科技论坛
具有比率依赖的 Holling-Ⅲ型离散 n-种群竞争-
捕食系统的稳定性
杨景慧
(福建工程学院国脉信息学院,福建 福州 350014)
摘 要:研究了具有比率依赖的 Holling-Ⅲ型离散 n-种群竞争-捕食系统,通过构造适当的 Lyapunov
数,得到保证该系统全局吸
引的充分性条件。
关键词:全局稳定性;比率依赖;Holling-Ⅲ型功能反应
1概述
最近,研究者们发现,当捕食者不得不搜寻食物时,一个很切合
实际且很一般的捕食 - 食饵系统应基于“比率依赖”理论。目前,关
于基于比率的捕食系统已有大量的研究工作(见[1]- [7])。
本文提出并研究了如下模型:
(1)
其中
示第 个食饵种群在第 k 代时的密
度; 表示捕食种群在第 k代时的密度其以 为食
物; , 别表示第 个食饵种群内竞争系数及分别表示第 个
食饵种群和第 个食饵种群间种间竞争系数; 是是捕食种群的
死亡率; 为第 个食饵种群的内禀增长率; ,
分种群的死亡率; , , , , , , 都是有
正的上,下界的正序列。
从生态学的角度出发,本文只考虑系统(1)具有正初值 >0,
的解 ,由系统(1)的指数形式易知系统
(1)具有正初值 >0, 的解是正的. 在本文中,记
。
2全局稳定性
引理 1 假设系统(1)满足下列条件:
(H1)
(H2)
则对系统(1)的任意一个正解 ,有
。
其中
其中 A,B,C,D如引言中所定义
定理 1 在引理 1的条件下,进一步假设存在正整数
使得以下条件成立:
(H3)
(H4)
则对系统(1)的任意两个正解 和 ,
有
证明 由条件(H3)-(H4)可知,存在充分小的正数
使得
(2)
(3)
又由引理 1可知,对系统(1)的任意两个正解
和 ,有
则对上述的 ,存在 使得对所有的 ,有
(4)
令
。
则由系统(1)的第 个方程可得
(5)
利用中值定理得
,(6)
其中 介于 和 之间。
于是由式子(5)和(6)可得
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
�
���
�
�exp , 1,2,..., 1���
������
���
�
�
�
�
���
�����
���
a x x
x x a a x i n
m x x
�
�
�
���
= - - = -�� +��
å
������
����
������
�
�
���
�
�exp�
���
��
��
�
�
��
��
���
���
a x
x x a
m x x
�
�
�
����
= - +�� +���
å
( )
�
�x ( 1,2,..., 1)i n= - i
( )
�
�x ( )
�
�x ( 1,2,..., 1)i n= -
( )
��
�a ( )
��
�a i ij ( )
�
�a
��
�
�a ( 1,2,..., 1)i n= - i ( )
��
ka
( )
��
�a ( )
�
�a��
��
�a ( )
��
�a ( )
�
�a ( )
��
�a ( )
��
�a��
��
�m
( )
�
�
x
1, 2,...,i n=������( )
��
, ,...,
�
�
���x x x
( )
�
�
x 1,2,...,i n=
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
��
��
max , min ,��
����
��
��
A k a B k a
��
��
= =
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
��
��
max , min ,��
����
��
��
C k m D k m
��
��
= =
{ } { }
����
max , min
��
����
M M m m
����
= =
�
��
0,
2
�
�
��
��
����
�
���
��
a
a a M
m
�
�
- - >å
( )1 0,��
�
a n B- + - >
( ) ( ) ( )( )
��
, , ...,
�
�
���x x x
( ) ( )lim inf lim sup , 1,..., 1,
����
��
m x k x k M i n
����
� ? -
