=pi， 的分布列.   某事件发生的 =k）=C kn pkqn 是得到随机变 …  …  作ξ～B（n 的概率等于它 决好两个问题 在某种程度上 学好分布列的 ξ=xi 的概率 了ξ的平均值 机变量ξ的均 D（aξ+b） ，Dξ=npq（ 差的应用问题 各个随机变量 的概率.   总体的个体数 抽到的概率相 显的几部分组 各部分所占的 确定每层抽取 aokao.com  是常数，则 ξ可能取的值 则称表   …  …  的概率是 p， －k.   变量ξ的概率 k  C kn p kqn－k ，p），其中 它取这个范围 题，一是求出 上就是正确地 的基础与前提 为 P（ξ=xi 值.   均方差，简称 =a2Dξ（a、 （q=1－p）. 题，首先应仔 量所包含的各 数为 N，如果 相等，就称这 组成时，为了 比进行抽样 取个体的个数 η也是随机变 值为 x1，x2， xi  pi  那么在 n 次 率分布如下： …  …  n、p 为参数 围内各个值的 出ξ的所有取 地求出相应的 提.   ）=Pi（i=1， 称方差. ξD 、b 为常数） 仔细地分析题 各种事件，并 果通过逐个抽 这样的抽样为 了使样本更充 ，这种抽样叫 数；（3）各层 变量.   …，xi，… …  …  次独立重复试   n  C nn p 数，并记 C kn p 的概率和.   取值，二是求 的事件个数， 2，…，n， 叫差， .   题意，当概率 并准确判断各 抽取的方法从 为简单随机抽 充分地反映总 叫做分层抽样 层抽样（方法 3  ，ξ 试验中 nq0  pkqn－ 出ξ 即相 …）， 反映 分布 事件 从中抽 抽样.   体的 样.  分 法可以   数据 变化 来表 数据 率分 1. 【解   2. 【解   3. 【解   4. 【解   5. 【解   高 3.总体：在 4.频率分布 据组）的频数 化规律叫做样 表示.解决总体 据之差除以组 分布直方图， （2010 上海 随机变 (P ξ 则随机 解析】 8.2   （2010 上海 将一个 取容量 解析】 20  （2010 上海 从一副 为____ 解析】 3 51   （2010 天津 如图， 涂色， 同颜色 A    288 解析】 B  （2010 天津 甲、乙 表示零 人日加 解析】 24 23， 0 高考真题 数理统计中， ：用样本估计 数和样本容量 样本的频率分 体分布估计问 组距得组数）； 并作出相应   海理 6）  变量ξ 的概率 x   )xξ =   机变量ξ 的均 海文 5）  个总体分为 A 量为100的样本 海文 10）  副混合后的扑 _________（ 津理 10）  用四种不同 要求每个点 色，则不同的 8 种          B  津理 11）  乙两人在 10 天 零件个数的十 加工零件的平 3   1 3 2 0 9 8 1 1 5 甲 题精讲  上海高考 ，通常把被研 计总体，是研 量的比，就是 分布.可以用样 问题的一般程 ；（2）分别计 应的估计.   率分布率由下 7   0.3   均值是_______ A、 B、C三 本，则应从C 扑克牌（52 张 结果用最简 同颜色给图中 点涂一种颜色 的涂色方法有   264 种       天中每天加工 十位数，两边 平均数分别为 2 1 4 2 1 9 7 1 3 0 2 0 乙 考网 www.sh.ga 研究的对象的 研究统计问题 是该数据的频 样本频率表、 程序如下：（1 计算各组的频 图给出：  8   0.35   ____；  三层，其个体 C中抽取___ 张）中随机抽取 分数表示）． 的 A， B， 色，且图中每     C    240种 工零件的个数 的数字表示零                     和   4 aokao.com  的全体叫做总 题的基本思想 率.所有数据 样本频率分 1）先确定分 频数及频率 9   0.2   体数之比为 5 ____________ 取 2 张，则“   C，D， E 每条线段的两         D    168 数用茎叶图表 零件个数的个 和            ． 总体.   想方法，样本 据（或数据组 分布条形图或 分组的组数（ （频率=总数 频数 10   0.15   : 3 : 2 ．若用 _______个个 抽出的 2 张均 ， F 六个点 两个端点涂不 8 种  表示如下图， 个位数，则这 本中所有数据 组）的频率的 或频率分布直 最大数据与 数 数 ）；（3）画 分层抽样方 个体．  均为红桃”的 中间一列的 这 10天甲、 A B E F 4  据（或 分布 方图 最小 出频 法抽 概率 数字 乙两 C D E F 上海高考网 www.sh.gaokao.com  5    6. （2010 天津理 18）  某射手每次射击击中目标的概率是 2 3 ，且各次射击的结果互不影响．   ⑴ 假设这名射手射击 5次，求恰有 2 次击中目标的概率   ⑵ 假设这名射手射击 5次，求有 3次连续击中目标．另外 2次未击中目标的概率；   ⑶ 假设这名射手射击 3次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次 全击中，则额外加 3 分，记ξ 为射手射击 3 次后的总的分数，求ξ 的分布列．  【解析】 本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件 和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．   ⑴ 设 X 为射手在 5次射击中击中目标的次数，则 2~ 5 3 X B⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠， ．