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具有比率依赖的Holling_型离散n_种群竞争_捕食系统的稳定性

2011-06-20 2页 pdf 2MB 25阅读

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具有比率依赖的Holling_型离散n_种群竞争_捕食系统的稳定性 科技论坛 具有比率依赖的 Holling-Ⅲ型离散 n-种群竞争- 捕食系统的稳定性 杨景慧 (福建工程学院国脉信息学院,福建 福州 350014) 摘 要:研究了具有比率依赖的 Holling-Ⅲ型离散 n-种群竞争-捕食系统,通过构造适当的 Lyapunov函数,得到保证该系统全局吸 引的充分性条件。 关键词:全局稳定性;比率依赖;Holling-Ⅲ型功能反应 1概述 最近,研究者们发现,当捕食者不得不搜寻食物时,一个很切合 实际且很一般的捕食 - 食饵系统应基于“比率依赖”理论。目前,关 于基于比率的捕食系...
具有比率依赖的Holling_型离散n_种群竞争_捕食系统的稳定性
科技论坛 具有比率依赖的 Holling-Ⅲ型离散 n-种群竞争- 捕食系统的稳定性 杨景慧 (福建工程学院国脉信息学院,福建 福州 350014) 摘 要:研究了具有比率依赖的 Holling-Ⅲ型离散 n-种群竞争-捕食系统,通过构造适当的 Lyapunov数,得到保证该系统全局吸 引的充分性条件。 关键词:全局稳定性;比率依赖;Holling-Ⅲ型功能反应 1概述 最近,研究者们发现,当捕食者不得不搜寻食物时,一个很切合 实际且很一般的捕食 - 食饵系统应基于“比率依赖”理论。目前,关 于基于比率的捕食系统已有大量的研究工作(见[1]- [7])。 本文提出并研究了如下模型: (1) 其中 示第 个食饵种群在第 k 代时的密 度; 表示捕食种群在第 k代时的密度其以 为食 物; , 别表示第 个食饵种群内竞争系数及分别表示第 个 食饵种群和第 个食饵种群间种间竞争系数; 是是捕食种群的 死亡率; 为第 个食饵种群的内禀增长率; , 分种群的死亡率; , , , , , , 都是有 正的上,下界的正序列。 从生态学的角度出发,本文只考虑系统(1)具有正初值 >0, 的解 ,由系统(1)的指数形式易知系统 (1)具有正初值 >0, 的解是正的. 在本文中,记 。 2全局稳定性 引理 1 假设系统(1)满足下列条件: (H1) (H2) 则对系统(1)的任意一个正解 ,有 。 其中 其中 A,B,C,D如引言中所定义 定理 1 在引理 1的条件下,进一步假设存在正整数 使得以下条件成立: (H3) (H4) 则对系统(1)的任意两个正解 和 , 有 证明 由条件(H3)-(H4)可知,存在充分小的正数 使得 (2) (3) 又由引理 1可知,对系统(1)的任意两个正解 和 ,有 则对上述的 ,存在 使得对所有的 ,有 (4) 令 。 则由系统(1)的第 个方程可得 (5) 利用中值定理得 ,(6) 其中 介于 和 之间。 于是由式子(5)和(6)可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � ��� � �exp , 1,2,..., 1��� ������ ��� � � � � ��� ����� ��� a x x x x a a x i n m x x � � � ��� = - - = -�� +�� å ������ ���� ������ � � ��� � �exp� ��� �� �� � � �� �� ��� ��� a x x x a m x x � � � ���� = - +�� +��� å ( ) � �x ( 1,2,..., 1)i n= - i ( ) � �x ( ) � �x ( 1,2,..., 1)i n= - ( ) �� �a ( ) �� �a i ij ( ) � �a �� � �a ( 1,2,..., 1)i n= - i ( ) �� ka ( ) �� �a ( ) � �a�� �� �a ( ) �� �a ( ) � �a ( ) �� �a ( ) �� �a�� �� �m ( ) � � x 1, 2,...,i n=������( ) �� , ,..., � � ���x x x ( ) � � x 1,2,...,i n= ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } �� �� max , min ,�� ���� �� �� A k a B k a �� �� = = ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } �� �� max , min ,�� ���� �� �� C k m D k m �� �� = = { } { } ���� max , min �� ���� M M m m ���� = = � �� 0, 2 � � �� �� ���� � ��� �� a a a M m � � - - >å ( )1 0,�� � a n B- + - > ( ) ( ) ( )( ) �� , , ..., � � ���x x x ( ) ( )lim inf lim sup , 1,..., 1, ���� �� m x k x k M i n ���� � ? - ( ) ( )lim inf lim sup ���� �� m x k x k M ���� � � � � �� � 2 exp , 1,..., 1, 2 � � � � �� �� ��� � � � ��� ���� �� ���� �� � ���� a a a M m a m a a M i n a m � � � � - - ��� = - - = -���� å å ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 exp 1 , 1 2 �� �� � ��� �� �� m a n B n A C M m a n B n A C m � - + - � -� = - + - -�� - �� { }1 exp 1 , 1,..., 1, � � � � �� M a i n a = - = - ( ) ( ){ }1 exp 1 , 2 � �� �� �� � n A M M a n A D a - = - + - ( )1,..., , � i na d= ( ) ( ) �� �� � ��� 2 min , 4 4 �� �� ��� ����� ������� �� ���� � ������ a M a a a a M m m m m a �� �� � � ÷ç � ÷ç � ÷- - - -ç � ÷ç ÷�ç ÷÷�� �� � � � , 4 4 �� � ����� � � ��� a M a m m m a d � � � ÷ç ÷- + >ç ÷ç ÷ç�å ( ) ( )( ) � � �� � � � �� 2 2 min , 4 4 �� �� �� ������ ����� � � �� ���� ���� a m m m a M a M m m m m M M a �� �� ��� ��� ÷ç ÷- +ç� ÷ç ÷� ��� +��� ( ) � � � , 44 �� � ����� � � � � ��� a M a mm m a d � � � ÷ç ÷ç ÷- + >ç ÷ç ÷ç ÷÷ç� å ( ) ( ) ( )( ) �� , ,..., � � ���x x x������( )��, ,...,�����y y y ( ) ( )lim 0, 1,..., . �� � ��x y i n �� - = = � min , 2 2 � mm e ���< ���� ( ) ( ) ( ) ( )( ) �� � �� � ��� � �� 2 min , 4 4 � � �� ������ �� ������� �� ���� � ������ a M a a a a M m m m m e a e e e �� �� � � ÷ç +� ÷ç � ÷- - - -ç � ÷ç ÷� +ç ÷- - ÷�� �� � ( ) ( )( ) ( ) � � � ��� , 4 4 � � � ��� �� � � ��� a M a m m m e a d e e e � � � - ÷ç ÷- ? 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On a delayed nonautonomous ratio-de- pendent predator-prey model with holling type functional response and diffusion[J]. Appl. Math. Comput., 2007, 192(2): 358-369. [2]王琳琳.自治 HollingⅢ类功能反应的捕食-食饵系统的定性 [J].西北师范大学学报(自然科学版),2005,41(1):1-6. [3]陆志奇,李海银.基于比率的三种群捕食系统的持久性与全局渐 近稳定性[J].河南师范大学学报(自然科学版),2003,31(4):7-12. [4]谭德君.基于比率的三种群捕食系统的持续生存[J].生物数学学 报,2003,18(1):50-56. [5] 徐瑞,陈兰荪.具有时滞和基于比率的三种群捕食系统的持久性 与全局渐近稳定性[J].系统科学与数学,2001,21(4):204-212. [6]Ding Xiaohua, Lu Chun. Existence of positive periodic solution for ratio -dependent N -species difference system [J]. Appl. Math. Model,2009,33(6):2748-2756. [7]Chen Fengde. Permanence and global stability of nonautonomous Lotka-Volterra system with predator-prey and deviating arguments [J].Appl. Math. Comput., 2006, 173: 1082-1100. 作者简介:杨景慧(1983~),女,助教。 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) � �� � � 4 4 � � ��� �� �� � � ��� a M a x k y k m m m e e e � ÷ç + ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷ç - ÷- ÷ç� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � 44 � � ��� �� �� � � ��� a M a x k y k mm m e ee � ÷ç + ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷-ç ÷- ÷ç� ( ) ( ) ( ) � �� � � ���� ��� a k x k y k � � + -å � � k k> � �� 2 min ,�� ���� � a a M e æ ��ç �? ? �ç �ç +è �� ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) � �� � � 4 4 � � ��� �� �� � � ��� a M a x k y k m m m e e e ö� ÷÷ç + ÷÷ç ÷÷- + -ç ÷÷ç ÷÷ç ÷- ÷- ÷ç ÷� ø ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � 44 � � ��� �� �� � � ��� a M a x k y k mm m e ee � ÷ç + ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷-ç ÷- ÷ç� ( ) ( ) ( ) � �� � � ���� ��� a k x k y k � � + -å ( ) ( ) ( )ln ln ��� V k x k y k= - ( )1 � V k + ( ) ( )ln 1 ln 1 �� x k y k= + - + ( ) ( )ln ln �� x k y k= - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ���� � � �� ������ � ( )� ������� �� � ���� a k m k x k x k y k y k x k x k y k m k x k x k m k y k y k � � + - - + + å ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ���� � � �� ������ � ( )� ������� �� � ���� a k m k x k x k y k y k x k x k y k m k x k x k m k y k y k � � + + - + + å ( ) ( )ln ln �� x k y k? 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