( ) ( )lim inf lim sup
����
��
m x k x k M
����
� �
�
�
��
�
2
exp , 1,..., 1,
2
�
�
�
�
��
��
���
�
�
�
���
����
��
����
��
�
����
a
a a M
m a
m a a M i n
a m
�
�
�
�
- - ���
= - - = -����
å
å
( )( )
( ) ( )
( )2 1 1
exp 1 ,
1 2
��
��
�
���
��
��
m a n B n A C M
m a n B
n A C m
�
- + - � -�
= - + - -��
- ��
{ }1 exp 1 , 1,..., 1,
�
�
�
�
��
M a i n
a
= - = -
( ) ( ){ }1 exp 1 ,
2
�
��
��
��
�
n A M
M a n A
D a
-
= - + -
( )1,..., ,
�
i na d=
( ) ( )
��
��
�
���
2
min ,
4 4
��
��
���
�����
�������
��
����
�
������
a M a
a a a
M m m m m
a
��
��
� � ÷ç � ÷ç � ÷- - - -ç � ÷ç ÷�ç ÷÷�� ��
�
�
�
,
4 4
��
�
�����
�
�
���
a M a
m m m
a d
�
�
� ÷ç ÷- + >ç ÷ç ÷ç�å
( )
( )( )
�
�
��
�
�
�
��
2 2
min ,
4 4
��
��
��
������
�����
�
�
��
����
����
a m m m a M a
M m m m
m M M
a
��
��
��� ��� ÷ç ÷- +ç� ÷ç ÷� ��� +���
( )
�
�
�
,
44
��
�
�����
�
�
�
�
���
a M a
mm m
a d
�
�
� ÷ç ÷ç ÷- + >ç ÷ç ÷ç ÷÷ç�
å
( ) ( ) ( )( )
��
, ,...,
�
�
���x x x������( )��, ,...,�����y y y
( ) ( )lim 0, 1,..., .
��
�
��x y i n
��
- = =
�
min ,
2 2
�
mm
e
���< ����
( )
( ) ( ) ( )( )
��
�
��
�
���
�
��
2
min ,
4 4
�
�
��
������
��
�������
��
����
�
������
a M a
a a a
M m m m m
e
a
e e e
��
��
� � ÷ç +� ÷ç � ÷- - - -ç � ÷ç ÷� +ç ÷- - ÷�� ��
�
( )
( )( ) ( )
�
�
�
���
,
4 4
�
�
�
���
��
�
�
���
a M a
m m m
e
a d
e e e
�
�
�
- ÷ç ÷- ? >÷ç ÷÷ç - - -�
å
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
�
�
��
��
�
�
�
�
��
���
��
2 2
min ,
4
��
�
��
������
���
�
�
��
���
����
a m m m a M
M m m
m M M
e e e
a
e e e
e e
��
��
ìïï æï - - +ï ç- �í çï ç+ - -èï + + +ïïî
�
( )
( )
( ) ( ) ( )
�
�
�
�
��
�
,
4 44
�
��
�
���
����
�
�
�
��
���
a Ma a
m mm m
e
a d
e ee
�
�
�üö ÷ï ç + ÷÷ï ç ÷÷+ - + >çý ÷÷ ç ÷÷ï÷- -çø ÷- ÷ï çþ �
å
( ) ( ) ( )( )
��
, , ...,
�
�
���x x x
������( )
��
, , ...,
�
�
���y y y ( ) ( )lim inf lim sup , 1,..., .
����
��
m x k x k M i n
����
� ?
�
e
�
�
���
�
�
k k>
( )
��
, 1,..., .