在 5次射击中，  恰有 2次击中目标的概率  2 2 2 5 2 2 40( 2) 1 3 3 243 P X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = × × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠C    ⑵ 设“第 i次射击击中目标”为事件 ( 1 2 3 4 5)iA i = ， ， ， ， ；“射手在 5次射击中，有 3次连续击中目标，另外 2次未击中目标”为事件 A，则  1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( )P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A= + +             3 2 3 2 32 1 1 2 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × + × × + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8 81 =    ⑶ 由题意可知，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3，6  3 1 2 3 1 1( 0) ( ) 3 27 P P A A Aζ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠   1 2 3 1 2 3 1 2 3( 1) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A Aζ = = + +                               2 22 1 1 2 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 3 9 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × + × × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠   1 2 3 2 1 2 4( 2) ( ) 3 3 3 27 P P A A Aζ = = = × × =   1 2 3 1 2 3( 3) ( ) ( )P P A A A P A A Aζ = = + = 2 22 1 1 1 8 3 3 3 3 27 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠   1 2 3( 6) ( )P P A A Aζ = = = 32 8 3 27 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠   所以ξ 的分布列是  ξ   0 1   2 3   6 P   1 27   2 9   4 27   8 27   8 27     7. （2010 天津文 18）  有编号为 1A ， 2A ，…， 10A 的 10个零件，测量其直径（单位： cm ），得到下面数据：  编号  1A   2A   3A   4A   5A   6A   7A   8A   9A   10A   直径  1.51   1.49   1.49   1.51   1.49   1.51   1.47   1.46   1.53   1.47    其中直径在区间 [ ]1.48 1.52， 内的零件为一等品．  上海高考网 www.sh.gaokao.com  6     ⑴ 从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率：   ⑵ 从一等品零件中，随机抽取 2 个．  ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；  ②求这 2 个零件直径相等的概率．  【解析】 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基 础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．     ⑴ 由所给数据可知，一等品零件共有 6个．设“从 10个零件中，随机抽取一个为 一等品”为事件 A，则 6 3( ) 10 5 P A = = ．   ⑵①一等品零件的编号为 1A， 2A ， 3A ， 4A ， 5A ， 6A ．从这 6个一等品零件中随  机抽取 2个，所有可能的结果有：  { }1 2A A， ，{ }1 3A A， ，{ }1 4A A， ，{ }1 5A A， ，{ }1 6A A， ，{ }2 3A A， ，{ }2 4A A， ，  { }2 5A A， ，{ }2 6A A， ，{ }3 4A A， ，{ }3 5A A， { }3 6A A， ，{ }4 5A A， ，{ }4 6A A， ，  { }5 6A A， 共有 15种．  “② 从一等品零件中，随机抽取的 2个零件直径相等”（记为事件 B）的所有可 能结果有：{ }1 4A A， ，{ }1 6A A， ，{ }4 6A A， ，{ }2 3A A， ，{ }2 5A A， ，{ }3 5A A， ， 共有 6种．  所以 6 2( ) 15 5 P B = = ．    8. （2010 重庆理 9）  某单位安排 7 位员工在10月1日至 7 日值班，每天1人，每人值班1天，若 7 位员工 中的甲、乙排在相邻两天，丙部排在 10 月 1 日，也不排在 10 月 7 日，则不同的 安排共有（        ）  A．504种    B．960种    C．1008 种    D．1108 种  【解析】   C；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有 2 62 6A A 1440= 种，其中满足甲、 乙两人值班安排在相邻两天且丙在 10月 1日值班的方法共有 1 2 45 2 4C A A 240= 种；满 足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在 10月 7日值班的方法共有 1 2 45 2 4C A A 240= 种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在 10 月 1 日值班，丁在 10 月 7 日 值班的方法共有 1 2 34 2 3C A A 48= 种，∴1440 2 240 48 1008− × + = 种．    9. （2010 重庆理 13）  某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率 为 16 25 ，则该队员每次罚球的命中率为____________．  【解析】 3 5     10. （2010 重庆理 17）  在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排 在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2 ，……，6 ）， 求：   ⑴ 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；   ⑵ 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ 的分布列与期望．  【解析】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．  ⑴设 A表示“甲、乙的演出序号至少有一个奇数均”，则 A表示“甲、乙的演出序号 均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得  上海高考网 www.sh.gaokao.com  7                ( ) 232 6 C 1 4( ) 1 1 1 C 5 5 P A P A= − = − = − = ．  ⑵ξ 的所有可能值为0，1， 2，3， 4，且  ( ) 2 6 5 10 C 3 P ξ = = = ， ( ) 2 6 4 41 C 15 P ξ = = = ， ( ) 2 6 3 12 C 5 P ξ = = = ，  ( ) 2 6 2 23 C 15 P ξ = = = ， ( ) 2 6 1 14 C 15 P ξ = = =   从而知ξ 有分布列  ξ   0   1   2   3   4 P   1 3   4 15   1 5   2 15   1 15   所以， 1 4 1 2 1 40 1 2 3 4 3 15 5 15 15 3 Eξ = × + × + × + × + × = ．    11. （2010 重庆文 14）  加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 1 70 、 1 69 、 1 68 ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次率为____________  ．  【解析】 3 70     12. （2010 重庆文 17）  在甲、乙等 6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排 在一起．  若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1，2，……，6）， 求：   ⑴ 甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；   ⑵ 甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．  【解析】 考虑甲、乙两个单位的排列．  甲、乙两单位可能排列在 6个位置中的任两个，有 26A 30= 种等可能的结果．   ⑴ 设 A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，  则 A包含的结果有 23A 6= 种，  故所求概率为 ( ) 6 1 30 5 P A = = ．   ⑵ 设 B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”，  则 B表示甲、乙两单位序号相邻， B包含的结果有5 2! 10× = 种．  从而 ( ) ( ) 10 21 1 30 3P B P B= − = − = ．  13. （2010 安徽理 15）  甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3个黑球．乙罐中有 4 个红球， 3个白球和 3个黑 球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 1A ， 2A 和 3A ，表示由甲罐取出的 球是红球．