���
m x k M i ne e- � - =
( ) ( ) ( )ln ln
���
V k x k y k= -
i
( )1
�
V k +
( ) ( )ln 1 ln 1
��
x k y k= + - +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ln ln
������
x k y k a k x k y k= - - -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
�
������
��
����
�������
��
����
a k x k m k x k y k x k y k
x k y k
m k x k x k m k y k y k
+
- -
+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
�
������
��
����
�������
��
����
a k x k m k x k y k x k y k
x k y k
m k x k x k m k y k y k
+
- -
+ +
( ) ( ) ( )( )�
��
�
����
���
a k x k y k
�
�
- -å
����( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )exp ln exp ln ln ln
��
�����
��x y x k y k k x k y kx- = - = -
( )
�
kx��
�
��( )
�
�y
( )1
�
V k +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1ln ln
������
��
x k y k a k x k y k
k kx x
� ÷ç ÷ç? - - - -÷ç ÷ç ÷�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
�
������
��
����
�������
��
����
��������������
����
������������
�
��
��
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
�
������
��
����
�������
��
����
a k x k m k x k y k x k y k
x k y k
m k x k x k m k y k y k
+
+ -
+ +
( ) ( ) ( )
�
��
�
����
���
a k x k y k
�
�
+ -å
( ) ( ) ( ) ( )2ln ln min ,��
��������
�
x k y k a a x k y k
M e
���? - - -�� +��
60· ·
科技论坛
从而对所有 ,有
(7)
再令
则由系统(1)的第 n个方程可得
(8)
利用中值定理可得
,(9)
其中 介于 和 之间。
则对所有 ,由式子(8)和(9)可得
(10)
则对所有 ,有
(11)
现在构造 Lyapnov函数如下:
计算 V沿着系统(1)的解的差分,则对所有 ,由计算可得
(12)
于是得
这就意味着
进一步得
从而
这就意味着
定理 1证毕.
参考文献
[1]Chen Fengde, Shi Jinlin. On a delayed nonautonomous ratio-de-
pendent predator-prey model with holling type functional response
and diffusion[J]. Appl. Math. Comput., 2007, 192(2): 358-369.
[2]王琳琳.自治 HollingⅢ类功能反应的捕食-食饵系统的定性
[J].西北师范大学学报(自然科学版),2005,41(1):1-6.
[3]陆志奇,李海银.基于比率的三种群捕食系统的持久性与全局渐
近稳定性[J].河南师范大学学报(自然科学版),2003,31(4):7-12.
[4]谭德君.基于比率的三种群捕食系统的持续生存[J].生物数学学
报,2003,18(1):50-56.
[5] 徐瑞,陈兰荪.具有时滞和基于比率的三种群捕食系统的持久性
与全局渐近稳定性[J].系统科学与数学,2001,21(4):204-212.
[6]Ding Xiaohua, Lu Chun. Existence of positive periodic solution
for ratio -dependent N -species difference system [J]. Appl. Math.
Model,2009,33(6):2748-2756.
[7]Chen Fengde. Permanence and global stability of nonautonomous
Lotka-Volterra system with predator-prey and deviating arguments
[J].Appl. Math. Comput., 2006, 173: 1082-1100.
作者简介:杨景慧(1983~),女,助教。
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
�
��
�
�
4 4
�
�
���
��
��
�
�
���
a M a
x k y k
m m m
e
e e
� ÷ç + ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷ç - ÷- ÷ç�
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
44
�
�
���
��
��
�
�
���
a M a
x k y k
mm m
e
ee
� ÷ç + ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷-ç ÷- ÷ç�
( ) ( ) ( )
�
��
�
�
����
���
a k x k y k
�
�
+ -å
�
�
k k>
�
��
2
min ,��
����
�
a a
M e
æ ��ç �? ? �ç �ç +è ��
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
�
��
�
�
4 4
�
�
���
��
��
�
�
���
a M a
x k y k
m m m
e
e e
ö� ÷÷ç + ÷÷ç ÷÷- + -ç ÷÷ç ÷÷ç ÷- ÷- ÷ç ÷� ø
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
44
�
�
���
��
��
�
�
���
a M a
x k y k
mm m
e
ee
� ÷ç + ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷-ç ÷- ÷ç�
( ) ( ) ( )
�
��
�
�
����
���
a k x k y k
�
�
+ -å
( ) ( ) ( )ln ln
���
V k x k y k= -
( )1
�
V k +
( ) ( )ln 1 ln 1
��
x k y k= + - +
( ) ( )ln ln
��
x k y k= -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
����
�
�
��
������
�
( )�
�������
��
�
����
a k m k x k x k y k y k x k
x k y k
m k x k x k m k y k y k
�
�
+
- -
+ +
å
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
����
�
�
��
������
�
( )�
�������
��
�
����
a k m k x k x k y k y k x k
x k y k
m k x k x k m k y k y k
�
�
+
+ -
+ +
å
( ) ( )ln ln
��
x k y k?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
����
�
�
��
������
�
( )�
�������
��
�
����
a k m k x k x k y k y k x k
x k y k
m k x k x k m k y k y k
�
�
+
- -
+ +
å
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
����
�
�
��
������
�
( )�
�������
��
�
����
a k m k x k x k y k y k x k
x k y k
m k x k x k m k y k y k
�
�
+
+ -
+ +
å
����( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )exp ln exp ln ln ln
�������
��x y x k y k k x k y kx- = - = -
( )
�
kx ( )
�
�x ( )
�
�y
�
�
k k>
( )1
�
V k +
( ) ( )ln ln
��
x k y k?