白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B表示由乙罐取出 的球是红球的事件．则下列结论中正确的是____(写出所有正确结论的编号)．  ① ( ) 2 5 P B = ；  ② ( )1 5| 11P B A = ；    【解 14. 【解 15. 【解   ③事件 ④ 1A ， ⑤ (P B 解析】 ②④  （2010 安徽 品酒师 观相同 等其记 为一轮 现设 n 种酒在 则 X 是 （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） （i）试 （ii）你 解析】 ⑴  X 的 在1 中的 从而 X 容易 ⑵ 可用 在等 ⑶  ⅰ（ 概率 p = （i 轮测 味觉   （2010 安徽 某地有 中以简 户进行 高收人 或 3套 解析】 5.7%   件 B与事件 1A 2A ， 3A 两两 )B 的值不能确 徽理 21）  师需定期接受 同但品质不同 记忆淡忘之后 轮测试．根据 4= ，分别以 在第二次排序 是对两次排序 写出 X 的可 假设 1a ， 2a 某品酒师在 试按（Ⅱ）中 你认为该品酒 的可能值集合 1，2，3，4 的偶数个数， 而 ( 11X a= − 的值非负，且 易举出使得 X 用列表或树状 等可能的假定 ⅰ）首先 (P X 率记做 p，由 3 1 1 . 6 216 = =   i）由于 2 p = 测试都有 X ≤ 觉鉴别功能， 徽文 14）  有居民100000 简单随机抽样 行调查，发现 人家庭 70户． 以上住房的家 上海高考 1相互独立； 两互斥的事件 确定，因为它 受酒味鉴别功 同的酒让其品 后，再让其品 据一轮测试中 以 1a ， 2a ， a 序时的序号， 序的偏离程度 可能值集合； ， 3a ， 4a 等可 在相继进行的 中的结果，计 酒师的酒味鉴 合为{0 2， ， 4中奇数与偶 ，因此 11 a− ) (1 33 a+ − + 且易知其值不 X 的值等于 0 状图列出1，2 定下，得到 X   0  P   1 24 4 24 ) (2X P X=≤ 由上述结果和 1 5 216 1000 < 是 2≤ 的结果的 ，不是靠随机 0户，其中普 样方式抽取 99 现共有120户家 依据这些数 家庭所占比例 考网 www.sh.ga   件；  它与 1A ， 2A 能测试，一种 尝，要求其按 品尝这 n瓶酒 的两次排序 3a ， 4a 表示第 并令 1= −X 度的一种描述   可能地为1， 三轮测试中 计算出现这种 鉴别功能如何 }4 6 8， ， ． 偶数各有两个 33 a+ − 与 2 ( 22 4a− + − 不大于8． 0， 2， 4， 2，3，4的一     2        4    1 4   3 24     ) (0X P X= + 和独立性假设 是一个很小的 的可能性很小 机猜测．  普通家庭9900 90户，从高收 家庭拥有 3套 数据并结合所 例的合理估计 aokao.com  ， 3A 中究竟 种通常采用的 按品质优劣为 ，并重新按 的偏离程度的 第一次排序 1 22− + −a a 述．  2 ，3，4 的 ，都有 2X≤ 种现象的概率 何？说明理由 个，所以 2a ， 22 4a a− + − )4a− 必为偶数 ， 6，8各值的 一共 24种排列     6        8 7 24     9 24 ) 4 12 24 6 = = = 设，得  的概率，这表 小，所以我们 00 户，高收入 收入家庭中以 套或 3套以上 所掌握的统计 计是            哪一个发生有 的测试方法如 为它们排序； 品质优劣为 的高低为其评 时被排为1， 33 4+ − +a 的各种排列， 2．  率（假设各轮 由． ， 4a 中的奇数 4a 的奇偶性相 数．  的排列的例子 列，计算每种排   1 6 ，将三轮测 表明如果仅凭 们认为该品酒 入家庭1000 以简单随机抽 上住房，其中 计知识，你认 ．  有关．  如下：拿出 n 经过一段时 它们排序， 评分．  2 ， 3， 4 4− a ，  求 X 的分布 轮测试相互独 数个数等于 1a 相同，  子．  排列下的 X 测试都有 X ≤ 凭随机猜测得 酒师确实有良 户．从普通 抽样方式抽取 中普通家庭 50 认为该地拥有 8  瓶外 时间， 这称 的四 布列；  立）；  ， 3a 值， 2≤ 的  得到三 良好的 通家庭 取100 0 户， 有 3套 上海高考网 www.sh.gaokao.com  9      16. （2010 安徽文 18）  某市 2010 年 4 月1日~ 4 月30日对空气污染指数的数据如下（主要污染物为可 吸入颗粒物）:  61，76，70，56，83，91，92，91，75，81，88 ，67，101，103，95，91，  77，86 ，81，83，82 ，82 ， 64， 79，86 ，85 ， 75， 71， 49， 45．  ⑴  完成频率分布表；  ⑵  作出频率分布直方图；  ⑶  根据国家标准，污染指数在 0 ~ 50 之间时，空气质量为优：在51 ~ 100 之间时， 为良；在101 ~ 150之间时，为轻微污染；在151 ~ 200之间时，为轻度污染．  请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短．  【解析】 本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能 力，数据处理能力和应用意识．   ⑴ 频率分布表：                                                 ⑵ 频率分布直方图：  分组  频数  频率  [ )41 51，   2   230   [ )51 61，   1  1 30   [ )61 71，   4  4 30   [ )71 81，   6  6 30   [ )81 91，   10  10 30   [ )91 101，   5  5 30   [ )101 111，   2  2 30      ⑶ 答对下述两条中的一条即可：  ①该市一个月中空气污染指数有 2天处于优的水平，占当月天数的 1 15 ，有 26天 处于良的水平，占当月天数的 13 15 ．处于优或良的天数共有 28天，占当月天数 的14 15 ，说明该市空气质量基本良好．  ②轻微污染有 2天，占当月天数的 1 15 ，污染指数在80以上的接近轻微污染的 天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的 17 30 ，超过 50%，说明该市空气质量有待进一步改善．  17. （2010 北京理 17）  某同学参加 3 门课程的考试．假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为 4 5 ， 第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 , ( )p q p q> ，且不同课程是否取得优 秀成绩相互独立，记ξ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 41 51 61 71 81 91 101 111 5 300 10 300 频率/组距 空气污染指数O 上海高考网 www.sh.gaokao.com  10    P 6 125 a b 24 125 ⑴ 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； ⑵ 求 ,p q的值； ⑶ 求数学期望 Eξ ． 【解析】 事件 iA表示“该生第 i门课程取得优秀成绩”， 1 2 3i = , , ．由题意知  ( )2 45P A = ， ( )2P A p= ， ( )3P A q= ．   ⑴ 由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ 0ξ = ”是对立的，所以该 生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是  ( ) 6 1191 0 1 125 125 P ξ− = = − = ．   ⑵ 由题意知  ( ) ( ) ( )( )1 2 3 1 60 1 15 125P P A A A p qξ = = = − − = ，  ( ) ( )1 2 3 4 243 5 125P P A A A pqξ = = = = ．  整理得 6 25 pq = ， 1p q+ = ．  由 p q> ，可得 3 5 p = ， 2 5 q = ．   ⑶ 由题意知 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 31a P P A A A P A A A P A A Aξ= = = + +   ( )( ) ( ) ( )4 1 11 1 1 1 5 5 5 p q p q p q= − − + − + − 37 125 = ．  ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 3b P P P Pξ ξ ξ ξ= = = − = − = − = 58 125 = ．  ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2 3 3E P P P Pξ ξ ξ ξ ξ= × = + × = + × = + × = 9 5 = ．    18. （2010 福建理 16）  设 S是不等式 2 6 0x x− − ≤ 的解集，整数m n S∈， ．   ⑴ 记使得“ 0m n+ = 成立的有序数组 ( )m n， ”为事件 A，试列举 A包含的基本事件；   ⑵ 设 2mξ = ，求ξ 的分布列及其数学期望 Eξ ．  【解析】 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识， 考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．  ⑴ 由 2 6 0x x− − ≤ 得 2 3x− ≤ ≤ ，即 { }| 2 3S x x= − ≤ ≤ ．  由于 m n m n S∈ ∈Z， ， ， 且 0m n+ = ，所以 A 包含的基本事件为： ( )2 2− ， , ( )2 2−， , ( )1 1− ， , ( )1 1−， ， ( )0 0， ．  ⑵ 由于m的所有不同取值为 2− ， 1− ，0，1， 2，3，所以 2mξ = 的所有不同取  值为 0，1， 4， 9，且有 ( ) 10 6 P ξ = = ， ( ) 2 11 6 3 P ξ = = = ， ( ) 2 14 6 3 P ξ = = = ， ( ) 19 6 P ξ = = ．   故ξ 的分布列为    ξ   0   1   4   9   上海高考网 www.sh.gaokao.com  11    P   1 6   1 3   1 3   1 6     所以 1 1 1 1 190 1 4 9 6 3 3 6 6 Eξ = × + × + × + × = ．