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
����
�
�
��
������
�
( )1 1�
�������
��
�
��
����
a k m k x k x k y k y k x k
x k y k
k k m k x k x k m k y k y kx x
�
�
� + �ç ÷ç ÷- - - -ç ÷ç ÷+ +ç ÷ç�
å
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
����
�
�
��
������
�
( )�
�������
��
�
����
a k m k x k x k y k y k x k
x k y k
m k x k x k m k y k y k
�
�
+
+ -
+ +
å
( ) ( )ln ln
��
x k y k?
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
�
�
�
����
�
�
��
�
����
�
����
��
�
����
�
�
��
����
���
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
å
( )
( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
���
2
4 4
�
�
���
��
��
�
���
a M a
x k y k
M m m
e
e e e
�
�
öü� ï+ ÷÷ïç ÷÷- ? -÷ý÷ç ÷÷ï÷ç+ - - ÷� ï øþ
å
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
���
4 4
�
�
�
���
��
��
�
���
a M a
x k y k
m m m
e
e e e
�
�
� + ÷ç ÷+ ? -÷ç ÷÷ç - - -�
å
�
�
k k>
�
VD
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
�
�
�
����
�
�
��
�
����
�
����
��
�
����
�
�
��
����
���
��
��
�
�
�
�
�
���
�
�
�
���
�
�
�
å
( )
( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
���
2
4 4
�
�
���
��
��
�
���
a M a
x k y k
M m m
e
e e e
�
�
ü� ï+ ÷ïç ÷- ? -ý÷ç ÷ï÷ç+ - -� ïþ
å
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
���
4 4
�
�
�
���
��
��
�
���
a M a
x k y k
m m m
e
e e e
�
�
� + ÷ç ÷+ ? -÷ç ÷÷ç - - -�
å
( ) ( )
�
�
��
�
V k V ka
�
= å
�
�
k k>
VD
�
���
2
min ,
��
���
�������
����
�
a a a
M
a
e
�
���
é æ ��ç �ê? ? -�ê ç �ç +èê ��ë
�
( )
( ) ( ) ( ) ( )
�
��
��
��
4 4
�
�
���
��
��
������
a M a
m m m m
e
e e
ö÷+ ÷÷
- - ÷÷÷
- - ÷ø
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
���
��
�
�
���
��
���
�
���
��
�
����
���
�
�
���
�
�
��
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
��
����
�
å
[ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
�
�
�
����
�
�
��
�
����
�
����
��
�
����
�
�
�
��
����
���
��
�
��
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�
�
�
å
( )
( ) ( )
�
�
�
���
�
��
�
�
���
��
�
���
��
�
���
�
���
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
å
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
�
44
�
�
�
���
��
���
�
�
�
���
a M a
x k y k
mm m
e
a
ee
�
�
ù� ÷ç + ú÷ç ÷- + -úç ÷ç ÷ú-ç ÷- ÷ç� úû
å
( ) ( )( ) ( ) ( )
��
��
1
��
��
����
V p V p x p y pd
��
+ - ? -�
( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
1 .
��
��
�
��
V k x p y p V kd
�
�
+ + - ��
( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
.
��
��
�
��
V k
x p y p
d
�
�
- ��
( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
.
�
��
�
��
V k
x p y p
d
�
�
�
- ��
( ) ( )lim 0.
��
�
k kx y
�
- =
61· ·